Сравните решения системы линейных уравнений, полученных обратной косой чертой (\) и pinv.

Если прямоугольная матрица коэффициентов A имеет низкий ранг, затем задача наименьших квадратов минимизации norm(A*x-b) имеет бесконечно много решений. Два решения возвращены x1 = A\b и x2 = pinv(A)*b. Различающими свойствами этих решений является тот x1 имеет только rank(A) ненулевые компоненты и norm(x2) меньше, чем для любого другого решения.

Создайте 8 6 матрица, которая имеет rank(A) = 3.

A = magic(8); 
A = A(:,1:6) 

A = 8×6

    64     2     3    61    60     6
     9    55    54    12    13    51
    17    47    46    20    21    43
    40    26    27    37    36    30
    32    34    35    29    28    38
    41    23    22    44    45    19
    49    15    14    52    53    11
     8    58    59     5     4    62

Создайте вектор для правой стороны системы уравнений.

b = 260*ones(8,1)

b = 8×1

   260
   260
   260
   260
   260
   260
   260
   260

Номер, выбранный для правой стороны, 260, является значением 8 8 волшебной суммы для A. Если бы A были все еще 8 8 матрица, то одно решение для x было бы вектором 1 с. Только с шестью столбцами существует решение, поскольку уравнения все еще сопоставимы, но решение не составляет всю 1 с. Поскольку матрица имеет низкий ранг, существует бесконечно много решений.

Решите для двух из решений с помощью обратной косой черты и pinv.

x1 = A\b

Warning: Rank deficient, rank = 3, tol =  1.882938e-13.

x1 = 6×1

    3.0000
    4.0000
         0
         0
    1.0000
         0

x2 = pinv(A)*b

x2 = 6×1

    1.1538
    1.4615
    1.3846
    1.3846
    1.4615
    1.1538

Оба из этих решений точны, в том смысле, что norm(A*x1-b) и norm(A*x2-b) находятся на порядке ошибки округления. Решение x1 является особенным, потому что это имеет только три ненулевых элемента. Решение x2 является особенным потому что norm(x2) меньше, чем это для какого-либо другого решения, включая norm(x1).

norm(x1)

ans = 5.0990

norm(x2)

ans = 3.2817