gram

Управляемость и наблюдаемость грамиана

Синтаксис

Wc = gram(sys,'c') Wc = gram(sys,'o') Wc = gram(___,opt)

Описание

Wc = gram(sys,'c') вычисляет грамиан управляемости пространства состояний (ss) модель sys.

Wc = gram(sys,'o') вычисляет грамиан наблюдаемости ss модель sys.

Wc = gram(___,opt) вычисляет ограниченный временем или ограниченный частотой грамиан. opt набор опции, который задает время или интервалы частоты для расчета. Создайте opt использование gramOptions команда.

Можно использовать грамиан, чтобы изучить управляемость и свойства наблюдаемости моделей в пространстве состояний и для снижения сложности модели [1]. У них есть лучшие числовые свойства, чем управляемость и матрицы наблюдаемости, сформированные ctrb и obsv.

Учитывая модель в пространстве состояний непрерывного времени

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u \\ y = C x + D u \end{array}$

грамиан управляемости задан

$W_{c} = \int_{0}^{\infty} e^{A τ} B B^{T} e^{A^{T} τ} d τ$

Грамиан управляемости положителен определенный, если и только если (A, B) управляемо.

Грамиан наблюдаемости задан

$W_{o} = \int_{0}^{\infty} e^{A^{T} τ} C^{T} C e^{A τ} d τ$

Грамиан наблюдаемости положителен определенный, если и только если (A, C) заметно.

Дубликаты дискретного времени управляемости и наблюдаемости грамиана

$\begin{matrix} W_{c} = \sum_{k = 0}^{\infty} A^{k} B B^{T} {(A^{T})}^{k}, & W_{o} = \end{matrix} \sum_{k = 0}^{\infty} {(A^{T})}^{k} C^{T} C A^{k}$

соответственно.

Используйте ограниченный временем или ограниченный частотой грамиан, чтобы исследовать управляемость или наблюдаемость состояний в интервалах частоты или определенном времени. Определение этого грамиана как описано в [2].

Примеры

Вычислите ограниченный частотой грамиан

Вычислите грамиан управляемости следующей модели в пространстве состояний. Фокусируйте расчет на интервале частоты с большей частью энергии.

sys = ss([-.1 -1;1 0],[1;0],[0 1],0);

Модель содержит пик на уровне 1 рад/с. Используйте gramOptions задавать интервал вокруг той частоты.

opt = gramOptions('FreqIntervals',[0.8 1.2]);
gc = gram(sys,'c',opt)

gc = 2×2

    4.2132   -0.0000
   -0.0000    4.2433

Ограничения

Матрица A должна быть устойчивой (все собственные значения имеют отрицательную действительную часть в непрерывное время и величину строго меньше чем один в дискретное время).

Алгоритмы

Грамиан управляемости _Wc получен путем решения непрерывного времени уравнение Ляпунова

$A W_{c} + W_{c} A^{T} + B B^{T} = 0$

или его дубликат дискретного времени

$A W_{c} A^{T} - W_{c} + B B^{T} = 0$

Точно так же грамиан наблюдаемости _Wo решает уравнение Ляпунова

$A^{T} W_{o} + W_{o} A + C^{T} C = 0$

в непрерывное время и уравнение Ляпунова

$A^{T} W_{o} A - W_{o} + C^{T} C = 0$

в дискретное время.

Расчет ограниченного временем и ограниченного частотой грамиана как описано в [2].

Ссылки

[1] Kailath, T., линейные системы, Prentice Hall, 1980.

[2] Гавронский, W. и Дж.Н. Джуэнг. “Снижение сложности модели в Интервалах Ограниченного времени и Частоты”. Международный журнал Системной Науки. Издание 21, Номер 2, 1990, стр 349–376.

Документация

gram

Синтаксис

Описание

Примеры

Вычислите ограниченный частотой грамиан

Ограничения

Алгоритмы

Ссылки

Смотрите также

Представлено до R2006a

Документация Control System Toolbox

Поддержка