Документация

Что такое параметрические нелинейные модели регрессии?

Параметрические нелинейные модели представляют отношение между непрерывной переменной отклика и одной или несколькими непрерывными переменными прогноза в форме

где

Напротив, непараметрические модели не пытаются охарактеризовать отношение между предикторами и ответом с параметрами модели. Описания являются часто графическими, как в случае Деревьев решений.

fitnlm пытается найти значения параметров β, которые минимизируют среднеквадратические различия между наблюдаемыми ответами y и прогнозы модели f (X, β). Для этого этому нужно начальное значение beta0 прежде итеративно изменить векторный β к вектору с минимальной среднеквадратической ошибкой.

Подготовка данных

Чтобы начать соответствовать регрессии, поместите свои данные в форму, которую ожидают подходящие функции. Все методы регрессии начинаются с входных данных в массиве X и данные об ответе в отдельном векторе y или входные данные в таблице или массиве набора данных tbl и данные об ответе как столбец в tbl. Каждая строка входных данных представляет одно наблюдение. Каждый столбец представляет один предиктор (переменная).

Для таблицы или массива набора данных tbl, укажите на переменную отклика с парой "имя-значение" 'ResponseVar':

mdl = fitlm(tbl,'ResponseVar','BloodPressure');

Переменная отклика является последним столбцом по умолчанию.

Вы не можете использовать предикторы categorical для нелинейной регрессии. Категориальный предиктор является тем, который принимает значения от фиксированного набора возможностей.

Представляйте недостающие данные как NaN для обоих входных данных и данных об ответе.

ds = dataset('XLSFile','hospital.xls',...
    'ReadObsNames',true);

load carsmall
ds = dataset(Weight,Model_Year,MPG);

tbl = readtable('hospital.xls',...
    'ReadRowNames',true);

load carsmall
tbl = table(Weight,Model_Year,MPG);

load carsmall
X = [Weight Horsepower Cylinders Model_Year];
y = MPG;

[X, Xnames] = xlsread('hospital.xls');
y = X(:,4); % response y is systolic pressure
X(:,4) = []; % remove y from the X matrix

Представляйте нелинейную модель

Существует несколько способов представлять нелинейную модель. Используйте, какой бы ни является самым удобным.

Нелинейная модель является необходимым входом к fitnlm во входе modelfun.

fitnlm принимает, что функция отклика f (X, β) сглажен в параметрах β. Если ваша функция не сглаженна, fitnlm может не обеспечить оптимальные оценки параметра.

• Указатель на функцию к анонимной функции или файлу функции

• Текстовое представление формулы

function yhat = hougen(beta,x)
%HOUGEN Hougen-Watson model for reaction kinetics.
%   YHAT = HOUGEN(BETA,X) gives the predicted values of the
%   reaction rate, YHAT, as a function of the vector of 
%   parameters, BETA, and the matrix of data, X.
%   BETA must have 5 elements and X must have three
%   columns.
%
%   The model form is:
%   y = (b1*x2 - x3/b5)./(1+b2*x1+b3*x2+b4*x3)
%
%   Reference:
%      [1]  Bates, Douglas, and Watts, Donald, "Nonlinear
%      Regression Analysis and Its Applications", Wiley
%      1988 p. 271-272.

%   Copyright 1993-2004 The MathWorks, Inc. 
%   B.A. Jones 1-06-95.

b1 = beta(1);
b2 = beta(2);
b3 = beta(3);
b4 = beta(4);
b5 = beta(5);

x1 = x(:,1);
x2 = x(:,2);
x3 = x(:,3);

yhat = (b1*x2 - x3/b5)./(1+b2*x1+b3*x2+b4*x3);

modelfun = @(b,x)(b(1)*x(:,2) - x(:,3)/b(5))./...
(1 + b(2)*x(:,1) + b(3)*x(:,2) + b(4)*x(:,3));

modelfun = 'y ~ (b1*x2 - x3/b5)/(1 + b2*x1 + b3*x2 + b4*x3)';

Выберите Initial Vector beta0

Начальный вектор для подходящих итераций, beta0, может значительно влиять на качество получившейся подобранной модели. beta0 дает размерность проблемы, означая, что этому нужна правильная длина. Хороший выбор beta0 приводит к быстрой, надежной модели, в то время как плохой выбор может привести к долгому вычислению, или к несоответствующей модели.

Трудно дать совет относительно выбора хорошего beta0. Если вы полагаете, что определенные компоненты вектора должны быть положительными или отрицательными, установить ваш beta0 иметь те характеристики. Если вы знаете приближенное значение других компонентов, включаете их в beta0. Однако, если вы не знаете хороших значений, попробуйте случайный вектор, такой как

beta0 = randn(nVars,1);
% or
beta0 = 10*rand(nVars,1);

Соответствуйте нелинейной модели к данным

Синтаксис для подбора кривой нелинейной модели регрессии использование таблицы или массива набора данных tbl

mdl = fitnlm(tbl,modelfun,beta0)

Синтаксис для подбора кривой нелинейной модели регрессии использование числового массива X и числовой вектор отклика y

mdl = fitnlm(X,y,modelfun,beta0)

Для получения информации о представлении входных параметров см. Подготовку данных, Представляйте Нелинейную Модель и Выберите Initial Vector beta0.

fitnlm принимает, что переменная отклика в таблице или массиве набора данных tbl является последним столбцом. Чтобы изменить это, используйте пару "имя-значение" ResponseVar, чтобы назвать столбец ответа.

Исследуйте качество и настройте подходящую нелинейную модель

Существуют диагностические графики помочь вам исследовать качество модели. plotDiagnostics(mdl) дает множество графиков, включая рычаги и графики расстояния Кука. plotResiduals(mdl) дает различие между подобранной моделью и данными.

Существуют также свойства mdl, которые относятся к образцовому качеству. mdl.RMSE дает среднеквадратичную ошибку между данными и подобранной моделью. mdl.Residuals.Raw дает необработанные невязки. mdl.Diagnostics содержит несколько полей, таких как Рычаги и CooksDistance, который может помочь вам идентифицировать особенно интересные наблюдения.

Этот пример показывает, как исследовать подходящую нелинейную модель с помощью диагностики, невязки и графиков среза.

Загрузите выборочные данные.

load reaction

Создайте нелинейную модель уровня как функция reactants с помощью функции hougen.m.

beta0 = ones(5,1);
mdl = fitnlm(reactants,...
    rate,@hougen,beta0);

Сделайте график данных рычагов и модель.

plotDiagnostics(mdl)

Существует одна точка, которая имеет высокие рычаги. Найдите точку.

[~,maxl] = max(mdl.Diagnostics.Leverage)

maxl = 6

Исследуйте график невязок.

plotResiduals(mdl,'fitted')

Ничто не выделяется как выброс.

Используйте график среза показать эффект каждого предиктора на модели.

plotSlice(mdl)

Можно перетащить вертикальные пунктирные синие строки, чтобы видеть эффект изменения в одном предикторе на ответе. Например, перетащите строку X2 направо и заметьте, что наклон строки X3 изменяется.

Предскажите или моделируйте ответы Используя нелинейную модель

Этот пример показывает, как использовать методы predict, feval и random, чтобы предсказать и моделировать ответы на новые данные.

Случайным образом сгенерируйте выборку от распределения Коши.

rng('default')
X = rand(100,1);
X = tan(pi*X - pi/2);

Сгенерируйте ответ согласно модели y = b1*(pi /2 + atan((x - b2) / b3)) и добавьте шум в ответ.

modelfun = @(b,x) b(1) * ...
    (pi/2 + atan((x - b(2))/b(3)));
y = modelfun([12 5 10],X) + randn(100,1);

Соответствуйте модели, начинающей с произвольных параметров b = [1,1,1].

beta0 = [1 1 1]; % An arbitrary guess
mdl = fitnlm(X,y,modelfun,beta0)

mdl = 
Nonlinear regression model:
    y ~ b1*(pi/2 + atan((x - b2)/b3))

Estimated Coefficients:
          Estimate      SE       tStat       pValue  
          ________    _______    ______    __________

    b1     12.082     0.80028    15.097    3.3151e-27
    b2     5.0603      1.0825    4.6747    9.5063e-06
    b3       9.64     0.46499    20.732    2.0382e-37


Number of observations: 100, Error degrees of freedom: 97
Root Mean Squared Error: 1.02
R-Squared: 0.92,  Adjusted R-Squared 0.918
F-statistic vs. zero model: 6.45e+03, p-value = 1.72e-111

Подходящие значения в нескольких процентах параметров [12,5,10].

Исследуйте подгонку.

plotSlice(mdl)

Xnew = [-15;5;12];
[ynew,ynewci] = predict(mdl,Xnew)

ynew = 3×1

    5.4122
   18.9022
   26.5161

ynewci = 3×2

    4.8233    6.0010
   18.4555   19.3490
   25.0170   28.0151

ds = dataset({X,'X'},{y,'y'});
mdl2 = fitnlm(ds,modelfun,beta0);

Xnew = [-15;5;12];
ynew = feval(mdl2,Xnew)

ynew = 3×1

    5.4122
   18.9022
   26.5161

Xnew = [-15;5;12];
ysim = random(mdl,Xnew)

ysim = 3×1

    6.0505
   19.0893
   25.4647

ysim = random(mdl,Xnew)

ysim = 3×1

    6.3813
   19.2157
   26.6541