Сферическая линейная интерполяция
Создайте два кватерниона со следующей интерпретацией:
a = 45 вращений степени вокруг оси z
c =-45 вращений степени вокруг оси z
a = quaternion([45,0,0],'eulerd','ZYX','frame'); c = quaternion([-45,0,0],'eulerd','ZYX','frame');
Вызовите slerp с кватернионами a и c и задайте коэффициент интерполяции 0,5.
interpolationCoefficient = 0.5; b = slerp(a,c,interpolationCoefficient);
Выход slerpB, представляет среднее вращение a и c. Чтобы проверить, преобразуйте b к Углам Эйлера в градусах.
averageRotation = eulerd(b,'ZYX','frame')
averageRotation = 1×3
0 0 0
Коэффициент интерполяции задан как нормированное значение между 0 и 1, включительно. Коэффициент интерполяции 0 соответствует a кватернион и коэффициент интерполяции 1 соответствует c кватернион. Вызовите slerp с коэффициентами 0 и 1 подтвердить.
b = slerp(a,c,[0,1]); eulerd(b,'ZYX','frame')
ans = 2×3
45.0000 0 0
-45.0000 0 0
Можно создать сглаженные пути между кватернионами путем определения массивов равномерно распределенных коэффициентов интерполяции.
path = 0:0.1:1; interpolatedQuaternions = slerp(a,c,path);
Для кватернионов, которые представляют вращение только вокруг одной оси, задавая коэффициенты интерполяции как равномерно распределенные результаты в кватернионах, равномерно распределенных в Углах Эйлера. Преобразуйте interpolatedQuaternions к Углам Эйлера и проверяют, что различие между углами в пути является постоянным.
k = eulerd(interpolatedQuaternions,'ZYX','frame'); abc = abs(diff(k))
abc = 10×3
9.0000 0 0
9.0000 0 0
9.0000 0 0
9.0000 0 0
9.0000 0 0
9.0000 0 0
9.0000 0 0
9.0000 0 0
9.0000 0 0
9.0000 0 0
В качестве альтернативы можно использовать dist функция, чтобы проверить, что расстояние между интерполированными кватернионами сопоставимо. dist функция возвращает угловое расстояние в радианах; преобразуйте в степени для легкого сравнения.
def = rad2deg(dist(interpolatedQuaternions(2:end),interpolatedQuaternions(1:end-1)))
def = 1×10
9.0000 9.0000 9.0000 9.0000 9.0000 9.0000 9.0000 9.0000 9.0000 9.0000
Алгоритм SLERP интерполирует вдоль большого кругового пути, соединяющего два кватерниона. В этом примере показано, как алгоритм SLERP минимизирует большой круговой путь.
Задайте три кватерниона:
q0 - кватернион, указывающий ни на какое вращение от глобальной системы координат
q179 - кватернион, указывающий на 179 вращений степени вокруг оси z
q180 - кватернион, указывающий на 180 вращений степени вокруг оси z
q181 - кватернион, указывающий на 181 вращение степени вокруг оси z
q0 = ones(1,'quaternion'); q179 = quaternion([179,0,0],'eulerd','ZYX','frame'); q180 = quaternion([180,0,0],'eulerd','ZYX','frame'); q181 = quaternion([181,0,0],'eulerd','ZYX','frame');
Используйте slerp интерполировать между q0 и три вращения кватерниона. Укажите, что пути перемещены на 10 шагах.
T = linspace(0,1,10); q179path = slerp(q0,q179,T); q180path = slerp(q0,q180,T); q181path = slerp(q0,q181,T);
Постройте каждый путь в терминах Углов Эйлера в градусах.
q179pathEuler = eulerd(q179path,'ZYX','frame'); q180pathEuler = eulerd(q180path,'ZYX','frame'); q181pathEuler = eulerd(q181path,'ZYX','frame'); plot(T,q179pathEuler(:,1),'bo', ... T,q180pathEuler(:,1),'r*', ... T,q181pathEuler(:,1),'gd'); legend('Path to 179 degrees', ... 'Path to 180 degrees', ... 'Path to 181 degrees') xlabel('Interpolation Coefficient') ylabel('Z-Axis Rotation (Degrees)')
Путь между q0 и q179 должен по часовой стрелке минимизировать большое круговое расстояние. Путь между q0 и q181 должен против часовой стрелки минимизировать большое круговое расстояние. Путь между q0 и q180 может быть или по часовой стрелке или против часовой стрелки, в зависимости от числового округления.
Кватернион сферическая линейная интерполяция (SLERP) является расширением линейной интерполяции вдоль плоскости к сферической интерполяции в трех измерениях. Алгоритм был сначала предложен в [1] (Sensor Fusion and Tracking Toolbox). Учитывая два кватерниона, q 1 и q 2, SLERP интерполирует новый кватернион, q 0, вдоль большого круга, который соединяет q 1 и q 2. Коэффициент интерполяции, T, определяет, как близко выходной кватернион к любому q 1 и q 2.
Алгоритм SLERP может быть описан в терминах синусоид:
где q 1 и q 2 является нормированными кватернионами, и θ является половиной углового расстояния между q 1 и q 2.
[1] Shoemake, Кен. "Анимируя Вращение с Кривыми Кватерниона". Издание 19 Компьютерной графики SIGGRAPH ACM, Выпуск 3, 1985, стр 345–354.