numeric::cubicSpline2d

Интерполяция 2-мерными сплайнами bi-cubic

Блокноты MuPAD® будут демонтированы в будущем релизе. Используйте live скрипты MATLAB® вместо этого.

Live скрипты MATLAB поддерживают большую часть функциональности MuPAD, хотя существуют некоторые различия. Для получения дополнительной информации смотрите, Преобразуют Notebook MuPAD в Live скрипты MATLAB.

Синтаксис

numeric::cubicSpline2d([x0, x1, …, xn], [y0, y1, …, ym], z, <[xBC, yBC]>, <Symbolic>)

Описание

numeric::cubicSpline2d([ x0, x1, ...], [ y0, y1, ...], z) возвращает функцию сплайна bi-cubic, интерполирующую данные z i, j по прямоугольной mesh (x i, y j).

Вызов S := numeric::cubicSpline2d([x0, …, xn], [y0, …, yn], z, Option) дает к кубической функции сплайна S, интерполирующий данные (x i, y j, z i, j), т.е., S (x i, y j) = z i, j для i = 0, …, n, j = 0, …, m. Функция сплайна является кусочным bi-кубическим-полиномом: на 'закрашенной фигуре'

,

это имеет представление

с подходящими коэффициентами a i, j (u, v) в зависимости от закрашенной фигуры. Сплайн S и его частные производные S x, S y, S xx, S xy, S yy, S xxy, S xyy, S xxyy является непрерывными функциями по целому x, плоскости y. В x - направление, S расширяет полиномиальное представление на граничных закрашенных фигурах и к и, соответственно. То же самое содержит относительно y - направление.

По умолчанию, NotAKnot граничные условия приняты, т.е. частные производные S xxx, S yyy, , S xxxyyy, непрерывен в точках с x - координирует x 1 и x, n - 1 или y - координирует y 1 и y m - 1.

По умолчанию все входные данные преобразованы в числа с плавающей запятой. Это преобразование может быть подавлено опцией Symbolic.

Без опции Symbolic, абсциссы x i, y j должен быть числовыми действительными значениями в порядке возрастания. Если эти данные не упорядочены, то numeric::cubicSpline2d переупорядочивает абсциссы внутренне, выдавая предупреждение.

Функциональный S возвращенный numeric::cubicSpline2d может быть вызван два, три, четыре, или пять аргументов, соответственно:

  • Вызов S(x, y) возвращает арифметическое выражение, если x и y являются числовыми выражениями. Плавание возвращено, если или x или y являются плаванием, и все включенные параметры могут быть преобразованы в плавания.

    Если или x или y содержат символьные объекты, символьный вызов S(x, y) возвращен.

  • Вызов S(x, y, [u, v]) с неотрицательными целыми числами uV возвращает частную производную сплайна. Если или x или y содержат символьные объекты, символьный вызов S(x, y, [u, v]) возвращен. Результат 0 если любой u> 3 или v> 3. Вызовы S(x, y, [0, 0]) и S(x, y) эквивалентны.

  • Вызов S(x, y, i, j) с неотрицательными целыми числами iJ возвращает полиномиальное представление сплайна на закрашенной фигуре p i, j. Здесь, x и y могут быть произвольными числовыми или символьными арифметическими выражениями. Внутренне, (x, y) приняты, чтобы лечь в закрашенной фигуре p i, j.

  • Вызов S(x, y, i, j, [u, v]) с неотрицательными целыми числами iJUV возвращает полиномиальное представление частных производных функции сплайна. В этом вызове x и y могут быть произвольными числовыми или символьными арифметическими выражениями, которые приняты, чтобы лечь в закрашенной фигуре p i, j. Результат 0 если любой u> 3 или v> 3. Вызовы S(x, y, i, j, [0, 0]) и S(x, y, i, j) эквивалентны.

Если S сгенерирован с символьными абсциссами x i, y j (обязательно использующий опцию Symbolic), вызов S(x, y, [ u , v ]) возвращен символически. Вызов S(x, y, i, j, [ u , v ]) должен использоваться в символьных абсциссах!

Примеры

Пример 1

Мы демонстрируем некоторые вызовы с числовыми входными данными. Функциональный f (x, y) = sin (2  π   (x + y)) с 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 должен быть интерполирован n + 1 = 11 равноотстоящих точек в x - направление и m + 1 = 13 равноотстоящих точек в y - направление:

f := (x, y) -> sin((x + y)*2*PI):
n := 10: x := [i/n $ i = 0..n]:
m := 12: y := [j/m $ j = 0..m]:
z := array(0..n, 0..m, [[f(i/n, j/m) $ j = 0..m] $ i = 0..n]):
S1 := numeric::cubicSpline2d(x, y, z, [NotAKnot, NotAKnot]):
S2 := numeric::cubicSpline2d(x, y, z, [Natural, Natural]):
S3 := numeric::cubicSpline2d(x, y, z, [NotAKnot, Periodic]):

Мы рассматриваем Complete граничные условия в y - направление. Они состоят из значений f y (x i, y 0) = f y (x i, 0) = 2  π   cos (2  π   x i) и f y (x i, y m) = f y (x i, 1) = 2  π   cos (2  π   x i):

ybc:= [[2*PI*cos(2*PI*i/n) $ i = 0..n], 
       [2*PI*cos(2*PI*i/n) $ i = 0..n]]:
S4 := numeric::cubicSpline2d(x, y, z, [Periodic, Complete = ybc]):

В точках mesh (x i, y j), входные данные z i, воспроизводится j:

x := 4/n: y := 8/m:
float(f(x, y)), S1(x, y), S2(x, y), S3(x, y), S4(x, y)

Интерполяция между точками mesh зависит от граничного условия:

x := 0.92: y:= 0.55: S1(x, y), S2(x, y), S3(x, y), S4(x, y)

Приближение значения функции f (0.92, 0.55) хорош для NotAKnot, Periodic, и Complete граничные условия. Natural граничные условия являются менее соответствующими, потому что вторые частные производные функционального f не исчезают на контурах. Следовательно, ошибка приближения S2 больше, чем другие ошибки приближения:

z := float(f(x, y)): 
S1(x, y) - z, S2(x, y) - z, S3(x, y) - z, S4(x, y) - z

Это - bi-кубический-полином в XY определение сплайна S1 на закрашенной фигуре:

expand(S1(X, Y, 0, 3))

delete f, n, m, ybc, x, y, z, S1, S2, S3, S4:

Пример 2

Мы демонстрируем некоторые вызовы с символьными данными. С опцией Symbolic, точная арифметика используется:

S := numeric::cubicSpline2d(
       [i $ i = 0..3], 
       [j $ j = 0..4],
       array(0..3, 0..4, [[z.i.j $ j = 0..4] $ i = 0..3]),
       Symbolic
    ):
S(1/2, 3/2)

Это - bi-кубический-полином в X, Y, задающий сплайн с x 0 = 0 ≤ Xx 1 = 1, y 1 = 1 ≤ Yy 2 = 2:

expand(S(X, Y, 0, 1))

delete S:

Пример 3

Мы рассматриваем интерполяцию сплайна функции с - 1 ≤ x ≤ 1, - 1 ≤ y ≤ 1:

n := 10: xmesh := [-1 + 2*i/n $ i = 0..n]: 
m := 12: ymesh := [-1 + 2*j/n $ j = 0..m]:
f := (x, y) -> exp(-x^2 - y^2):
z := array(0..n, 0..m, 
     [[f(-1 + 2*i/n, -1 + 2*j/m) $ j=0..m] $ i = 0..n]):
S := numeric::cubicSpline2d(xmesh, ymesh, z):

Мы строим функцию сплайна S (x, y):

plotfunc3d(S(x, y), x = -1 .. 1, y = -1 .. 1):

Мы строим частную производную S xxxyyy (x, y). Это постоянно на каждой закрашенной фигуре с, схватил контуры закрашенных фигур. Использование средства отображения [5 n + 1, 5 m + 1] поймало в сети точки: в каждом направлении 4 дополнительных очка между смежными точками mesh сплайна используются в графическом представлении:

plotfunc3d(S(x, y, [3, 3])/10, x = -1 .. 1, y = -1 .. 1,
           Mesh = [5*n + 1, 5*m+ 1])

delete n, xmesh, m, ymesh, f, z, S:

Пример 4

Мы демонстрируем интерпретацию сплайна поверхности. Мы считаем сферу параметризованной сферическими координатами u, v с 0 ≤ u ≤ 2  π, 0 ≤ v ≤ π:

.

Мы интерполируем функции x, y, z по прямоугольной mesh в u - v-плоскость. Начиная с x y и (trivally) z является 2  π-periodic в u, мы выбираем Periodic граничные условия для u. Для v мы выбираем Complete граничные условия с граничными значениями первого частичного v - производная, соответствующая параметризации:

x:= (u, v) -> cos(u)*sin(v): x_v := diff(x(u, v), v):
y:= (u, v) -> sin(u)*sin(v): y_v := diff(y(u, v), v):
z:= (u, v) -> cos(v): z_v := diff(z(u, v), v):
n := 4: umesh := [i*2*PI/n $ i = 0..n]:
m := 4: vmesh := [j*PI/m $ j = 0..m]:

vBC := Complete = [
    [subs(x_v, u = umesh[i], v = vmesh[1]) $ i = 1 .. n+1],
    [subs(x_v, u = umesh[i], v = vmesh[n + 1]) $ i = 1 .. n+1]]:
X := numeric::cubicSpline2d(umesh, vmesh,
  array(0..n, 0..m, [[x(i*2*PI/n, j*PI/m) $ j=0..m] $ i=0..n]),
  [Periodic, vBC]):

vBC := Complete = [
    [subs(y_v, u = umesh[i], v = vmesh[1]) $ i = 1 .. n+1],
    [subs(y_v, u = umesh[i], v = vmesh[n + 1]) $ i = 1 .. n+1]]:
Y := numeric::cubicSpline2d(umesh, vmesh,
   array(0..n, 0..m, [[y(i*2*PI/n, j*PI/m) $ j=0..m] $ i=0..n]),
   [Periodic, vBC]):

vBC := Complete = [
    [subs(z_v, u = umesh[i], v = vmesh[1]) $ i = 1 .. n+1],
    [subs(z_v, u = umesh[i], v = vmesh[n + 1]) $ i = 1 .. n+1]]:
Z := numeric::cubicSpline2d(umesh, vmesh,
   array(0..n, 0..m, [[z(i*2*PI/n, j*PI/m) $ j=0..m] $ i=0..n]),
   [Periodic, vBC]):

С только (n + 1) × (m + 1) = 5×5 точки mesh, поверхность сплайна дает к значительному приближению сферы. Узлы интерполяции добавляются к графику как синие точки:

plot(
  plot::Surface([X(u, v), Y(u, v), Z(u, v)], 
                 u = 0..2*PI, v = 0..PI,
                 Mesh = [5*n + 1, 5*m + 1],
                 Color = RGB::Red),
  plot::Point3d(x(umesh[i], vmesh[j]), 
                y(umesh[i], vmesh[j]), 
                z(umesh[i], vmesh[j]),
                PointSize = 2*unit::mm,
                Color = RGB::Blue
               ) $ i = 1..n+1 $ j = 1..m+1
):

delete x, x_v, y, y_v, z, z_v, n, m, 
       umesh, vmesh, vBC, X, Y, Z:

Параметры

x0, x1, …, xn

x - координаты узлов: отличные числовые действительные значения в порядке возрастания

y0, y1, …, ym

y - координаты узлов: отличные числовые действительные значения в порядке возрастания

z

Значения функции: массив формы array(0..n, 0..m, [...]) с числовыми или символьными арифметическими выражениями.

xBC, yBC

Тип граничного условия: граничное условие в x - или y - направление может быть одним из флагов NotAKnot, Natural, Periodic или Complete = [...].

Complete граничные условия состоят из заданных значений для производных S x или S y, соответственно, вдоль контуров mesh в x - или y - направление, соответственно. В x - направление, которое они оценивают, может быть передано в форме Complete = [[a0, …, am], [b0, …, bm]] с произвольными числовыми или символьными арифметическими выражениями a0, …, bm.

В y - направление, которое они оценивают, может быть передано в форме Complete = [[a0, …, an], [b0, …, bn]] с произвольными числовыми или символьными арифметическими выражениями a0, …, bn.

Опции

Symbolic

При использовании этой опции не происходит никакое преобразование входных данных к числам с плавающей точкой.

Символьные абсциссы x i, y j приняты.

Упорядоченное расположение x 0 <x 1 <… <x n, y 0 <y 1 <… <y m принят. Это упорядоченное расположение не проверяется, даже если координаты узла числовые!

NotAKnot

С граничным условием по умолчанию xBC = yBC = NotAKnot, все частные производные функции сплайна непрерывны в узлах с x - координирует x 1 и x, n - 1 или y - координирует y 1 и y m - 1, соответственно. С этим граничным условием, S полином на объединении закрашенных фигур p 0, j, p 1, j и p n - 2, j, p n - 1, j или p i, 0, p i, 1 и p i, m - 2, p i, m - 1, соответственно.

Это граничное условие рекомендуется, если никакая информация о поведении данных около контуров mesh не доступна.

Natural

Граничное условие Natural производит функцию сплайна S с исчезающими вторыми частными производными за пределами mesh.

Это граничное условие рекомендуется, если известно, что данные соответствуют поверхности с исчезающим искривлением около контуров mesh.

Periodic

Граничное условие Periodic производит функцию сплайна S удовлетворение

Или

,

Соответственно. При использовании этой опции, входные данные z 0, j, z n, j, соответственно z i, 0, z должен совпасть i, m. В противном случае ошибка повышена.

Это граничное условие рекомендуется, если интерполяция должна представлять периодическую функцию.

Complete

Опция, заданная как Complete = [...]

xBC граничное условие Complete = [[a0, …, am], [b0, …, bm]] производит функцию сплайна S, удовлетворяющий S x (x 0, y j) = a j, S x (x n, y j) = b j, j = 0, …, m.

yBC граничное условие Complete = [[a0, …, an], [b0, …, bn]] производит функцию сплайна S, удовлетворяющий S y (x i, y 0) = a i, S y (x i, y m) = b i, i = 0, …, n.

Символьные данные a k, b k принят.

Это граничное условие рекомендуется если данные z i, j correpond к функции с известными значениями первых частных производных на контурах mesh.

Возвращаемые значения

Функция сплайна: процедура MuPAD®.

Смотрите также

Функции MuPAD

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте