Бернуллиевые числа с четными и нечетными индексами

0th Бернуллиевым номером является 1. Следующим Бернуллиевым номером может быть -1/2 или 1/2, в зависимости от определения. Функция bernoulli использует -1/2. Бернуллиевые числа с даже индексами n > 1 чередуют знаки. Любым Бернуллиевым номером с нечетным индексом n > 2 является 0.

Вычислите даже индексированные Бернуллиевые числа с индексами от 0 до 10. Поскольку эти индексы не являются символьными объектами, bernoulli возвращает результаты с плавающей точкой.

bernoulli(0:2:10)

ans =
    1.0000    0.1667   -0.0333    0.0238   -0.0333    0.0758

Вычислите те же Бернуллиевые числа для индексов, преобразованных в символьные объекты:

bernoulli(sym(0:2:10))

ans =
[ 1, 1/6, -1/30, 1/42, -1/30, 5/66]

Вычислите нечетно индексированные Бернуллиевые числа с индексами от 1 до 11:

bernoulli(sym(1:2:11))

ans =
[ -1/2, 0, 0, 0, 0, 0]

Бернуллиевые полиномы

Для Бернуллиевых полиномов используйте bernoulli с двумя входными параметрами.

Вычислите первые, вторые, и третьи Бернуллиевые полиномы в переменных x, y и z, соответственно:

syms x y z
bernoulli(1, x)
bernoulli(2, y)
bernoulli(3, z)

ans =
x - 1/2
 
ans =
y^2 - y + 1/6
 
ans =
z^3 - (3*z^2)/2 + z/2

Если второй аргумент является номером, bernoulli оценивает полином в том номере. Здесь, результатом является число с плавающей запятой, потому что входные параметры не являются символьными числами:

bernoulli(2, 1/3)

ans =
   -0.0556

Чтобы получить точный символьный результат, преобразуйте по крайней мере одно из чисел к символьному объекту:

bernoulli(2, sym(1/3))

ans =
-1/18

Постройте бернуллиевые полиномы

Постройте первые шесть Бернуллиевых полиномов.

syms x
fplot(bernoulli(0:5, x), [-0.8 1.8])
title('Bernoulli Polynomials')
grid on

Обработайте выражения, содержащие бернуллиевые полиномы

Много функций, таких как diff и expand, обрабатывают выражения, содержащие bernoulli.

Найдите первые и вторые производные Бернуллиевого полинома:

syms n x
diff(bernoulli(n,x^2), x)

ans =
2*n*x*bernoulli(n - 1, x^2)

diff(bernoulli(n,x^2), x, x)

ans =
2*n*bernoulli(n - 1, x^2) +...
4*n*x^2*bernoulli(n - 2, x^2)*(n - 1)

Расширьте эти выражения, содержащие Бернуллиевые полиномы:

expand(bernoulli(n, x + 3))

ans =
bernoulli(n, x) + (n*(x + 1)^n)/(x + 1) +...
(n*(x + 2)^n)/(x + 2) + (n*x^n)/x

expand(bernoulli(n, 3*x))

ans =
(3^n*bernoulli(n, x))/3 + (3^n*bernoulli(n, x + 1/3))/3 +...
(3^n*bernoulli(n, x + 2/3))/3