Бисопряженные градиенты стабилизировали метод
x = bicgstab(A,b)
bicgstab(A,b,tol)
bicgstab(A,b,tol,maxit)
bicgstab(A,b,tol,maxit,M)
bicgstab(A,b,tol,maxit,M1,M2)
bicgstab(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
[x,flag] = bicgstab(A,b,...)
[x,flag,relres] = bicgstab(A,b,...)
[x,flag,relres,iter] = bicgstab(A,b,...)
[x,flag,relres,iter,resvec] = bicgstab(A,b,...)
x = bicgstab(A,b)
попытки решить систему линейных уравнений A*x=b
для x
затем
- n
матрица коэффициентов A
должно быть квадратным и должен быть большим и разреженным. Вектор-столбец b
должен иметь длину n
A
может быть указатель на функцию, afun
, таким образом, что afun(x)
возвращает A*x
.
Параметризация Функций объясняет, как предоставить дополнительные параметры функциональному afun
, а также предварительный формирователь функционирует mfun
описанный ниже, при необходимости.
Если bicgstab
сходится, сообщение к тому эффекту отображено. Если bicgstab
сбои, чтобы сходиться после максимального количества итераций или остановов по любой причине, предупреждающее сообщение распечатано, отобразив относительный остаточный norm(b-A*x)/norm(b)
и номер итерации, в который метод, остановленный или отказавший.
bicgstab(A,b,tol)
задает допуск метода. Если tol
[]
, затем bicgstab
использует значение по умолчанию, 1e-6
.
bicgstab(A,b,tol,maxit)
задает максимальное количество итераций. Если maxit
[]
, затем bicgstab
использует значение по умолчанию, min(n,20)
.
bicgstab(A,b,tol,maxit,M)
и bicgstab(A,b,tol,maxit,M1,M2)
используйте предварительный формирователь M
или M = M1*M2
и эффективно решите систему inv(M)*A*x = inv(M)*b
для x
. Если M
[]
затем bicgstab
не применяет предварительного формирователя. M
может быть указатель на функцию mfun
, таким образом, что mfun(x)
возвращает M\x
.
bicgstab(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
задает исходное предположение. Если x0
[]
, затем bicgstab
использует значение по умолчанию, весь нулевой вектор.
[x,flag] = bicgstab(A,b,...)
также возвращает флаг сходимости.
Флаг | Сходимость |
---|---|
0 |
|
1 |
|
2 | Предварительный формирователь |
3 |
|
4 | Один из скаляров вычисляется во время |
Каждый раз, когда flag
не 0
, решение x
возвращенный то, что с минимальной невязкой нормы, вычисленной по всем итерациям. Никакие сообщения не отображены если flag
выход задан.
[x,flag,relres] = bicgstab(A,b,...)
также возвращает относительный остаточный norm(b-A*x)/norm(b)
. Если flag
0
, relres <= tol
.
[x,flag,relres,iter] = bicgstab(A,b,...)
также возвращает номер итерации в который x
был вычислен, где 0 <= iter <= maxit
. iter
может быть целочисленный +
0.5, указывая на сходимость на полпути через итерацию.
[x,flag,relres,iter,resvec] = bicgstab(A,b,...)
также возвращает вектор норм невязки в каждой половине итерации, включая norm(b-A*x0)
.
Этот пример сначала решает Ax = b
путем обеспечения A
и предварительный формирователь M1
непосредственно в качестве аргументов.
Код:
A = gallery('wilk',21); b = sum(A,2); tol = 1e-12; maxit = 15; M1 = diag([10:-1:1 1 1:10]); x = bicgstab(A,b,tol,maxit,M1);
отображения сообщение:
bicgstab converged at iteration 12.5 to a solution with relative residual 2e-014.
Этот пример заменяет матричный A
в предыдущем примере с указателем на матричное векторное произведение функционируют afun
, и предварительный формирователь M1
с указателем на backsolve функционируют mfun
. Пример содержится в файле run_bicgstab
это
Вызовы bicgstab
с указателем на функцию @afun
в качестве его первого аргумента.
Содержит afun
и mfun
как вложенные функции, так, чтобы все переменные в run_bicgstab
доступны для afun
и mfun
.
Следующее показывает код для run_bicgstab
:
function x1 = run_bicgstab n = 21; b = afun(ones(n,1)); tol = 1e-12; maxit = 15; x1 = bicgstab(@afun,b,tol,maxit,@mfun); function y = afun(x) y = [0; x(1:n-1)] + ... [((n-1)/2:-1:0)'; (1:(n-1)/2)'].*x + ... [x(2:n); 0]; end function y = mfun(r) y = r ./ [((n-1)/2:-1:1)'; 1; (1:(n-1)/2)']; end end
Когда вы входите
x1 = run_bicgstab;
MATLAB отображает сообщение
bicgstab converged at iteration 12.5 to a solution with relative residual 2e-014.
Этот пример демонстрирует использование предварительного формирователя.
Загрузите west0479
, действительное 479 479 несимметричная разреженная матрица.
load west0479;
A = west0479;
Задайте b
так, чтобы истинное решение было вектором из всех единиц.
b = full(sum(A,2));
Установите допуск и максимальное количество итераций.
tol = 1e-12; maxit = 20;
Используйте bicgstab
найти решение в требуемом допуске и количестве итераций.
[x0,fl0,rr0,it0,rv0] = bicgstab(A,b,tol,maxit);
fl0
1 потому что bicgstab
не сходится к требуемому допуску 1e-12
в требуемых 20 итерациях. На самом деле, поведение bicgstab
так плохо что исходное предположение (x0 = zeros(size(A,2),1)
) лучшее решение и возвращено, как обозначено it0 = 0
. MATLAB® хранит остаточную историю в rv0
.
Постройте поведение bicgstab
.
semilogy(0:0.5:maxit,rv0/norm(b),'-o'); xlabel('Iteration number'); ylabel('Relative residual');
График показывает, что решение не сходится. Можно использовать предварительный формирователь, чтобы улучшить результат.
Создайте предварительный формирователь с ilu
, начиная с A
несимметрично.
[L,U] = ilu(A,struct('type','ilutp','droptol',1e-5));
Error using ilu There is a pivot equal to zero. Consider decreasing the drop tolerance or consider using the 'udiag' option.
MATLAB не может создать неполный LU, когда это привело бы к сингулярному фактору, который бесполезен как предварительный формирователь.
Можно попробовать еще раз с уменьшаемым допуском отбрасывания, как обозначено сообщением об ошибке.
[L,U] = ilu(A,struct('type','ilutp','droptol',1e-6)); [x1,fl1,rr1,it1,rv1] = bicgstab(A,b,tol,maxit,L,U);
fl1
0 потому что bicgstab
управляет относительной невязкой к 5.9829e-014
(значение rr1
). Относительная невязка меньше предписанного допуска 1e-12
в третьей итерации (значение it1
) когда предобусловленный неполной LU-факторизацией с допуском отбрасывания 1e-6
. Выход rv1(1)
norm(b)
и выход rv1(7)
norm(b-A*x2)
начиная с bicgstab
использование половина итераций.
Можно следовать за прогрессом bicgstab
путем графического вывода относительных остаточных значений в каждой итерации, начинающей с первоначальной оценки (выполняют итерации номера 0).
semilogy(0:0.5:it1,rv1/norm(b),'-o'); xlabel('Iteration Number'); ylabel('Relative Residual');
[1] Барретт, R., М. Берри, Т.Ф. Чан, и др., Шаблоны для Решения Линейных систем: Базовые блоки для Итерационных методов, SIAM, Филадельфия, 1994.
[2] ван дер Ворст, H.A. bicgstab: быстрый и гладко сходящийся вариант BI-CG для решения несимметричных линейных систем", SIAM J. Научный Закон Comput., март 1992, Издание 13, № 2, стр 631–644.