В этом примере показано, как решить нелинейную задачу минимизации с трехдиагональной матрицей Гессиана, аппроксимированной разреженными конечными разностями вместо явного расчета.
Проблема состоит в том, чтобы найти, что x минимизирует
где n = 1000
.
Использовать trust-region
метод в fminunc
, необходимо вычислить градиент в fun
; это не является дополнительным как в quasi-newton
метод.
brownfg
файл вычисляет целевую функцию и градиент.
Этот файл функции поставляется с вашим программным обеспечением.
function [f,g] = brownfg(x) % BROWNFG Nonlinear minimization test problem % % Evaluate the function n=length(x); y=zeros(n,1); i=1:(n-1); y(i)=(x(i).^2).^(x(i+1).^2+1) + ... (x(i+1).^2).^(x(i).^2+1); f=sum(y); % Evaluate the gradient if nargout > 1 if nargout > 1 i=1:(n-1); g = zeros(n,1); g(i) = 2*(x(i+1).^2+1).*x(i).* ... ((x(i).^2).^(x(i+1).^2))+ ... 2*x(i).*((x(i+1).^2).^(x(i).^2+1)).* ... log(x(i+1).^2); g(i+1) = g(i+1) + ... 2*x(i+1).*((x(i).^2).^(x(i+1).^2+1)).* ... log(x(i).^2) + ... 2*(x(i).^2+1).*x(i+1).* ... ((x(i+1).^2).^(x(i).^2)); end
Чтобы позволить эффективный расчет разреженного приближения конечной разности матрицы Гессиана H (x), структура разреженности H должна быть предопределена. В этом случае примите эту структуру, Hstr
, разреженная матрица, доступно в файле brownhstr.mat
. Используя spy
команда вы видите тот Hstr
действительно разреженно (только 2 998 ненулей). Используйте optimoptions
установить HessPattern
опция к Hstr
. Когда проблема, столь большая, как это имеет очевидную структуру разреженности, не устанавливая HessPattern
опция требует огромной суммы ненужной памяти и расчета потому что fminunc
попытки использовать конечное дифференцирование на полной матрице Гессиана одного миллиона ненулевых записей.
Необходимо также установить SpecifyObjectiveGradient
опция к true
использование optimoptions
, поскольку градиент вычисляется в brownfg.m
. Затем выполните fminunc
как показано на Шаге 2.
fun = @brownfg; load brownhstr % Get Hstr, structure of the Hessian spy(Hstr) % View the sparsity structure of Hstr
n = 1000; xstart = -ones(n,1); xstart(2:2:n,1) = 1; options = optimoptions(@fminunc,'Algorithm','trust-region',... 'SpecifyObjectiveGradient',true,'HessPattern',Hstr); [x,fval,exitflag,output] = fminunc(fun,xstart,options);
Эта задача с 1000 переменными решена в семи итерациях и семи итерациях метода сопряженных градиентов с положительным exitflag
указание на сходимость. Итоговое значение функции и мера оптимальности в решении x
оба близко к нулю (для fminunc
, оптимальность первого порядка является нормой по бесконечности градиента функции, которая является нулем в локальном минимуме):
exitflag,fval,output.firstorderopt exitflag = 1 fval = 7.4738e-17 ans = 7.9822e-10