wavefun

Вейвлет и масштабирующиеся функции

Синтаксис

[PHI,PSI,XVAL] = wavefun('wname',ITER) [PHI1,PSI1,PHI2,PSI2,XVAL] = wavefun('wname',ITER) [PHI,PSI,XVAL] = wavefun('wname',ITER) [PSI,XVAL] = wavefun('wname',ITER) [...] = wavefun(wname,A,B) [...] = wavefun('wname',max(A,B)) [...] = wavefun('wname',0) [...] = wavefun('wname',8,0) [...] = wavefun('wname') [...] = wavefun('wname',8)

Описание

Функциональный wavefun возвращает приближения функции вейвлета 'wname' и связанная функция масштабирования, если это существует. Положительный целочисленный ITER определяет количество вычисленных итераций; таким образом, улучшение приближений.

Для ортогонального вейвлета:

[PHI,PSI,XVAL] = wavefun('wname',ITER) возвращает масштабирование и функции вейвлета на сетке точек XVAL.

Для биоортогонального вейвлета:

[PHI1,PSI1,PHI2,PSI2,XVAL] = wavefun('wname',ITER) возвращает масштабирование и функции вейвлета и для разложения (PHI1,PSI1) и для реконструкции (PHI2,PSI2).

Для вейвлета Мейера:

[PHI,PSI,XVAL] = wavefun('wname',ITER)

Для вейвлета, не масштабируя функцию (например, Morlet, мексиканская Шляпа, Гауссовы вейвлеты производных или комплексные вейвлеты):

[PSI,XVAL] = wavefun('wname',ITER)

[...] = wavefun(wname,A,B), то, где A и B являются положительными целыми числами, эквивалентно [...] = wavefun('wname',max(A,B)), и строит графики.

Когда A установлен равный специальному значению 0,

[...] = wavefun('wname',0) эквивалентно
[...] = wavefun('wname',8,0).
[...] = wavefun('wname') эквивалентно
[...] = wavefun('wname',8).

Выходные аргументы являются дополнительными.

Примеры

На следующем графике, 10 кусочных линейных аппроксимациях вейвлета sym4, полученного после каждой итерации каскадного алгоритма, показаны.

% Set number of iterations and wavelet name. 
iter = 10;
wav = 'sym4';

% Compute approximations of the wavelet function using the
% cascade algorithm. 
for i = 1:iter 
    [phi,psi,xval] = wavefun(wav,i); 
    plot(xval,psi); 
    hold on 
end
title(['Approximations of the wavelet ',wav, ... 
       ' for 1 to ',num2str(iter),' iterations']); 
hold off

Алгоритмы

Для сжато поддерживаемых вейвлетов, заданных фильтрами, в целом никакая закрытая форма существует аналитическая формула.

Используемый алгоритм является каскадным алгоритмом. Это использует одноуровневый обратный вейвлет неоднократно, преобразовывают.

Давайте начнем с масштабирующейся функции ϕ.

Поскольку ϕ также равен _ϕ0,0, эта функция характеризуется следующими коэффициентами в ортогональной среде:

<ϕ, ϕ_0,n> = 1, только если n = 0 и равный 0 в противном случае
<ϕ, ψ_−j,k> = 0 для положительного j и всего k.

Это расширение может быть просмотрено как структура разложения вейвлета. Коэффициенты детали являются всеми нулями, и коэффициенты приближения являются всеми нулями кроме одного равного 1.

Затем мы используем алгоритм реконструкции, чтобы аппроксимировать функцию ϕ по двухместной сетке, согласно следующему результату:

Для любого двухместного рациональный из формы x = n ^2−j, в котором функция непрерывна и где j является достаточно большим, у нас есть pointwise сходимость и

где C является константой, и α является положительной константой в зависимости от регулярности вейвлета.

Затем с помощью хорошего приближения ϕ на двухместном rationals, мы можем использовать кусочные постоянные или кусочные линейные интерполяции η на двухместных интервалах, для которых равномерная сходимость происходит с подобным экспоненциальным уровнем:

Так с помощью J - схема реконструкции шага, мы получаем приближение, которое сходится экспоненциально к ϕ, когда J переходит к бесконечности.

Приближения вычисляются по сетке двухместного rationals покрытие поддержки функции, которая будет аппроксимирована.

Начиная с масштабированной версии функции вейвлета на ψ можно также подробно остановиться (_{ϕ−1, n)})_{, n}, та же схема может использоваться после одноуровневой реконструкции начиная с соответствующей структуры разложения вейвлета. Коэффициенты приближения являются всеми нулями и детализируют коэффициенты, все нули кроме одного равного 1.

Для биоортогональных вейвлетов те же идеи могут быть применены на каждую из двух схем мультиразрешения в дуальности.

Примечание

Этот алгоритм может отличаться, если функция, которая будет аппроксимирована, не непрерывна на двухместном rationals.

Ссылки

Daubechies, я., Десять лекций по вейвлетам, CBMS, SIAM, 1992, стр 202Äì213.

Странг, Г.; Т. Нгуен (1996), вейвлеты и наборы фильтров, Wellesley-Кембриджское нажатие.

Смотрите также

intwave | waveinfo | wfilters

Документация