Создайте полностью заданную модель для DGP

Создайте модель дискретной цепи Маркова с двумя состояниями для переключающегося механизма.

P = [0.9 0.1; 0.2 0.8];
mc = dtmc(P);

mc полностью заданный dtmc объект.

Для каждого состояния создайте AR (0) (постоянный только) модель для процесса ответа. Сохраните модели в векторе.

mdl1 = arima('Constant',2,'Variance',3);
mdl2 = arima('Constant',-2,'Variance',1);
mdl = [mdl1; mdl2];

mdl1 и mdl2 полностью заданный arima объекты.

Создайте переключающую Маркова модель динамической регрессии из переключающегося механизма mc и вектор подмоделей mdl.

Mdl = msVAR(mc,mdl);

Mdl полностью заданный msVAR объект.

Симулируйте данные из DGP

smooth требует, чтобы ответы вычислили сглаживавшие вероятности состояния. Сгенерируйте один случайный ответ и утвердите путь, обе из длины 30, от DGP.

rng(1000); % For reproducibility
[y,~,sp] = simulate(Mdl,30);

Вычислите вероятности состояния

Вычислите отфильтрованные и сглаживавшие вероятности состояния из переключающей Маркова модели, учитывая симулированные данные об ответе.

fs = filter(Mdl,y);
ss = smooth(Mdl,y);

fs и ss 30 2 матрицы отфильтрованных и сглаживавших вероятностей состояния, соответственно, в течение каждого периода в горизонте симуляции. Несмотря на то, что отфильтрованные вероятности состояния во время t (fs(t,:)) основаны на данных об ответе в течение времени t (y(1:t)), сглаживавшие вероятности состояния во время t (ss(t,:)) основаны на всех наблюдениях.

Постройте симулированный путь состояния и отфильтрованные и сглаживавшие вероятности состояния на том же графике.

figure
plot(sp,'m')
hold on
plot(fs(:,2),'r')
plot(ss(:,2),'g')
yticks([0 1 2])
xlabel("Time")
title("Observed States with Estimated State Probabilities")
legend({'Simulated states','Filtered probability: state 2',...
    'Smoothed probability: state 2'})
hold off

Создайте переключающую Маркова модель динамической регрессии

Создайте полностью заданную модель дискретной цепи Маркова, которая описывает механизм переключения режима. Пометьте режимы.

P = [0.92 0.08; 0.26 0.74];
mc = dtmc(P,'StateNames',["Expansion" "Recession"]);

Создайте отдельные, полностью заданные модели AR (0) для этих двух режимов.

sigma = 3.34; % Homoscedastic models across states
mdl1 = arima('Constant',4.62,'Variance',sigma^2);
mdl2 = arima('Constant',-0.48,'Variance',sigma^2);
mdl = [mdl1 mdl2];

Создайте переключающую Маркова модель динамической регрессии из переключающегося механизма mc и подмодели состояния специфичные mdl.

Mdl = msVAR(mc,mdl);

Mdl полностью заданный msVAR объект.

Загрузите и предварительно обработайте данные

Загрузите набор данных GDP США.

load Data_GDP

Data содержит ежеквартальные измерения США действительный GDP в период 1947:Q1–2005:Q2. Период интереса в [1] является 1947:Q2–2004:Q2. Для получения дополнительной информации о наборе данных введите Description в командной строке.

Преобразуйте данные к ряду годового показателя:

qrate = diff(Data(2:230))./Data(2:229); % Quarterly rate
arate = 100*((1 + qrate).^4 - 1);       % Annualized rate

Преобразование пропускает первое наблюдение.

Вычислите сглаживавшие вероятности состояния

Вычислите сглаживавшие вероятности состояния для данных и модели. Отобразите сглаживавшую распределенность для 1972:Q2.

SS = smooth(Mdl,arate);
SS(end,:)

ans = 1×2

    0.9396    0.0604

SS 228 2 матрица сглаживавших вероятностей состояния. Строки соответствуют периодам в данных arate, и столбцы соответствуют режимам.

Постройте сглаживавшие вероятности рецессии, как в [1], рисунок 6.

figure;
plot(dates(3:230),SS(:,2),'r')
datetick('x')
recessionplot
title("Full-Sample Smoothed Probabilities and NBER Recessions")

Создайте полностью заданную модель для DGP

Создайте модель дискретной цепи Маркова с тремя состояниями для переключающегося механизма.

P = [5 1 1; 1 5 1; 1 1 5];
mc = dtmc(P);

mc полностью заданный dtmc объект. dtmc нормирует строки P так, чтобы они суммировали к 1.

Для каждого состояния создайте полностью заданную модель VARX(0) (постоянный и только матрица коэффициента регрессии) для процесса ответа. Задайте различные постоянные векторы через модели. Задайте тот же коэффициент регрессии для этих двух регрессоров и задайте ту же ковариационную матрицу. Сохраните модели VARX в векторе.

% Constants
C1 = [1;-1];
C2 = [3;-3];
C3 = [5;-5];

% Regression coefficient
Beta = [0.2 0.1;0 -0.3];

% Covariance matrix
Sigma = [1.8 -0.4; -0.4 1.8];

% VARX submodels
mdl1 = varm('Constant',C1,'Beta',Beta,...
    'Covariance',Sigma);
mdl2 = varm('Constant',C2,'Beta',Beta,...
    'Covariance',Sigma);
mdl3 = varm('Constant',C3,'Beta',Beta,...
    'Covariance',Sigma);

mdl = [mdl1; mdl2; mdl3];

mdl содержит три, полностью задал varm объекты модели.

Для DGP создайте полностью заданную переключающую Маркова модель динамической регрессии из переключающегося механизма mc и подмодели mdl.

Mdl = msVAR(mc,mdl);

Mdl полностью заданный msVAR модель.

Симулируйте данные из DGP

Симулируйте данные для двух внешних рядов путем генерации 30 наблюдений от стандартного 2D Распределения Гаусса.

rng(1) % For reproducibility
X = randn(30,2);

Сгенерируйте один случайный ответ и утвердите путь, обе из длины 30, от DGP. Задайте симулированные внешние данные для компонентов регрессии подмодели.

[Y,~,SP] = simulate(Mdl,30,'X',X);

Y 30 2 матрица одного симулированного пути к ответу. SP 30 1 вектор одного симулированного пути состояния.

Вычислите вероятности состояния

Вычислите сглаживавшие вероятности состояния из DGP, учитывая симулированные данные об ответе.

SS = smooth(Mdl,Y,'X',X);

SS 30 2 матрица сглаживавших вероятностей состояния в течение каждого периода в горизонте симуляции.

Постройте симулированный путь состояния и сглаживавшие вероятности состояния на подграфиках в той же фигуре.

figure
subplot(2,1,1)
plot(SP,'m')
yticks([1 2 3])
legend({'Simulated states'})
subplot(2,1,2)
plot(SS,'-')
legend({'Smoothed s1','Smoothed s2','Smoothed s3'})

Создайте частично заданную модель для оценки

Создайте частично заданную переключающую Маркова модель динамической регрессии для оценки. Задайте AR (1) подмодели.

P = NaN(2);
mc = dtmc(P,'StateNames',["Expansion" "Recession"]);
mdl = arima(1,0,0);
Mdl = msVAR(mc,[mdl; mdl]);

Поскольку подмодели являются AR (1), каждый требует, чтобы одно преддемонстрационное наблюдение инициализировало свой динамический компонент для оценки.

Создайте полностью заданную модель, содержащую начальную стоимость

Создайте модель, содержащую начальные значения параметров для процедуры оценки.

mc0 = dtmc(0.5*ones(2),'StateNames',["Expansion" "Recession"]);
submdl01 = arima('Constant',1,'Variance',1,'AR',0.001);
submdl02 = arima('Constant',-1,'Variance',1,'AR',0.001);
Mdl0 = msVAR(mc0,[submdl01; submdl02]);

Загрузите и предварительно обработайте данные

Загрузите данные. Преобразуйте целый набор к ряду годового показателя.

load Data_GDP
qrate = diff(Data)./Data(1:(end - 1)); 
arate = 100*((1 + qrate).^4 - 1);

Идентифицируйте периоды расчета предварительной выборки и оценки с помощью дат, сопоставленных с рядом годового показателя. Поскольку преобразование применяет первое различие, необходимо исключить первую дату наблюдения из исходной выборки.

dates = datetime(dates(2:end),'ConvertFrom','datenum',...
    'Format','yyyy:QQQ','Locale','en_US');
estPrd = datetime(["1960:Q2" "2004:Q2"],'InputFormat','yyyy:QQQ',...
    'Format','yyyy:QQQ','Locale','en_US');
idxEst = isbetween(dates,estPrd(1),estPrd(2));
idxPre = dates < estPrd(1); 

Оценочная модель

Подбирайте модель к выборочным данным оценки. Задайте преддемонстрационное наблюдение.

arate0 = arate(idxPre);
arateEst = arate(idxEst);
EstMdl = estimate(Mdl,Mdl0,arateEst,'Y0',arate0);

EstMdl полностью заданный msVAR объект.

Вычислите сглаживавшие вероятности состояния

Вычислите сглаживавшие вероятности состояния из предполагаемой модели и данных в период оценки. Задайте преддемонстрационное наблюдение. Постройте предполагаемые вероятности рецессии.

SS = smooth(EstMdl,arateEst,'Y0',arate0);

figure;
plot(dates(idxEst),SS(:,2),'r')
title("Full-Sample Smoothed Probabilities and NBER Recessions")
recessionplot