PDF Weibull положителен только для положительных значений x и является нулем в противном случае. Для строго положительных значений параметра формы b и масштабный коэффициент a, плотность
Waloddi Weibull предложил распределение, которое носит его имя как соответствующий аналитический инструмент для моделирования прочности на разрыв материалов. Текущее использование также включает надежность и пожизненное моделирование. Распределение Weibull более гибко, чем экспоненциал в этих целях.
Чтобы видеть почему, рассмотрите функцию показателя риска (мгновенная интенсивность отказов). Если f (t) и F (t) является PDF и cdf распределения, то показатель риска
Замена PDF и cdf экспоненциального распределения для f (t) и F (t) выше урожаев константа. Пример ниже показов, что показатель риска для распределения Weibull может отличаться.
Экспоненциальное распределение имеет постоянную функцию опасности, которая обычно не имеет место для распределения Weibull. График показывает функцию опасности для экспоненциала (пунктирная линия) и Weibull (сплошная линия) дистрибутивы, имеющие ту же среднюю жизнь. Показатель риска Weibull здесь увеличивается с возрастом (разумное предположение).
t = 0:0.1:4.5; h1 = exppdf(t,0.8862)./(1-expcdf(t,0.8862)); h2 = wblpdf(t,1,2)./(1-wblcdf(t,1,2)); plot(t,h1,'--',t,h2,'-')
Предположим, что вы хотите смоделировать предел прочности тонкой нити с помощью распределения Weibull. Функциональный wblfit
дает оценки наибольшего правдоподобия и доверительные интервалы для параметров Weibull.
rng('default'); % For reproducibility strength = wblrnd(0.5,2,100,1); % Simulated strengths [p,ci] = wblfit(strength)
p = 1×2
0.4768 1.9622
ci = 2×2
0.4291 1.6821
0.5298 2.2890
95%-й доверительный интервал по умолчанию для каждого параметра содержит истинное значение.
Этот пример показывает, как оценить параметры распределения Weibull с тремя параметрами при помощи пользовательской функции плотности вероятности.
Statistics and Machine Learning Toolbox™ использует 2D параметр распределение Weibull с параметром формы и масштабный коэффициент . Распределение Weibull может взять еще один параметр, параметр положения . Функция плотности вероятности становится
где и положительные значения, и действительное значение.
Сгенерируйте выборочные данные размера 1000 от распределения Weibull с тремя параметрами с параметром формы 1, масштабный коэффициент 1, и параметр положения 10.
rng('default') % For reproducibility data = wblrnd(1,1,[1000,1])+10;
Задайте функцию плотности вероятности для распределения Weibull с тремя параметрами.
custpdf = @(x,a,b,c) (x>c).*(b/a).*(((x-c)/a).^(b-1)).*exp(-((x-c)/a).^b);
Функция плотности вероятности Weibull положительна только для . Это ограничение также подразумевает что параметр положения меньше, чем минимум выборочных данных. Включайте нижние и верхние границы параметров при помощи аргументов пары "имя-значение" 'LowerBound'
и 'UpperBound'
, соответственно.
opt = statset('MaxIter',1e5,'MaxFunEvals',1e5,'FunValCheck','off'); phat = mle(data,'pdf',custpdf,'start',[5 5 5],'Options',opt,... 'LowerBound',[0 0 -Inf],'UpperBound',[Inf Inf min(data)])
phat = 1×3
1.0258 1.0618 10.0004
Если mle
не сходится с опциями статистики по умолчанию, можно изменить их при помощи аргумента пары "имя-значение" 'Options'
. Создайте структуру опций статистики opt
при помощи функционального statset
. Затем используйте opt
в качестве значения 'Options'
.
Опция opt
включает следующее:
'MaxIter',1e5
— Увеличьте максимальное число итераций к 1e5
.
'MaxFunEvals',1e5
— Увеличьте максимальное число объектных функциональных оценок к 1e5
.
'FunValCheck','off'
— Выключите проверку значения функции недопустимого объекта.
Для распределения с областью, которая имеет нулевую плотность вероятности, mle
может попробовать некоторые параметры, которые имеют нулевую плотность, и это не оценит параметры. Чтобы избежать этой проблемы, можно выключить опцию, которая проверяет на недопустимые значения функции при помощи 'FunValCheck','off'
.
Если масштабный коэффициент меньше, чем 1, плотность вероятности бесконечности подходов распределения Weibull как переходит в , где параметр положения. Максимум функции правдоподобия бесконечен. mle
может найти удовлетворительные оценки в некоторых случаях, но глобальный максимум является вырожденным когда .