В этом примере вы сгенерируете symlet, масштабирующий коэффициенты фильтра, норма которых равна 1. Вы также подтвердите, что коэффициенты удовлетворяют необходимое отношение. Этот пример требует Signal Processing Toolbox™.

Вычислите масштабирующиеся коэффициенты фильтра порядка 10 symlet, чья сумма равняется$\sqrt{2}$.

n = 10;
w = symaux(n,sqrt(2));

Подтвердите, что сумма коэффициентов равна $\sqrt{2}$ и норма равна 1.

sqrt(2)-sum(w)

ans = 0

1-sum(w.^2)

ans = 1.1324e-14

Поскольку целочисленные переводы масштабирующейся функции формируют ортогональное основание, коэффициенты удовлетворяют отношение ${\sum }_{\mathit{n}}\mathit{w}\left(\mathit{n}\right)\mathit{w}\left(\mathit{n}-2\mathit{k}\right)=\delta \left(\mathit{k}\right)$. Подтвердите это путем взятия автокорреляции коэффициентов и графического вывода результата.

corrw = xcorr(w,w);
stem(corrw)
grid on
title('Autocorrelation of scaling coefficients')

stem(corrw(2:2:end))
grid on
title('Even-indexed autocorrelation values')

Этот пример показывает, что symlet и Daubechies, масштабирующий фильтры того же порядка, являются оба решениями того же полиномиального уравнения.

Сгенерируйте порядок 4 Daubechies, масштабирующий фильтр, и постройте его.

wdb4 = dbaux(4)

wdb4 = 1×8

    0.1629    0.5055    0.4461   -0.0198   -0.1323    0.0218    0.0233   -0.0075

stem(wdb4)
title('Order 4 Daubechies Scaling Filter')

wdb4 является решением уравнения: P = conv (wrev (w), w) *2, где P является "лагранжевым торусом" фильтр для N = 4. Оцените P и постройте его. P является симметричным фильтром, и wdb4 является минимальным решением для фазы предыдущего уравнения на основе корней P.

P = conv(wrev(wdb4),wdb4)*2;
stem(P)
title('''Lagrange trous'' filter')

Сгенерируйте wsym4, порядок 4 symlet масштабирующий фильтр и постройте его. Симлеты являются вейвлетами "наименьшего количества асимметричного" Добечиса, полученными из другого выбора между корнями P.

wsym4 = symaux(4)

wsym4 = 1×8

    0.0228   -0.0089   -0.0702    0.2106    0.5683    0.3519   -0.0210   -0.0536

stem(wsym4)
title('Order 4 Symlet Scaling Filter')

Вычислите conv (wrev (wsym4), wsym4) *2 и подтвердите, что wsym4 является другим решением уравнения P = conv (wrev (w), w) *2.

P_sym = conv(wrev(wsym4),wsym4)*2;
err = norm(P_sym-P)

err = 1.8677e-15

Для оказавшего поддержку ортогональный вейвлет с фазовым откликом, который наиболее тесно напоминает линейный фильтр фазы, называется наименее асимметричный. Symlets являются примерами наименьшего количества асимметричных вейвлетов. Они - измененные версии классических вейвлетов дб Daubechies. В этом примере вы покажете, что порядок 4 symlet имеет почти линейный фазовый отклик, в то время как порядок 4 вейвлет Daubechies не делает.

Сначала постройте порядок 4 symlet и порядок 4 Daubechies, масштабирующий функции. В то время как ни один не совершенно симметричен, отметьте, сколько еще симметричный symlet.

[phi_sym,~,xval_sym]=wavefun('sym4',10);
[phi_db,~,xval_db]=wavefun('db4',10);
subplot(2,1,1)
plot(xval_sym,phi_sym)
title('sym4 - Scaling Function')
grid on
subplot(2,1,2)
plot(xval_db,phi_db)
title('db4 - Scaling Function')
grid on

Сгенерируйте фильтры, сопоставленные с порядком 4 symlet и вейвлетами Daubechies.

scal_sym = symaux(4,sqrt(2));
scal_db = dbaux(4,sqrt(2));

Вычислите частотную характеристику масштабирующихся фильтров синтеза.

[h_sym,w_sym] = freqz(scal_sym);
[h_db,w_db] = freqz(scal_db);

Чтобы избежать визуальных разрывов, разверните углы фазы частотных характеристик и постройте их. Отметьте, как хорошо угол фазы фильтра symlet аппроксимирует прямую линию.

h_sym_u = unwrap(angle(h_sym));
h_db_u = unwrap(angle(h_db));
figure
plot(w_sym/pi,h_sym_u,'.')
hold on
plot(w_sym([1 end])/pi,h_sym_u([1 end]),'r')
grid on
xlabel('Normalized Frequency ( x \pi rad/sample)')
ylabel('Phase (radians)')
legend('Phase Angle of Frequency Response','Straight Line')
title('Symlet Order 4 - Phase Angle')

figure
plot(w_db/pi,h_db_u,'.')
hold on
plot(w_db([1 end])/pi,h_db_u([1 end]),'r')
grid on
xlabel('Normalized Frequency ( x \pi rad/sample)')
ylabel('Phase (radians)')
legend('Phase Angle of Frequency Response','Straight Line')
title('Daubechies Order 4 - Phase Angle')

sym4 и вейвлеты db4 не симметричны, но биоортогональный вейвлет. Постройте масштабирующуюся функцию, сопоставленную с вейвлетом bior3.5. Вычислите частотную характеристику фильтра масштабирования синтеза для вейвлета и проверьте, что это имеет линейную фазу.

[~,~,phi_bior_r,~,xval_bior]=wavefun('bior3.5',10);
figure
plot(xval_bior,phi_bior_r)
title('bior3.5 - Scaling Function')
grid on

[LoD_bior,HiD_bior,LoR_bior,HiR_bior] = wfilters('bior3.5');
[h_bior,w_bior] = freqz(LoR_bior);
h_bior_u = unwrap(angle(h_bior));
figure
plot(w_bior/pi,h_bior_u,'.')
hold on
plot(w_bior([1 end])/pi,h_bior_u([1 end]),'r')
grid on
xlabel('Normalized Frequency ( x \pi rad/sample)')
ylabel('Phase (radians)')
legend('Phase Angle of Frequency Response','Straight Line')
title('Biorthogonal 3.5 - Phase Angle')

Этот пример демонстрирует, что для оказавшего поддержку, совокупная сумма коэффициентов в квадрате масштабирующегося фильтра увеличивается более быстро для экстремального вейвлета фазы, чем другие вейвлеты.

Во-первых, установите порядок к 15 и сгенерируйте масштабирующиеся коэффициенты фильтра для вейвлета Daubechies и Symlet. Оба вейвлета имеют поддержку длины 29.

n = 15;
[~,~,LoR_db,~] = wfilters('db15');
[~,~,LoR_sym,~] = wfilters('sym15');

Затем, сгенерируйте масштабирующиеся коэффициенты фильтра для порядка 5 Coiflet. Этот вейвлет также имеет поддержку длины 29.

[~,~,LoR_coif,~] = wfilters('coif5');

Подтвердите, что сумма коэффициентов для всех трех вейвлетов равняется $\sqrt{2}$.

sqrt(2)-sum(LoR_db)

ans = 2.2204e-16

sqrt(2)-sum(LoR_sym)

ans = 0

sqrt(2)-sum(LoR_coif)

ans = 2.2204e-16

Постройте совокупные суммы коэффициентов в квадрате. Отметьте, как быстро Daubechies суммируют увеличения. Это вызвано тем, что его энергия сконцентрирована в маленьких абсциссах. Поскольку вейвлет Daubechies имеет экстремальную фазу, совокупная сумма ее коэффициентов в квадрате увеличивается более быстро, чем другие два вейвлета.

plot(cumsum(LoR_db.^2),'rx-')
hold on
plot(cumsum(LoR_sym.^2),'mo-')
plot(cumsum(LoR_coif.^2),'b*-')
legend('Daubechies','Symlet','Coiflet')
title('Cumulative Sum')