Линейные модели Смешанных Эффектов

Линейные модели смешанных эффектов являются расширениями моделей линейной регрессии для данных, которые собраны и получены в итоге в группах. Эти модели описывают отношение между переменной отклика и независимыми переменными с коэффициентами, которые могут отличаться относительно одной или нескольких группирующих переменных. Модель смешанных эффектов состоит из двух частей, зафиксированных эффектов и случайных эффектов. Условия фиксированных эффектов обычно являются обычной частью линейной регрессии, и случайные эффекты сопоставлены с отдельными экспериментальными модулями, чертившими наугад от генеральной совокупности. Случайные эффекты имеют предшествующие дистрибутивы, тогда как фиксированные эффекты не делают. Модели смешанных эффектов могут представлять структуру ковариации, связанную с группировкой данных путем соединения общих случайных эффектов к наблюдениям, которые имеют тот же уровень группирующей переменной. Стандартная форма линейной модели смешанных эффектов

$y = \underset{f i x e d}{\underset{︸}{X β}} + \underset{r a n d o m}{\underset{︸}{Z b}} + \underset{e r r o r}{\underset{︸}{ε}},$

где

y является n-by-1 вектор отклика, и n является количеством наблюдений.
X является n-by-p, фиксированные эффекты разрабатывают матрицу.
β является p-by-1 вектор фиксированных эффектов.
Z является n-by-q, случайные эффекты разрабатывают матрицу.
b является q-by-1 вектор случайных эффектов.
ε является n-by-1 вектор ошибок наблюдения.

Предположения для линейной модели смешанных эффектов:

Вектор случайных эффектов, b, и вектор ошибок, ε, имеет следующие предшествующие дистрибутивы:

$\begin{array}{l} b ~ N (0, σ^{2} D (θ)), \\ ε ~ N (0, σ {}^{2}I), \end{array}$
где D является симметричной и положительной полуопределенной матрицей, параметризованной компонентом отклонения векторный θ, I является n-by-n единичная матрица, и σ ² является ошибочным отклонением.
Вектор случайных эффектов, b, и вектор ошибок, ε, независим друг от друга.

Модели смешанных эффектов также называются многоуровневыми моделями или иерархическими моделями в зависимости от контекста. Модели смешанных эффектов являются более общим термином, чем последние два. Модели смешанных эффектов могут включать факторы, которые являются не обязательно многоуровневыми или иерархическими, например, пересеченные факторы. Именно поэтому смешанные эффекты являются терминологией, предпочтенной здесь. Иногда модели смешанных эффектов выражаются как многоуровневые модели регрессии (первый уровень и группирующиеся модели уровня), которые являются подходящими одновременно. Например, варьирование или случайная модель прерывания, с одной непрерывной переменной прогноза x и одна группирующая переменная с уровнями M, могут быть выражены как

$\begin{array}{l} y_{i m} = β_{0 m} + β_{1} x_{i m} + ε_{i m}, i = 1, 2, .., n, m = 1, 2, ..., M, ε_{i m} ~ N (0, σ^{2}), \\ β_{0 m} = β_{00} + b_{0 m}, b_{0 m} ~ N (0, σ_{}^{02}), \end{array}$

где y_{, im} соответствует данным для наблюдения i и группа m, n, является общим количеством наблюдений, и _b0m и ε_im независимы друг от друга. После замены параметрами уровня группы в модели первого уровня модель для вектора отклика становится

$y_{i m} = \underset{f i x e d e f f e c t s}{\underset{︸}{β_{00} + β_{1} x_{i m}}} + \underset{r a n d o m e f f e c t s}{\underset{︸}{b_{0 m}}} + ε_{i m} .$

Случайное прерывание и наклонная модель с одной непрерывной переменной прогноза x, где оба прерывание и наклон отличаются независимо группирующей переменной с уровнями M,

$\begin{array}{l} y_{i m} = β_{0 m} + β_{1 m} x_{i m} + ε_{i m}, i = 1, 2, ..., n, m = 1, 2, ..., M, ε_{i m} ~ N (0, σ^{2}), \\ β_{0 m} = β_{00} + b_{0 m}, b_{0 m} ~ N (0, σ_{}^{02}), \\ β_{1 m} = β_{10} + b_{1 m}, b_{1 m} ~ N (0, σ_{}^{12}), \end{array}$

или

$b_{m} = (\begin{array}{l} b_{0 m} \\ b_{1 m} \end{array}) ~ N (0, (\begin{matrix} σ_{}^{02} \\ 00 & σ_{}^{12} \end{matrix})) .$

Вы можете также коррелировать случайные эффекты. В целом, для модели со случайным прерыванием и наклоном, распределение случайных эффектов

$b_{m} = (\begin{array}{l} b_{0 m} \\ b_{1 m} \end{array}) ~ N (0, σ {}^{2}D (θ)),$

где D является симметричной и положительной полуопределенной матрицей 2 на 2, параметризованной компонентом отклонения векторный θ.

После замены параметрами уровня группы в модели первого уровня модель для вектора отклика

$y_{i m} = \underset{f i x e d e f f e c t s}{\underset{︸}{β_{00} + β_{10} x_{i m}}} + \underset{r a n d o m e f f e c t s}{\underset{︸}{b_{0 m} + b_{1 m} x_{i m}}} + ε_{i m}, i = 1, 2, ..., n, m = 1, 2, ..., M .$

Если вы выражаете переменную уровня группы, x _im, в термине случайных эффектов z _im, эта модель

$y_{i m} = \underset{f i x e d e f f e c t s}{\underset{︸}{β_{00} + β_{10} x_{i m}}} + \underset{r a n d o m e f f e c t s}{\underset{︸}{b_{0 m} + b_{1 m} z_{i m}}} + ε_{i m}, i = 1, 2, ..., n, m = 1, 2, ..., M .$

В этом случае те же условия появляются и в матрице проекта фиксированных эффектов и в матрице проекта случайных эффектов. Каждый _zim и _xim соответствуют уровню m группирующей переменной.

Также возможно объяснить больше изменений уровня группы путем добавления большего количества переменных прогноза уровня группы. Случайное прерывание и случайно-наклонная модель с одной непрерывной переменной прогноза x, где оба прерывание и наклон отличаются независимо группирующей переменной с уровнями M и одной переменной прогноза уровня группы v _m,

$\begin{array}{l} y_{i m} = β_{0 i m} + β_{1 i m} x_{i m} + ε_{i m}, i = 1, 2, ..., n, m = 1, 2, ..., M, ε_{i m} ~ N (0, σ^{2}), \\ β_{0 i m} = β_{00} + β_{01} v_{i m} + b_{0 m}, b_{0 m} ~ N (0, σ_{}^{02}), \\ β_{1 i m} = β_{10} + β_{11} v_{i m} + b_{1 m}, b_{1 m} ~ N (0, σ_{}^{12}) . \end{array}$

Эта модель приводит к основным эффектам предиктора уровня группы и период взаимодействия между переменными прогноза первого уровня и переменными прогноза уровня группы в модели для переменной отклика как

$\begin{array}{l} y_{i m} = β_{00} + β_{01} v_{i m} + b_{0 m} + (β_{10} + β_{11} v_{i m} + b_{1 m}) x_{i m} + ε_{i m}, i = 1, 2, ..., n, m = 1, 2, ..., M, \\ = \underset{f i x e d e f f e c t s}{\underset{︸}{β_{00} + β_{10} x_{i m} + β_{01} v_{i m} + β_{11} v_{i m} x_{i m}}} + \underset{r a n d o m e f f e c t s}{\underset{︸}{b_{0 m} + b_{1 m} x_{i m}}} + ε_{i m} . \end{array}$

Термин β _11vmx_im часто называется взаимодействием перекрестного уровня во многих учебниках по многоуровневым моделям. Модель для переменной отклика y может быть выражена как

$\begin{array}{l} y_{i m} = [\begin{matrix} 1 & x_{1}_{i m} & v_{i m} & v_{i m} x_{1 i m} \end{matrix}] [\begin{matrix} β_{00} \\ β_{10} \\ β_{01} \\ β_{11} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 & x_{1 i m} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{0 m} \\ b_{1 m} \end{matrix}] + ε_{i m}, i = 1, 2, ..., n, m = 1, 2, ..., M, \end{array}$

который соответствует стандартной форме, данной ранее,

$y = X β + Z b + ε .$

В целом, если существуют группирующие переменные R, и m (r, i) показывает уровень группирующей переменной r для наблюдения i, то модель для переменной отклика для наблюдения i

$y_{i} = x_{i}^{T} β + \sum_{r = 1}^{R} z_{i r} b_{m (r, i)}^{(r)} + ε_{i}, i = 1, 2, ..., n,$

где β является p-by-1 вектор фиксированных эффектов, b ^(r)_{, m (r, i)} является q (r)-by-1 вектор случайных эффектов для the rth группирующей переменной и уровня m (r, i), и ε_{, i} является остаточным членом 1 на 1 для наблюдения i.

Ссылки

[1] Pinherio, J. C. и Д. М. Бэйтс. Модели смешанных эффектов в S и S-PLUS. Статистика и ряд вычисления, Спрингер, 2004.

[2] Hariharan, S. и Дж. Х. Роджерс. “Процедуры оценки для Иерархических Линейных Моделей”. Многоуровневое Моделирование Образовательных Данных (А. А. Коннелл и Д. Б. Маккоак, редакторы). Шарлотта, NC: Information Age Publishing, Inc., 2008.

[3] Hox, J. Многоуровневый анализ, методы и приложения. Lawrence Erlbaum Associates, Inc., 2002

[4] Snidjers, T. и Р. Боскер. Многоуровневый анализ. Таузенд-Оукс, CA: мудрые публикации, 1999.

[5] Джелмен, А. и Дж. Хилл. Анализ данных Используя Регрессию и Многоуровневые/Иерархические Модели. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, 2007.

Документация

Линейные модели Смешанных Эффектов

Ссылки

Смотрите также

Похожие темы

Документация Statistics and Machine Learning Toolbox

Поддержка