odeToVectorField

Уменьшайте порядок дифференциальных уравнений к первому порядку

Поддержка вектора символов или входных параметров строки будет удалена в будущем релизе. Вместо этого используйте syms объявить переменные и входные параметры замены, такие как odeToVectorField('D2y = x') с syms y(x), odeToVectorField(diff(y,x,2) == x).

Синтаксис

V = odeToVectorField(eqn1,...,eqnN)

[V,S] =
odeToVectorField(eqn1,...,eqnN)

Описание

пример

V = odeToVectorField(eqn1,...,eqnN) преобразует дифференциальные уравнения высшего порядка eqn1,...,eqnN к системе дифференциальных уравнений первого порядка, возвращенных как символьный вектор.

пример

[V,S] = odeToVectorField(eqn1,...,eqnN) преобразует eqn1,...,eqnN и возвращает два символьных вектора. Первый векторный V совпадает с выходом предыдущего синтаксиса. Второй векторный S показывает замены, сделанные получить V.

Примеры

свернуть все

Преобразуйте дифференциальное уравнение второго порядка в систему первого порядка

Скрипт Open Live Script

Определите дифференциальное уравнение второго порядка:

$\frac{d^{2} y}{{dt}^{2}} + y^{2} t = 3 t .$

Преобразуйте дифференциальное уравнение второго порядка в систему дифференциальных уравнений первого порядка.

syms y(t)
eqn = diff(y,2) + y^2*t == 3*t;
V = odeToVectorField(eqn)

V = 
 $(\begin{matrix} Y_{2} \\ 3 t - t {Y_{1}}^{2} \end{matrix})$

Элементы V представляют систему дифференциальных уравнений первого порядка, где V[i] = ${Y_{i}}^{'}$ и $Y_{1} = y$ . Здесь, выход V представляет эти уравнения:

$\frac{d Y_{1}}{dt} = Y_{2}$

$\frac{{dY}_{2}}{dt} = 3 t - t Y_{1}^{2} .$

Для получения дополнительной информации на отношении между вводом и выводом, см. Алгоритмы.

Возвратите замены, сделанные при сокращении порядка дифференциальных уравнений

Скрипт Open Live Script

При сокращении порядка дифференциальных уравнений возвратите замены что odeToVectorField делает путем определения второго выходного аргумента.

syms f(t) g(t)
eqn1 = diff(g) == g-f;
eqn2 = diff(f,2) == g+f;
eqns = [eqn1 eqn2];
[V,S] = odeToVectorField(eqns)

V = 
 $(\begin{matrix} Y_{2} \\ Y_{1} + Y_{3} \\ Y_{3} - Y_{1} \end{matrix})$

S = 
 $(\begin{matrix} f \\ Df \\ g \end{matrix})$

Элементы V представляйте систему дифференциальных уравнений первого порядка, где V[i] = ${Y_{i}}^{'}$ . Выход S показывает сделанные замены, S[1] = $Y_{1} = f$ , S[2] = $Y_{2}$ = diff(f), и S[3] = $Y_{3} = g$ .

Решите дифференциальное уравнение высшего порядка численно

Скрипт Open Live Script

Решите дифференциальное уравнение высшего порядка численно путем сокращения порядка уравнения, генерации указателя на функцию MATLAB®, и затем нахождения числового решения с помощью ode45 функция.

Преобразуйте следующее дифференциальное уравнение второго порядка в систему дифференциальных уравнений первого порядка при помощи odeToVectorField.

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = (1 - y^{2}) \frac{dy}{dt} - y .$

syms y(t)
eqn = diff(y,2) == (1-y^2)*diff(y)-y;
V = odeToVectorField(eqn)

V = 
 $(\begin{matrix} Y_{2} \\ - ({Y_{1}}^{2} - 1) Y_{2} - Y_{1} \end{matrix})$

Сгенерируйте указатель функции MATLAB от V при помощи matlabFunction.

M = matlabFunction(V,'vars',{'t','Y'})

M = function_handle with value:
    @(t,Y)[Y(2);-(Y(1).^2-1.0).*Y(2)-Y(1)]

Задайте интервал решения, чтобы быть [0 20] и начальные условия, чтобы быть $y^{'} (0) = 2$ и $y^{''} (0) = 0$ . Решите систему дифференциальных уравнений первого порядка при помощи ode45.

interval = [0 20];
yInit = [2 0];
ySol = ode45(M,interval,yInit);

Затем постройте решение $y (t)$ в интервале $t$ = [0 20] . Сгенерируйте значения t при помощи linspace. Оцените решение для $y (t)$ , который является первым индексом в ySol, путем вызова deval функция с индексом 1. Постройте решение с помощью plot.

tValues = linspace(0,20,100);
yValues = deval(ySol,tValues,1);
plot(tValues,yValues)

Преобразуйте дифференциальное уравнение второго порядка с начальным условием

Скрипт Open Live Script

Преобразуйте дифференциальное уравнение второго порядка $y^{''} (x) = x$ с начальным условием $y (0) = a$ к системе первого порядка.

syms y(x) a
eqn = diff(y,x,2) == x;
cond = y(0) == a;
V = odeToVectorField(eqn,cond)

V = 
 $(\begin{matrix} Y_{2} \\ x \end{matrix})$

Входные параметры

свернуть все

`eqn1,...,eqnN` — Дифференциальные уравнения высшего порядка
символьное дифференциальное уравнение | массив символьных дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения высшего порядка, заданные как символьное дифференциальное уравнение или массив символьных дифференциальных уравнений. Используйте == оператор, чтобы создать уравнение. Используйте diff функция, чтобы указать на дифференцирование. Например, представляйте d ²y (t)/dt2 = t y (t) путем ввода следующей команды.

syms y(t)
eqn = diff(y,2) == t*y;

Выходные аргументы

свернуть все

`V` — Дифференциальные уравнения первого порядка
символьное выражение | вектор символьных выражений

Дифференциальные уравнения первого порядка, возвращенные как символьное выражение или вектор символьных выражений. Каждый элемент этого вектора является правой стороной дифференциального уравнения первого порядка Y [i] ′ = V [i].

`S` — Замены в уравнениях первого порядка
вектор символьных выражений

Замены в уравнениях первого порядка, возвращенных как вектор символьных выражений. Элементы вектора представляют замены, такие что S(1) = Y[1], S(2) = Y[2],….

Советы

Чтобы решить получившуюся систему дифференциальных уравнений первого порядка, сгенерируйте указатель на функцию MATLAB^® с помощью matlabFunction с V как вход. Затем используйте сгенерированный указатель функции MATLAB в качестве входа для MATLAB числовой решатель ode23 или ode45.
odeToVectorField может преобразовать только квазилинейные дифференциальные уравнения. Таким образом, производные самого высокого порядка должны появиться линейно. Например, odeToVectorField может преобразовать y *y ″ (t) = –t2, потому что это может быть переписано как y ″ (t) = –t2/y. Однако это не может преобразовать y ″ (t) ² = –t2 или sin (y ″ (t)) = –t2.

Алгоритмы

Преобразовывать дифференциальное уравнение th-порядка n

$a_{n} (t) y^{(n)} + a_{n - 1} (t) y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} (t) y^{'} + a_{0} (t) y + r (t) = 0$

в систему дифференциальных уравнений первого порядка, odetovectorfield делает эти замены.

$\begin{array}{l} Y_{1} = y \\ Y_{2} = y^{'} \\ Y_{3} = y^{″} \\ \dots \\ Y_{n - 1} = y^{(n - 2)} \\ Y_{n} = y^{(n - 1)} \end{array}$

Используя новые переменные, это переписывает уравнение как систему дифференциальных уравнений первого порядка n:

$\begin{array}{l} Y_{1}^{'} = y^{'} = Y_{2} \\ Y_{2}^{'} = y^{″} = Y_{3} \\ \dots \\ Y_{n - 1}^{'} = y^{(n - 1)} = Y_{n} \\ Y_{n}^{'} = - \frac{a_{n - 1} (t)}{a_{n} (t)} Y_{n} - \frac{a_{n - 2} (t)}{a_{n} (t)} Y_{n - 1} - ... - \frac{a_{1} (t)}{a_{n} (t)} Y_{2} - \frac{a_{0} (t)}{a_{n} (t)} Y_{1} + \frac{r (t)}{a_{n} (t)} \end{array}$

odeToVectorField возвращает правые стороны этих уравнений как элементы векторного V и замены, сделанные как второй выход S.

Вопросы совместимости

развернуть все