Что такое модели в пространстве состояний?

Определения

Модель в пространстве состояний
Рассеянная модель в пространстве состояний
Независимые от времени модели в пространстве состояний
Изменяющаяся во времени модель в пространстве состояний

Модель в пространстве состояний

state-space model является дискретным временем, стохастическая модель, которая содержит две системы уравнений:

Одно описание, как скрытый процесс переходы вовремя (state equation)
Другое описание, как наблюдатель измеряет скрытый процесс в каждый период (observation equation)

Символически, можно записать линейную, многомерную, изменяющуюся во времени, Гауссову модель в пространстве состояний с помощью следующей системы уравнений

$\begin{array}{l} x_{t} = A_{t} x_{t - 1} + B_{t} u_{t} \\ y_{t} - {(Z_{t} β)}^{'} = C_{t} x_{t} + D_{t} ε_{t}, \end{array}$

для t = 1..., T.

$x_{t} = [x_{t 1}, ..., x_{t m_{t}}]'$ _mt - размерный вектор состояния, описывающий динамику некоторых, возможно неразличимых, явление в период t. Распределение начального состояния (x ₀) является Гауссовым со средним μ ₀ и ковариационной матрицей Σ ₀.
$y_{t} = [y_{t 1}, ..., y_{t n_{t}}]'$ _nt - размерный вектор наблюдения описание, как состояния измеряются наблюдателями в период t.
_At является _mt-by-m_{t – 1} матрица Грина, описывающая как состояния во время переход t к состояниям в период t – 1.
_Bt является _mt-by-_kt матрица загрузки воздействия состояния описание как состояния в период объединение t с инновациями в период t.
_Ct является _nt-by-_mt матрица чувствительности измерения описание, как наблюдения в период t относятся к состояниям в период t.
_Dt является _nt-by-_ht матрица инноваций наблюдения описание как наблюдения в период объединение t с ошибками наблюдения в период t.
Матрицы _At, _Bt, _Ct и _Dt упоминаются как coefficient matrices и могут содержать неизвестные параметры.
$u_{t} = [u_{t 1}, ..., u_{t k_{t}}]'$ _kt - размерный, Гауссов, белый шум, вектор модульного отклонения воздействий состояния в период t.
$ε_{t} = [ε_{t 1}, ..., ε_{t h_{t}}]'$ _ht - размерный, Гауссов, белый шум, вектор модульного отклонения инноваций наблюдения в период t.
_εt и _ut являются некоррелироваными.
Для независимых от времени моделей в пространстве состояний,
- $Z_{t} = [\begin{matrix} z_{t 1} & z_{t 2} & \dots & z_{t d} \end{matrix}]$ строка t T-by-d матрица предикторов Z. Каждый столбец Z соответствует предиктору и каждой последовательной строке к последовательному периоду. Если наблюдения многомерны, то все предикторы выкачивают каждое наблюдение.
- β является d-by-n матрица коэффициентов регрессии для _Zt.

Чтобы записать независимую от времени модель в пространстве состояний, пропустите индексы t всех содействующих матриц и размерностей.

Рассеянная модель в пространстве состояний

Рассеянная модель в пространстве состояний является моделью в пространстве состояний, которая может содержать по крайней мере одно состояние с бесконечным начальным отклонением, названным diffuse state. В дополнение к наличию бесконечного начального отклонения все рассеянные состояния являются некоррелироваными со всеми другими состояниями в модели. Существует несколько мотиваций для использования рассеянных моделей в пространстве состояний:

Исследование очень ранних начальных точек некоторых неустановившихся систем, таких как случайный процесс обхода, приводит к начальным отклонениям распределения ту бесконечность подхода.
Бесконечная спецификация отклонения для распределения начального состояния указывает на полное незнание или никакие предварительные знания, рассеянных состояний. Преимущество этой спецификации состоит в том, что анализ этих состояний более объективен. Таким образом, наблюдения, а не дополнительные предположения распределения, помогают в понимании рассеянных состояний. Недостаток - то, что апостериорные распределения состояний могут быть неподходящими, и функция правдоподобия неограниченна. Однако с достаточным количеством данных и идентифицируемой, Гауссовой моделью в пространстве состояний, отфильтрованные и сглаживавшие состояния и вероятность на основе их, могут быть вычислены с помощью рассеянного Фильтра Калмана.
Представляйте статическое, начальное состояние как неизвестный параметр путем приписывания ему бесконечного отклонения.

Независимые от времени модели в пространстве состояний

В модели в пространстве состояний time-invariant:

Содействующие матрицы эквивалентны в течение всех периодов.
Количество состояний, воздействий состояния, наблюдений и инноваций наблюдения является тем же самым в течение всех периодов.

Например, для всего t, следующей системы уравнений

$\begin{matrix} [\begin{matrix} x_{1, t} \\ x_{2, t} \end{matrix}] = [\begin{matrix} ϕ_{1} & 0 \\ 0 & ϕ_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1, t - 1} \\ x_{2, t - 1} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{1, t} \\ u_{2, t} \end{matrix}] \\ y_{t} = [\begin{matrix} ϕ_{3} & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1, t} \\ x_{2, t} \end{matrix}] + 0.2 ε_{t} \end{matrix}$

представляет независимую от времени модель в пространстве состояний.

Изменяющаяся во времени модель в пространстве состояний

В модели в пространстве состояний time-varying:

Содействующие матрицы могут измениться от периода до периода.
Количество состояний, воздействий состояния, наблюдений и инноваций наблюдения может измениться от периода до периода. Например, эта сила происходят, если существует сдвиг режима или одно из состояний, или наблюдения не могут быть измерены во время системы координат времени выборки. Кроме того, можно смоделировать сезонность с помощью изменяющихся во времени моделей.

Чтобы проиллюстрировать сдвиг режима, предположите для t = 1.., 10

для t = 11

$\begin{matrix} x_{1, t} = [\begin{matrix} ϕ_{4} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1, t - 1} \\ x_{2, t - 1} \end{matrix}] + 0.5 u_{1, t} \\ y_{t} = ϕ_{5} x_{1, t} + 0.2 ε_{t} \end{matrix},$

и для t = 12.. T

$\begin{matrix} x_{1, t} = ϕ_{4} + 0.5 u_{1, t} \\ y_{t} = ϕ_{5} x_{1, t} + 0.2 ε_{t} \end{matrix} .$

Существует три набора матриц изменения состояния, тогда как существует только два набора других содействующих матриц.

Создание модели в пространстве состояний

Чтобы создать стандарт или рассеянную модель в пространстве состояний, используйте ssm или dssm, соответственно. Для независимых от времени моделей явным образом задайте параметрическую форму своей модели в пространстве состояний путем предоставления содействующих матриц. Для варианта времени сложные модели или модели, которые требуют ограничений, предоставляют функцию отображения параметра к матрице. Программное обеспечение может вывести тип состояния (стационарный, постоянный, или неустановившийся), но это - лучшая практика предоставить использование типа состояния, например, StateType аргумент пары "имя-значение".

Отфильтровать и сглаживать состояния заданного ssm или dssm модель, программное обеспечение использует стандартный Фильтр Калмана или рассеянный Фильтр Калмана. Чтобы реализовать также, программное обеспечение требует параметров распределения начального состояния (x ₀).

Для устойчивых состояний (StateType 0), начальные средние значения, отклонения и ковариации конечны, и программное обеспечение выводит их. Однако можно задать другие значения с помощью свойств Mean0 и Cov0, и запись через точку.
Для состояний, которые являются постоянным в течение всех периодов (StateType 1), средние значения начального состояния равняются 1, и ковариации 0.
Для неустановившихся или рассеянных состояний (StateType 2):
- Для стандартной модели в пространстве состояний средние значения начального состояния 0, и отклонением начального состояния является 1e7 по умолчанию. Задавать ковариацию начального состояния Inf, создайте dssm объект модели вместо этого.
- Для рассеянных моделей в пространстве состояний средние значения начального состояния 0, и отклонением начального состояния является Inf.

Ссылки

[1] Дербин Дж. и С. Дж. Купмен. Анализ Временных рядов Методами Пространства состояний. 2-й редактор Оксфорд: Издательство Оксфордского университета, 2012.

Документация