Покажите как использование decomposition объекты могут повысить эффективность решения $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$ со многими правыми сторонами.

Обратная итерация является итеративным алгоритмом собственного значения, который решает линейные системы со многими правыми сторонами. Это - метод, чтобы итеративно вычислить собственное значение матрицы, начинающей с предположения соответствующего собственного вектора. Каждая итерация вычисляет x = A\x, и затем шкалы x его нормой.

Создайте разреженную матрицу A и случайные стартовые векторы x1 и x2.

n = 1e3;
rng default % for reproducibility
A = sprandn(n,n,0.2) + speye(n);
x1 = randn(n,1);
x2 = x1;

Примените 100 итераций обратного алгоритма итерации с помощью обратной косой черты, чтобы вычислить собственное значение A.

tic
for ii=1:100
    x1 = A \ x1;
    x1 = x1 / norm(x1);
end
toc

Elapsed time is 14.274724 seconds.

lambda = x1'*A*x1

lambda = -0.6707

Теперь используйте decomposition объект решить ту же задачу.

tic
dA = decomposition(A); 
for ii=1:100
    x2 = dA \ x2;
    x2 = x2 / norm(x2);
end
toc

Elapsed time is 1.224177 seconds.

lambda = x2'*A*x2

lambda = -0.6707

Производительность алгоритма улучшается существенно потому что матричный A не должен быть разложен на множители во время каждой итерации. Кроме того, даже при том, что алгоритм обратной косой черты может быть улучшен путем выполнения LU-разложения A перед for- цикл, decomposition объект предоставляет доступ ко всему тому же увеличению производительности, не требуя, чтобы вы записали сложный код.

Выберите тип разложения, чтобы заменить автоматический выбор по умолчанию на основе входной матрицы.

Создайте матрицу коэффициентов и анализируйте матрицу с помощью выбора по умолчанию типа разложения.

A = ones(3);
dA = decomposition(A)

dA = 
  decomposition with properties:

    MatrixSize: [3 3]
          Type: 'ldl'

  Show all properties

Решите линейную систему с помощью вектора из единиц для правой стороны.

b = ones(3,1);
x = dA\b

Warning: Matrix is singular to working precision.

x = 3×1

   NaN
   NaN
   NaN

Задайте тип разложения, чтобы использовать 'qr' метод вместо 'ldl' по умолчанию метод. Это обеспечивает обратную косую черту (\), чтобы найти решение методом наименьших квадратов к проблеме вместо того, чтобы возвратить вектор NaNs.

dA_qr = decomposition(A,'qr')

dA_qr = 
  decomposition with properties:

    MatrixSize: [3 3]
          Type: 'qr'

  Show all properties

x = dA_qr\b

Warning: Rank deficient, rank = 1, tol =  1.153778e-15.

x = 3×1

     1
     0
     0

Задайте 'upper' использовать только верхний треугольный фрагмент входной матрицы в разложении.

Создайте матрицу коэффициентов. Создайте треугольное разложение для матрицы с помощью только верхний треугольный фрагмент. Эта опция может быть полезной в случаях, где и верхняя треугольная и нижняя треугольная матрица хранится в той же матрице.

A = randi([0 5],10)

A = 10×10

     4     0     3     4     2     1     4     5     2     0
     5     5     0     0     2     4     1     1     4     0
     0     5     5     1     4     3     3     4     3     3
     5     2     5     0     4     0     4     1     3     4
     3     4     4     0     1     0     5     5     5     5
     0     0     4     4     2     2     5     2     1     0
     1     2     4     4     2     5     3     1     4     3
     3     5     2     1     3     2     0     1     4     2
     5     4     3     5     4     3     0     3     2     0
     5     5     1     0     4     1     1     2     3     2

dA = decomposition(A,'triangular','upper')

dA = 
  decomposition with properties:

    MatrixSize: [10 10]
          Type: 'triangular'

  Show all properties

Используйте 'CheckCondition' пара "имя-значение", чтобы выключить предупреждения на основе условия матрицы коэффициентов при решении линейной системы с помощью decomposition.

Создайте матрицу коэффициентов, которая плохо обусловливается. В этой матрице, составляя в среднем вместе первые два столбца производит третий столбец.

A = [1 2 1.5; 3 4 3.5; 5 6 5.5]

A = 3×3

    1.0000    2.0000    1.5000
    3.0000    4.0000    3.5000
    5.0000    6.0000    5.5000

Решите линейную систему $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$ использование вектора 1 с для правой стороны. mldivide производит предупреждение о создании условий матрицы коэффициентов.

b = ones(3,1);
x = A\b

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND =  1.850372e-17.

x = 3×1

   -0.6250
    1.3750
   -0.7500

Теперь создайте decomposition объект для матрицы и решает ту же линейную систему. Задайте 'CheckCondition' как false так, чтобы mldivide не проверяет условие матрицы коэффициентов. Даже при том, что то же решение возвращено, mldivide не отображает предупреждающее сообщение.

dA = decomposition(A,'CheckCondition',false);
x = dA\b

x = 3×1

   -0.6250
    1.3750
   -0.7500

Используйте isIllConditioned функционируйте, чтобы проверять ли decomposition объект основан на плохо обусловленной матрице.

tf = isIllConditioned(dA)

tf = logical
   1