Методы сопряженных градиентов придали методу квадратную форму
x = cgs(A,b)
cgs(A,b,tol)
cgs(A,b,tol,maxit)
cgs(A,b,tol,maxit,M)
cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2)
cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
[x,flag] = cgs(A,b,...)
[x,flag,relres] = cgs(A,b,...)
[x,flag,relres,iter] = cgs(A,b,...)
[x,flag,relres,iter,resvec] = cgs(A,b,...)
x = cgs(A,b) попытки решить систему линейных уравнений A*x = b для xзатем- n матрица коэффициентов A должно быть квадратным и должен быть большим и разреженным. Вектор-столбец b должен иметь длину n. Можно задать A как указатель на функцию, afun, таким образом, что afun(x) возвращает A*x.
Параметризация Функций объясняет, как предоставить дополнительные параметры функциональному afun, а также предварительный формирователь функционирует mfun описанный ниже, при необходимости.
Если cgs сходится, сообщение к тому эффекту отображено. Если cgs сбои, чтобы сходиться после максимального количества итераций или остановов по любой причине, предупреждающее сообщение распечатано, отобразив относительный остаточный norm(b-A*x)/norm(b) и номер итерации, в который метод, остановленный или отказавший.
cgs(A,b,tol) задает допуск метода, tol. Если tol [], затем cgs использует значение по умолчанию, 1e-6.
cgs(A,b,tol,maxit) задает максимальное количество итераций, maxit. Если maxit [] затем cgs использует значение по умолчанию, min(n,20).
cgs(A,b,tol,maxit,M) и cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2) используйте предварительный формирователь M или M = M1*M2 и эффективно решите систему inv(M)*A*x = inv(M)*b для x. Если M [] затем cgs не применяет предварительного формирователя. M может быть указатель на функцию mfun таким образом, что mfun(x) возвращает M\x.
cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) задает исходное предположение x0. Если x0 [], затем cgs использует значение по умолчанию, все-нулевой вектор.
[x,flag] = cgs(A,b,...) возвращает решение x и флаг, который описывает сходимость cgs.
Флаг | Сходимость |
|---|---|
0 |
|
1 |
|
2 | Предварительный формирователь |
3 |
|
4 | Один из скаляров вычисляется во время |
Каждый раз, когда flag не 0, решение x возвращенный то, что с минимальной невязкой нормы, вычисленной по всем итерациям. Никакие сообщения не отображены если flag выход задан.
[x,flag,relres] = cgs(A,b,...) также возвращает относительный остаточный norm(b-A*x)/norm(b). Если flag 0, затем relres <= tol.
[x,flag,relres,iter] = cgs(A,b,...) также возвращает номер итерации в который x был вычислен, где 0 <= iter <= maxit.
[x,flag,relres,iter,resvec] = cgs(A,b,...) также возвращает вектор норм невязки в каждой итерации, включая norm(b-A*x0).
A = gallery('wilk',21);
b = sum(A,2);
tol = 1e-12; maxit = 15;
M1 = diag([10:-1:1 1 1:10]);
x = cgs(A,b,tol,maxit,M1);отображает сообщение
cgs converged at iteration 13 to a solution with relative residual 2.4e-016.
Этот пример заменяет матричный A в предыдущем примере с указателем на матричное векторное произведение функционируют afun, и предварительный формирователь M1 с указателем на backsolve функционируют mfun. Пример содержится в файле run_cgs это
Вызовы cgs с указателем на функцию @afun в качестве его первого аргумента.
Содержит afun как вложенная функция, так, чтобы все переменные в run_cgs доступны для afun и myfun.
Следующее показывает код для run_cgs:
function x1 = run_cgs
n = 21;
b = afun(ones(n,1));
tol = 1e-12; maxit = 15;
x1 = cgs(@afun,b,tol,maxit,@mfun);
function y = afun(x)
y = [0; x(1:n-1)] + ...
[((n-1)/2:-1:0)'; (1:(n-1)/2)'].*x + ...
[x(2:n); 0];
end
function y = mfun(r)
y = r ./ [((n-1)/2:-1:1)'; 1; (1:(n-1)/2)'];
end
endКогда вы входите
x1 = run_cgs
MATLAB возвращается
cgs converged at iteration 13 to a solution with relative residual 2.4e-016.
Этот пример демонстрирует использование предварительного формирователя.
Загрузите west0479, действительное 479 479 несимметричная разреженная матрица.
load west0479;
A = west0479;Задайте b так, чтобы истинное решение было вектором из всех единиц.
b = full(sum(A,2));
Установите допуск и максимальное количество итераций.
tol = 1e-12; maxit = 20;
Используйте cgs найти решение в требуемом допуске и количестве итераций.
[x0,fl0,rr0,it0,rv0] = cgs(A,b,tol,maxit);
fl0 1 потому что cgs не сходится к требуемому допуску 1e-12 в требуемых 20 итерациях. На самом деле, поведение cgs так плохо что исходное предположение (x0 = zeros(size(A,2),1) лучшее решение и возвращено, как обозначено it0 = 0. MATLAB хранит остаточную историю в rv0.
Постройте поведение cgs.
semilogy(0:maxit,rv0/norm(b),'-o'); xlabel('Iteration number'); ylabel('Relative residual');
График показывает, что решение не сходится. Можно использовать предварительный формирователь, чтобы улучшить результат.
Создайте предварительный формирователь с ilu, начиная с A несимметрично.
[L,U] = ilu(A,struct('type','ilutp','droptol',1e-5));
Error using ilu There is a pivot equal to zero. Consider decreasing the drop tolerance or consider using the 'udiag' option.
MATLAB не может создать неполный LU, когда это привело бы к сингулярному фактору, который бесполезен как предварительный формирователь.
Можно попробовать еще раз с уменьшаемым допуском отбрасывания, как обозначено сообщением об ошибке.
[L,U] = ilu(A,struct('type','ilutp','droptol',1e-6)); [x1,fl1,rr1,it1,rv1] = cgs(A,b,tol,maxit,L,U);
fl1 0 потому что cgs управляет относительной невязкой к 4.3851e-014 (значение rr1). Относительная невязка меньше предписанного допуска 1e-12 в третьей итерации (значение it1) когда предобусловленный неполной LU-факторизацией с допуском отбрасывания 1e-6. Выход rv1(1) norm(b) и выход rv1(14) norm(b-A*x2).
Можно следовать за прогрессом cgs путем графического вывода относительных остаточных значений в каждой итерации, начинающей с первоначальной оценки (выполняют итерации номера 0).
semilogy(0:it1,rv1/norm(b),'-o'); xlabel('Iteration number'); ylabel('Relative residual');
[1] Барретт, R., М. Берри, Т. Ф. Чан, и др., Шаблоны для Решения Линейных систем: Базовые блоки для Итерационных методов, SIAM, Филадельфия, 1994.
[2] Sonneveld, Питер, “CGS: быстрый решатель Lanczos-типа для несимметричных линейных систем”, SIAM J. Научный Закон Comput., январь 1989, Издание 10, № 1, стр 36–52.