lratiotest

Тест отношения правдоподобия спецификации модели

Описание

пример

h = lratiotest(uLogL,rLogL,dof) возвращает логическое значение (h) с решением отклонения от проведения теста отношения правдоподобия спецификации модели.

lratiotest создает тестовую статистическую величину использование целевой функции логарифмической правдоподобности, выполненной в неограниченных оценках параметра модели (uLogL) и ограниченные оценки параметра модели (rLogL). Тестовое распределение статистической величины имеет dof степени свободы.

  • Если uLogL или rLogL вектор, затем другой должен быть скаляр или вектор равной длины. lratiotest(uLogL,rLogL,dof) обработки каждый элемент векторного входа как отдельный тест, и возвращают вектор решений отклонения.

  • Если uLogL или rLogL вектор-строка, затем lratiotest(uLogL,rLogL,dof) возвращает вектор-строку.

пример

h = lratiotest(uLogL,rLogL,dof,alpha) возвращает решение отклонения о тесте отношения правдоподобия, проводимом на уровне значения alpha.

пример

[h,pValue] = lratiotest(___) возвращает решение отклонения и p - значение (pValue) для теста гипотезы, с помощью любого из входных параметров в предыдущих синтаксисах.

пример

[h,pValue,stat,cValue] = lratiotest(___) дополнительно возвращает тестовую статистическую величину (stat) и критическое значение (cValue) для теста гипотезы.

Примеры

свернуть все

Сравните два технических требований модели для симулированного образования и поступите данные. Неограниченная модель имеет следующую логарифмическую правдоподобность:

l(β,ρ)=-nlogΓ(ρ)+ρk=1nlogβk+(ρ-1)k=1nlog(yk)-k=1nykβk,

где

  • βk=1β+xk.

  • xk количество классов тот человек k завершенный.

  • yk доход (в тысячах доллара США) человека k.

Таким образом, доход человека k, учитывая количество классов, что человеком k завершенный является Гамма, распределенная с формой ρ и уровень βk. Ограниченные наборы модели ρ=1, который подразумевает, что доход человека k, учитывая количество человека классов k завершенный экспоненциально распределяется со средним значением β+xk.

Ограниченная модель H0:ρ=1. Сравнение этой модели к неограниченной модели с помощью lratiotest требует следующего:

  • Функция логарифмической правдоподобности

  • Оценка наибольшего правдоподобия (MLE) в соответствии с неограниченной моделью

  • MLE в соответствии с ограниченной моделью

Загрузите данные.

load Data_Income1
x = DataTable.EDU;
y = DataTable.INC;

Чтобы оценить неограниченные параметры модели, максимизировать l(ρ,β) относительно ρ и β. Градиент l(ρ,β)

l(ρ,β)ρ=-nψ(ρ)+k=1nlog(ykβk)

l(ρ,β)β=k=1nβk(βkyk-ρ),

где ψ(ρ) дигамма-функция.

nLogLGradFun = @(theta) deal(-sum(-gammaln(theta(1)) - ...
    theta(1)*log(theta(2) + x) + (theta(1)-1)*log(y) - ...
    y./(theta(2)+x)),...
    -[sum(-psi(theta(1))+log(y./(theta(2)+x)));...
    sum(1./(theta(2)+x).*(y./(theta(2)+x)-theta(1)))]);

nLogLGradFun анонимная функция, которая возвращает отрицательную логарифмическую правдоподобность и градиент, учитывая вход theta, который содержит параметры ρ и β, соответственно.

Численно оптимизируйте отрицательную функцию логарифмической правдоподобности использование fmincon, который минимизирует целевую функцию, удовлетворяющую ограничениям.

theta0 = randn(2,1); % Initial value for optimization
uLB = [0 -min(x)];   % Unrestricted model lower bound
uUB = [Inf Inf];     % Unrestricted model upper bound
options = optimoptions('fmincon','Algorithm','interior-point',...
    'FunctionTolerance',1e-10,'Display','off',...
    'SpecifyObjectiveGradient',true); % Optimization options

[uMLE,uLogL] = fmincon(nLogLGradFun,theta0,[],[],[],[],uLB,uUB,[],options);
uLogL = -uLogL;

uMLE неограниченная оценка наибольшего правдоподобия и uLogL максимум логарифмической правдоподобности.

Введите ограничение к логарифмической правдоподобности путем установки соответствующих ограничений нижней и верхней границы ρ к 1. Минимизируйте отрицательную, ограниченную логарифмическую правдоподобность.

dof = 1;           % Number of restrictions
rLB = [1 -min(x)]; % Restricted model lower bound
rUB = [1 Inf];     % Restricted model upper bound
[rMLE,rLogL] = fmincon(nLogLGradFun,theta0,[],[],[],[],rLB,rUB,[],options);
rLogL = -rLogL;

rMLE неограниченная оценка наибольшего правдоподобия и rLogL максимум логарифмической правдоподобности.

Используйте тест отношения правдоподобия, чтобы оценить, представляют ли данные достаточно свидетельств, чтобы способствовать неограниченной модели по ограниченной модели.

[h,pValue,stat] = lratiotest(uLogL,rLogL,dof)
h = logical
   1

pValue = 8.9146e-04
stat = 11.0404

pValue близко к 0, который указывает, что существуют убедительные доказательства, предполагающие, что неограниченная модель соответствует данным лучше, чем ограниченная модель.

Оцените технические требования модели путем тестирования вниз среди нескольких ограниченных моделей с помощью симулированных данных. Истинная модель является ARMA (2,1)

yt=3+0.9yt-1-0.5yt-2+εt+0.7εt-1,

где εt является Гауссовым со средним значением 0 и отклонением 1.

Задайте истинную модель ARMA(2,1) и симулируйте 100 значений ответа.

TrueMdl = arima('AR',{0.9,-0.5},'MA',0.7,...
    'Constant',3,'Variance',1);
T = 100;
rng(1); % For reproducibility
y = simulate(TrueMdl,T);

Задайте неограниченную модель и модели кандидата для тестирования вниз.

Mdl = {arima(2,0,2),arima(2,0,1),arima(2,0,0),arima(1,0,2),arima(1,0,1),...
    arima(1,0,0),arima(0,0,2),arima(0,0,1)};
rMdlNames = {'ARMA(2,1)','AR(2)','ARMA(1,2)','ARMA(1,1)',...
    'AR(1)','MA(2)','MA(1)'};

Mdl 1 7 массив ячеек. Mdl{1} неограниченная модель, и все другие ячейки содержат модель кандидата.

Подбирайте модели кандидата к симулированным данным.

logL = zeros(size(Mdl,1),1); % Preallocate loglikelihoods
dof = logL;                  % Preallocate degrees of freedom
for k = 1:size(Mdl,2)
    [EstMdl,~,logL(k)] = estimate(Mdl{k},y,'Display','off');
    dof(k) = 4 - (EstMdl.P + EstMdl.Q); % Number of restricted parameters
end
uLogL = logL(1);     
rLogL = logL(2:end); 
dof = dof(2:end);

uLogL и rLogL значения неограниченной логарифмической правдоподобности, оцененной в неограниченных и ограниченных оценках параметра модели, соответственно.

Примените тест отношения правдоподобия на 1%-м уровне значения, чтобы найти соответствующее, ограничил спецификацию (спецификации) модели.

alpha = .01;
h = lratiotest(uLogL,rLogL,dof,alpha);
RestrictedModels = rMdlNames(~h)
RestrictedModels = 1x4 cell
    {'ARMA(2,1)'}    {'ARMA(1,2)'}    {'ARMA(1,1)'}    {'MA(2)'}

Самые соответствующие ограниченные модели являются ARMA (2,1), ARMA (1,2), ARMA (1,1), или MA (2).

Можно протестировать вниз снова, но использовать ARMA (2,1) в качестве неограниченной модели. В этом случае необходимо удалить MA (2) из возможных ограниченных моделей.

Протестируйте, существуют ли значительные эффекты ДУГИ в симулированном ряду ответа с помощью lratiotest. Значения параметров в этом примере произвольны.

Задайте модель AR (1) с ДУГОЙ (1) отклонение:

yt=0.9yt-1+εt,

где

  • εt=wtht.

  • ht=1+0.5εt-12.

  • wt является Гауссовым со средним значением 0 и отклонением 1.

VarMdl = garch('ARCH',0.5,'Constant',1);
Mdl = arima('Constant',0,'Variance',VarMdl,'AR',0.9);

Mdl полностью заданная модель AR (1) с ДУГОЙ (1) отклонение.

Симулируйте преддемонстрационные и эффективные демонстрационные ответы от Mdl.

T = 100;
rng(1);  % For reproducibility
n = 2;   % Number of presample observations required for the gradient
[y,epsilon,condVariance] = simulate(Mdl,T + n);

psI = 1:n;             % Presample indices
esI = (n + 1):(T + n); % Estimation sample indices

epsilon случайный путь инноваций от VarMdl. Программное обеспечение фильтрует epsilon через Mdl давать случайный путь к ответу y.

Задайте неограниченную модель, принимающую, что условная средняя константа модели 0:

yt=ϕ1yt-1+εt,

где ht=α0+α1εt-12. Соответствуйте симулированным данным (y) к неограниченной модели с помощью преддемонстрационных наблюдений.

UVarMdl = garch(0,1);
UMdl = arima('ARLags',1,'Constant',0,'Variance',UVarMdl);
[~,~,uLogL] = estimate(UMdl,y(esI),'Y0',y(psI),'E0',epsilon(psI),...
    'V0',condVariance(psI),'Display','off');

uLogL максимальное значение неограниченной функции логарифмической правдоподобности.

Задайте ограниченную модель, принимающую, что условная средняя константа модели 0:

yt=ϕ1yt-1+εt,

где ht=α0. Соответствуйте симулированным данным (y) к ограниченной модели с помощью преддемонстрационных наблюдений.

RVarMdl = garch(0,1);
RVarMdl.ARCH{1} = 0;
RMdl = arima('ARLags',1,'Constant',0,'Variance',RVarMdl);
[~,~,rLogL] = estimate(RMdl,y(esI),'Y0',y(psI),'E0',epsilon(psI),...
    'V0',condVariance(psI),'Display','off');

Структура RMdl совпадает с UMdl. Однако каждый параметр неизвестен, за исключением ограничения. Это ограничения равенства во время оценки. Можно интерпретировать RMdl как модель AR (1) с Гауссовыми инновациями, которые имеют среднее значение 0 и постоянное отклонение.

Протестируйте нулевую гипотезу это α1=0 на 5%-м уровне значения по умолчанию с помощью lratoitest.

dof = (UMdl.P + UMdl.Q + UVarMdl.P + UVarMdl.Q) ...
    - (RMdl.P + RMdl.Q + RVarMdl.P + RVarMdl.Q);
[h,pValue,stat,cValue] = lratiotest(uLogL,rLogL,dof)
h = logical
   1

pValue = 6.7505e-04
stat = 11.5567
cValue = 3.8415

h = 1 указывает, что пустая, ограниченная модель должна быть отклонена в пользу альтернативной, неограниченной модели. pValue близко к 0, предполагая, что существуют убедительные доказательства для отклонения. stat значение тестовой статистической величины хи-квадрата и cValue критическое значение для теста.

Входные параметры

свернуть все

Неограниченные максимумы логарифмической правдоподобности модели в виде скаляра или вектора. Если uLogL скаляр, затем программное обеспечение расширяет его до той же длины как rLogL.

Типы данных: double

Ограниченные максимумы логарифмической правдоподобности модели в виде скаляра или вектора. Если rLogL скаляр, затем программное обеспечение расширяет его до той же длины как uLogL. Элементы rLogL не должен превышать соответствующие элементы uLogL.

Типы данных: double

Степени свободы для асимптотического, распределения хи-квадрат тестовой статистики в виде положительного целого числа или вектора положительных целых чисел.

Для каждого соответствующего теста, элементов dof:

  • Количество ограничений модели

  • Должен быть меньше количества параметров в неограниченной модели.

При проведении k> 1 тест,

  • Если dof скаляр, затем программное обеспечение расширяет его до k-by-1 вектор.

  • Если dof вектор, затем он должен иметь длину k.

Типы данных: double

Номинальные уровни значения для гипотезы тестируют в виде скаляра или вектора.

Каждый элемент alpha должен быть больше 0 и меньше чем 1.

При проведении k> 1 тест,

  • Если alpha скаляр, затем программное обеспечение расширяет его до k-by-1 вектор.

  • Если alpha вектор, затем он должен иметь длину k.

Типы данных: double

Выходные аргументы

свернуть все

Протестируйте решения отклонения, возвращенные как логическое значение или вектор логических значений с длиной, равной количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

  • h = 1 указывает на отклонение пустой, ограниченной модели в пользу альтернативной, неограниченной модели.

  • h = 0 указывает на отказ отклонить пустую, ограниченную модель.

Протестируйте статистический p - значения, возвращенные как скаляр или вектор с длиной, равной количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

Протестируйте статистику, возвращенную как скаляр или вектор с длиной, равной количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

Критические значения определяются alpha, возвращенный, когда скаляр или вектор с длиной равняются количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

Больше о

свернуть все

Тест отношения правдоподобия

likelihood ratio test сравнивает технические требования вложенных моделей путем оценки значения ограничений на расширенную модель неограниченными параметрами.

Тест использует следующий алгоритм:

  1. Максимизируйте функцию логарифмической правдоподобности [l (θ)] под ограниченными и неограниченными предположениями модели. Обозначьте MLEs для ограниченных и неограниченных моделей θ^0 и θ^, соответственно.

  2. Выполните целевую функцию логарифмической правдоподобности при ограниченном и неограниченном MLEs, т.е. l^0=l(θ^0) и l^=l(θ^).

  3. Вычислите тестовую статистическую величину отношения правдоподобия, LR=2(l^l^0).

  4. Если LR превышает критическое значение () относительно его асимптотического распределения, то отклоните пустую, ограниченную модель в пользу альтернативной, неограниченной модели.

    • По нулевой гипотезе LR является χd 2 распределенных со степенями свободы d.

    • Степени свободы для теста (d) являются количеством ограниченных параметров.

    • Уровень значения теста (α) определяет критическое значение ().

Советы

  • Оцените неограниченные и ограниченные одномерные линейные модели временных рядов, такие как arima или garch, или модели регрессии временных рядов (regARIMA) использование estimate. Оцените неограниченные и ограниченные модели VAR (varm) использование estimate.

    estimate функции возвращают максимумы логарифмической правдоподобности, которые можно использовать в качестве входных параметров к lratiotest.

  • Если можно легко вычислить и ограниченные и неограниченные оценки параметра, то используйте lratiotest. Для сравнения:

    • waldtest только требует неограниченных оценок параметра.

    • lmtest требует ограниченных оценок параметра.

Алгоритмы

  • lratiotest выполняет несколько, независимые тесты, когда неограниченное или ограничило максимумы логарифмической правдоподобности модели (uLogL и rLogL, соответственно), вектор.

    • Если rLogL вектор и uLogL скаляр, затем lratiotest “тесты вниз” против нескольких ограниченных моделей.

    • Если uLogL вектор и rLogL скаляр, затем lratiotest “тесты” против нескольких неограниченных моделей.

    • В противном случае, lratiotest сравнивает технические требования модели попарно.

  • alpha номинально в этом, это задает вероятность отклонения в асимптотическом распределении. Фактическая вероятность отклонения обычно больше номинального значения.

Ссылки

[1] Дэвидсон, R. и Дж. Г. Маккиннон. Эконометрическая теория и методы. Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета, 2004.

[2] Годфри, тесты Л. Г. Мисспекификэйшна в эконометрике. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, 1997.

[3] Грин, В. Х. Эконометрик Анэлизис. 6-й редактор Верхний Сэддл-Ривер, NJ: Пирсон Prentice Hall, 2008.

[4] Гамильтон, J. D. Анализ Временных Рядов. Принстон, NJ: Издательство Принстонского университета, 1994.

Представлено до R2006a

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте