Постройте 3-D решения и их градиенты

Типы 3-D графиков решения

Существует несколько типов графиков для решений, когда у вас есть 3-D геометрия.

Объемная поверхностная диаграмма — Иногда вы хотите исследовать решение на поверхности геометрии. Например, при напряжении или вычислении деформации, самые интересные данные могут появиться на поверхности геометрии. Для примера см. Объемную поверхностную диаграмму.
Для цветной объемной поверхностной диаграммы скалярного решения, набор pdeplot3D colormapdata к решению u:
```
pdeplot3D(model,'ColorMapData',u)
```
Постройте на 2D срезе — Чтобы исследовать решение на внутренней части геометрии, задать 2D сетку, которая пересекает геометрию, и интерполируйте решение на сетку. Для примеров смотрите 2D Срезы Через 3-D Срезы Геометрии и Контура Через 3-D Решение. В то время как эти два примера показывают плоские срезы сетки, можно также резать на кривой сетке.
Поток или графики полей градиента — График градиент решения как потоки или дрожь. См. Графики Градиентов и Потоков.
Можно использовать любую команду графического вывода MATLAB^®, чтобы создать 3-D графики. Смотрите Методы для Визуализации Скалярных Данных об Объеме (MATLAB) и Визуализация Векторных Данных об Объеме (MATLAB).

Для других типов графика смотрите pdeplot3D страница с описанием.

Объемная поверхностная диаграмма

Скрипт Open Live Script

В этом примере показано, как получить объемную поверхностную диаграмму решения с 3-D геометрией и N> 1.

Импортируйте четырехгранную геометрию к модели с N = 2 уравнения и просмотрите его поверхности.

model = createpde(2);
importGeometry(model,'Tetrahedron.stl');
pdegplot(model,'FaceLabels','on','FaceAlpha',0.5)
view(-40,24)

Создайте проблему с нулем граничные условия Дирихле на поверхности 4.

applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','face',4,'u',[0,0]);

Создайте коэффициенты для проблемы, где f = [1;10] и c симметрическая матрица в форме на 6 Н.

f = [1;10];
a = 0;
c = [2;0;4;1;3;8;1;0;2;1;2;4];
specifyCoefficients(model,'m',0,'d',0,'c',c,'a',a,'f',f);

Создайте mesh для решения.

generateMesh(model);

Решите задачу.

results = solvepde(model);
u = results.NodalSolution;

Постройте два компонента решения.

pdeplot3D(model,'ColorMapData',u(:,1))
view(-175,4)
title('u(1)')

figure
pdeplot3D(model,'ColorMapData',u(:,2))
view(-175,4)
title('u(2)')

2D срезы через 3-D геометрию

Скрипт Open Live Script

В этом примере показано, как получить графики от 2D срезов до 3-D геометрии.

Проблема

$\frac{\partial u}{\partial t} - Δ u = f$

на 3-D плите с размерностями 10 10 на 1, где $u = 0$ во время t = 0, граничными условиями является Дирихле, и

$f (x, y, z) = 1 + y + 10 z^{2}$

Настройте и решите УЧП

Задайте функцию для нелинейного f коэффициент в синтаксисе, как дали в f Коэффициенте для specifyCoefficients.

function bcMatrix = myfffun(region,state)

bcMatrix = 1+10*region.z.^2+region.y;

Импортируйте геометрию и исследуйте метки поверхности.

model = createpde;
g = importGeometry(model,'Plate10x10x1.stl');
pdegplot(g,'FaceLabels','on','FaceAlpha',0.5)

Поверхности пронумерованы 1 - 6.

Создайте коэффициенты и граничные условия.

c = 1;
a = 0;
d = 1;
f = @myfffun;
specifyCoefficients(model,'m',0,'d',d,'c',c,'a',a,'f',f);

applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','face',1:6,'u',0);

Установите нулевое начальное условие.

setInitialConditions(model,0);

Не создайте mesh со сторонами больше, чем 0,3.

generateMesh(model,'Hmax',0.3);

Установите времена от 0 до 0.2 и решите УЧП.

tlist = 0:0.02:0.2;
results = solvepde(model,tlist);

Постройте срезы через решение

Создайте сетку (x,y,z) точки, где x = 5Y диапазоны от 0 до 10, и z диапазоны от 0 до 1. Интерполируйте решение этих узлов решетки и всех случаев.

yy = 0:0.5:10;
zz = 0:0.25:1;
[YY,ZZ] = meshgrid(yy,zz);
XX = 5*ones(size(YY));
uintrp = interpolateSolution(results,XX,YY,ZZ,1:length(tlist));

Матрица решения uintrp имеет 11 столбцов, один в течение каждого раза в tlist. Возьмите интерполированное решение для второго столбца, который соответствует времени 0.02.

usol = uintrp(:,2);

Элементы usol произойдите из интерполяции решения XX, YY, и ZZ матрицы, которые являются каждым 5 21, соответствуя z-by-y переменные. Измените usol к тому же самому 5 21 размер, и делают объемную поверхностную диаграмму решения. Также сделайте объемные поверхностные диаграммы, соответствующие временам 0.06, 0.10, и 0.20.

figure
usol = reshape(usol,size(XX));
subplot(2,2,1)
surf(usol)
title('t = 0.02')
zlim([0,1.5])
xlim([1,21])
ylim([1,5])

usol = uintrp(:,4);
usol = reshape(usol,size(XX));
subplot(2,2,2)
surf(usol)
title('t = 0.06')
zlim([0,1.5])
xlim([1,21])
ylim([1,5])

usol = uintrp(:,6);
usol = reshape(usol,size(XX));
subplot(2,2,3)
surf(usol)
title('t = 0.10')
zlim([0,1.5])
xlim([1,21])
ylim([1,5])

usol = uintrp(:,11);
usol = reshape(usol,size(XX));
subplot(2,2,4)
surf(usol)
title('t = 0.20')
zlim([0,1.5])
xlim([1,21])
ylim([1,5])

Очертите срезы через 3-D решение

Скрипт Open Live Script

В этом примере показано, как создать срезы контура в различных направлениях через решение в 3-D геометрии.

Настройте и решите УЧП

Проблема состоит в том, чтобы решить уравнение Пуассона с нулем граничные условия Дирихле для сложной геометрии. Уравнение Пуассона

$- \nabla \cdot \nabla u = f .$

Partial Differential Equation Toolbox™ решает уравнения в форме

$- \nabla \cdot \nabla (c u) + a u = f .$

Таким образом, можно представлять проблему путем установки $c = 1$ и $a = 0$ . Произвольно набор $f = 10$ .

c = 1;
a = 0;
f = 10;

Первый шаг в решении любой 3-D задачи УЧП должен создать Модель УЧП. Это - контейнер, который содержит количество уравнений, геометрии, mesh и граничных условий для вашего УЧП. Создайте модель, затем импортируйте 'ForearmLink.stl' файл и представление геометрия.

N = 1;
model = createpde(N);
importGeometry(model,'ForearmLink.stl');
pdegplot(model,'FaceAlpha',0.5)
view(-42,24)

Задайте коэффициенты УЧП

Включайте коэффициенты УЧП в model.

specifyCoefficients(model,'m',0,'d',0,'c',c,'a',a,'f',f);

Создайте нуль граничные условия Дирихле на всех поверхностях.

applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Face',1:model.Geometry.NumFaces,'u',0);

Создайте mesh и решите УЧП.

generateMesh(model);
result = solvepde(model);

Постройте решение как срезы контура

Поскольку граничные условия $u = 0$ на всех поверхностях, решении $u$ является ненулевым только во внутренней части. Чтобы исследовать внутреннюю часть, возьмите прямоугольную сетку, которая покрывает геометрию интервалом одного модуля в каждом координатном направлении.

[X,Y,Z] = meshgrid(0:135,0:35,0:61);

Для графического вывода и анализа, создайте PDEResults объект из решения. Интерполируйте результат в каждом узле решетки.

V = interpolateSolution(result,X,Y,Z);
V = reshape(V,size(X));

Постройте срезы контура для различных значений $z$ .

figure
colormap jet
contourslice(X,Y,Z,V,[],[],0:5:60)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
colorbar
view(-11,14)
axis equal

Постройте срезы контура для различных значений $y$ .

figure
colormap jet
contourslice(X,Y,Z,V,[],1:6:31,[])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
colorbar
view(-62,34)
axis equal

Сохраните память путем оценки по мере необходимости

Для больших проблем у можно закончиться память при создании прекрасной 3-D сетки. Кроме того, это может быть длительно, чтобы оценить решение на полной сетке. Чтобы сохранить память и время, оцените только в точках, которые вы строите. Можно также использовать этот метод, чтобы интерполировать к наклоненным сеткам, или на другие поверхности.

Например, интерполируйте решение сетки на наклоненной плоскости $0 \leq x \leq 135$ , $0 \leq y \leq 35$ , и $z = x / 10 + y / 2$ . Постройте оба контура, и окрасил поверхностные данные. Используйте прекрасную сетку с разрядкой 0.2.

[X,Y] = meshgrid(0:0.2:135,0:0.2:35);
Z = X/10 + Y/2;
V = interpolateSolution(result,X,Y,Z);
V = reshape(V,size(X));
figure
subplot(2,1,1)
contour(X,Y,V);
axis equal
title('Contour Plot on Tilted Plane')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
subplot(2,1,2)
surf(X,Y,V,'LineStyle','none');
axis equal
view(0,90)
title('Colored Plot on Tilted Plane')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar

Графики градиентов и потоков

Скрипт Open Live Script

В этом примере показано, как вычислить аппроксимированные градиенты решения, и как использовать те градиенты в графике полей градиента или оптимальном графике.

Проблемой является вычисление среднего выходного времени Броуновской частицы из области, которая содержит абсорбирующий (Escape) контуры и отражающиеся контуры. Для получения дополнительной информации смотрите проблему Избавления лишь по счастливой случайности. УЧП является уравнением Пуассона с постоянными коэффициентами. Геометрия является простым прямоугольным телом. Решение $u (x, y, z)$ представляет среднее время, оно берет частицу, запускающуюся в положении $(x, y, z)$ выходить из области.

Импортируйте и просмотрите геометрию

model = createpde;
importGeometry(model,'Block.stl');
pdegplot(model,'FaceLabels','on','FaceAlpha',0.5)
view(-42,24)

Условия границы множества

Установите поверхности 1, 2, и 5 быть местами, где частица может выйти. На этих поверхностях, решении $u = 0$ . Сохраните значение по умолчанию, отражающее граничные условия на поверхностях 3, 4, и 6.

applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Face',[1,2,5],'u',0);

Создайте коэффициенты УЧП

УЧП

$- Δ u = - \nabla \cdot \nabla u = 2$

В синтаксисе Partial Differential Equation Toolbox™,

$- \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

Это уравнение переводит в коэффициенты c = 1, a = 0, и f = 2. Введите коэффициенты.

c = 1;
a = 0;
f = 2;
specifyCoefficients(model,'m',0,'d',0,'c',c','a',a,'f',f);

Создайте Mesh и решите УЧП

Инициализируйте mesh.

generateMesh(model);

Решите УЧП.

results = solvepde(model);

Исследуйте решение в графике среза контура

Создайте сетку и интерполируйте решение сетки.

[X,Y,Z] = meshgrid(0:135,0:35,0:61);
V = interpolateSolution(results,X,Y,Z);
V = reshape(V,size(X));

Создайте график среза контура для пяти фиксированных значений y- координата.

figure
colormap jet
contourslice(X,Y,Z,V,[],0:4:16,[])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
xlim([0,100])
ylim([0,20])
zlim([0,50])
axis equal
view(-50,22)
colorbar

Частица имеет самое большое среднее выходное время около точки $(x, y, z) = (100, 0, 0)$ .

Используйте градиенты в дрожи и оптимизируйте графики

Исследуйте решение более подробно путем оценки градиента решения. Используйте довольно крупную сетку так, чтобы вы видели детали о дрожи и оптимальных графиках.

[X,Y,Z] = meshgrid(1:9:99,1:3:20,1:6:50);
[gradx,grady,gradz] = evaluateGradient(results,X,Y,Z);

Постройте векторы градиента. Сначала измените аппроксимированные градиенты к форме mesh.

gradx = reshape(gradx,size(X));
grady = reshape(grady,size(Y));
gradz = reshape(gradz,size(Z));

figure
quiver3(X,Y,Z,gradx,grady,gradz)
axis equal
xlabel 'x'
ylabel 'y'
zlabel 'z'
title('Quiver Plot of Estimated Gradient of Solution')

Постройте потоки аппроксимированного градиента. Запустите потоки с более разреженного набора начальных точек.

hold on
[sx,sy,sz] = meshgrid([1,46],1:6:20,1:12:50);
streamline(X,Y,Z,gradx,grady,gradz,sx,sy,sz)
title('Quiver Plot with Streamlines')
hold off

Потоки показывают что маленькие значения y и z дайте большие средние выходные времена. Они также показывают что x- координата оказывает значительное влияние на u когда x мал, но когда x больше 40, большие значения оказывают мало влияния на u. Точно так же, когда z меньше 20, его значения оказывают мало влияния на u.

Документация