Интегральная показательная функция с одним аргументом
ei(x)Вычислите экспоненциальные интегралы для числовых входных параметров. Поскольку эти числа не являются символьными объектами, вы получаете результаты с плавающей точкой.
s = [ei(-2), ei(-1/2), ei(1), ei(sqrt(2))]
s = -0.0489 -0.5598 1.8951 3.0485
Вычислите экспоненциальные интегралы для тех же чисел, преобразованных в символьные объекты. Для большинства символьных (точных) чисел ei отвечает на неразрешенные символьные звонки.
s = [ei(sym(-2)), ei(sym(-1/2)), ei(sym(1)), ei(sqrt(sym(2)))]
s = [ ei(-2), ei(-1/2), ei(1), ei(2^(1/2))]
Используйте vpa, чтобы аппроксимировать этот результат с 10-разрядной точностью.
vpa(s, 10)
ans = [ -0.04890051071, -0.5597735948, 1.895117816, 3.048462479]
Отрицательная вещественная ось является разрезом. Экспоненциальный интеграл имеет скачок высоты 2 π i при пересечении этого сокращения. Вычислите экспоненциальные интегралы в -1 выше -1, и ниже -1, чтобы продемонстрировать это.
[ei(-1), ei(-1 + 10^(-10)*i), ei(-1 - 10^(-10)*i)]
ans = -0.2194 + 0.0000i -0.2194 + 3.1416i -0.2194 - 3.1416i
Вычислите первые, вторые, и третьи производные экспоненциального интеграла с одним аргументом.
syms x diff(ei(x), x) diff(ei(x), x, 2) diff(ei(x), x, 3)
ans = exp(x)/x ans = exp(x)/x - exp(x)/x^2 ans = exp(x)/x - (2*exp(x))/x^2 + (2*exp(x))/x^3
Вычислите пределы экспоненциального интеграла с одним аргументом.
syms x limit(ei(2*x^2/(1+x)), x, -Inf) limit(ei(2*x^2/(1+x)), x, 0) limit(ei(2*x^2/(1+x)), x, Inf)
ans = 0 ans = -Inf ans = Inf
Экспоненциальный интеграл с одним аргументом сингулярен в x = 0. Тулбокс использует это специальное значение: ei(0) = -Inf.
Отношение между ei и expint
ei(x) = -expint(1,-x) + (ln(x)-ln(1/x))/2 - ln(-x)
Обе функции ei(x) и expint(1,x) имеют логарифмическую особенность в начале координат и разрезе вдоль отрицательной вещественной оси. Функция ei не непрерывна, когда приближено сверху или ниже этого разреза.
[1] Gautschi, W. и В. Ф. Гэхилл “Экспоненциальный интеграл и Связанные Функции”. Руководство Математических функций с Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. (М. Абрамовиц и я. А. Стегун, редакторы). Нью-Йорк: Дувр, 1972.