Каков фильтр Калмана?

Стандартный фильтр Калмана

В среде модели в пространстве состояний Фильтр Калмана оценивает значения скрытого, линейного, стохастического, динамического процесса на основе возможно mismeasured наблюдения. Учитывая предположения распределения на неопределенности, Фильтр Калмана также оценивает параметры модели через наибольшее правдоподобие.

Начиная с начальных значений для состояний (x _0|0), ковариационная матрица отклонения начального состояния (P _0|0), и начальных значений для всех неизвестных параметров (θ ₀), простой Фильтр Калмана:

Оценки, для t = 1..., T:
1. Этот 1 шаг вперед вектор вектора прогнозов состояния в течение периода t ( ${\hat{x}}_{t | t - 1}$ ) и его ковариационная матрица отклонения ( $P_{t | t - 1}$ )
2. Этот 1 шаг вперед вектор наблюдения предсказывает в течение периода t ( ${\hat{y}}_{t | t - 1}$ ) и его предполагаемая ковариационная матрица отклонения ( $V_{t | t - 1}$ )
3. Отфильтрованные состояния в течение периода t ( ${\hat{x}}_{t | t}$ ) и его предполагаемая ковариационная матрица отклонения ( $P_{t | t}$ )
Подает предсказанные и отфильтрованные оценки в функцию правдоподобия данных

$\ln p (y_{T}, ..., y_{1}) = \sum_{t = 1}^{T} \ln ϕ (y_{t}; {\hat{y}}_{t | t - 1}, V_{t | t - 1}),$
где $ϕ (y_{t}; {\hat{y}}_{t | t - 1}, V_{t | t - 1})$ многомерная нормальная функция плотности вероятности со средним значением ${\hat{y}}_{t | t - 1}$ и отклонение $V_{t | t - 1}$ .
Подача эта процедура в оптимизатор, чтобы максимизировать вероятность относительно параметров модели.

Прогнозы состояния

s - неродной вперед, прогнозы состояния являются оценками состояний в период t с помощью всей информации (например, наблюдаемые ответы) до периода t – s.

_mt-by-1 вектор 1 шага вперед, прогнозов состояния в период t $x_{t | t - 1} = E (x_{t} | y_{t - 1}, ..., y_{1})$ . Предполагаемый вектор прогнозов состояния

${\hat{x}}_{t | t - 1} = A_{t} {\hat{x}}_{t - 1 | t - 1},$

где ${\hat{x}}_{t - 1 | t - 1}$ _t m _{– 1 на 1} отфильтрованный вектор состояния в период t – 1.

В период t, этот 1 шаг вперед, прогнозы состояния имеют ковариационную матрицу отклонения

$P_{t | t - 1} = A_{t} P_{t - 1 | t - 1} A_{t}^{'} + B_{t} B_{t}^{'},$

где $P_{t - 1 | t - 1}$ предполагаемая ковариационная матрица отклонения отфильтрованных состояний в период t – 1, учитывая всю информацию до периода t – 1.

Соответствующий 1 шаг вперед предсказал, что наблюдение ${\hat{y}}_{t | t - 1} = C_{t} {\hat{x}}_{t | t - 1},$ , и его ковариационная матрица отклонения $V_{t | t - 1} = V a r (y_{t} | y_{t - 1}, ..., y_{1}) = C_{t} P_{t | t - 1} C_{t}^{'} + D_{t} D_{t}^{'} .$

В общем случае s - неродной вперед, предсказанный вектор состояния $x_{t | t - s} = E (x_{t} | y_{t - s}, ..., y_{1})$ . s - неродной вперед, вектор прогнозов состояния

${\hat{x}}_{t + s | t} = (\prod_{j = t + 1}^{t + s} A_{j}) x_{t | t}$

и s - неродной вперед, предсказанный вектор наблюдения

${\hat{y}}_{t + s | t} = C_{t + s} {\hat{x}}_{t + s | t} .$

Фильтрованные состояния

Прогнозы состояния в период t, обновленное использование всей информации (например, наблюдаемые ответы) до периода t.

_mt-by-1 вектор отфильтрованных состояний в период t $x_{t | t} = E (x_{t} | y_{t}, ..., y_{1})$ . Предполагаемый вектор отфильтрованных состояний

${\hat{x}}_{t | t} = {\hat{x}}_{t | t - 1} + K_{t} {\hat{ε}}_{t},$

где:

${\hat{x}}_{t | t - 1}$ вектор прогнозов состояния в период t с помощью наблюдаемых ответов с периодов 1 через t – 1.
_Kt является _mt-by-_ht сырые данные матрица усиления Кальмана в течение периода t.
${\hat{ε}}_{t} = y_{t} - C_{t} {\hat{x}}_{t | t - 1}$ _ht-by-1 вектор предполагаемых инноваций наблюдения в период t.

Другими словами, отфильтрованные состояния в период t являются предсказанными состояниями в период t плюс корректировка на основе степени доверия наблюдения. Защищенные наблюдения имеют очень мало соответствующего инновационного отклонения наблюдения (например, максимальное собственное значение _DtDt′ относительно мало). Следовательно, для данных оцененных инноваций наблюдения, термина $K_{t} {\hat{ε}}_{t}$ оказывает более высокое влияние на значения отфильтрованных состояний, чем ненадежные наблюдения.

В период t отфильтрованные состояния имеют ковариационную матрицу отклонения

$P_{t | t} = P_{t | t - 1} - K_{t} C_{t} P_{t | t - 1},$

где $P_{t | t - 1}$ предполагаемая ковариационная матрица отклонения прогнозов состояния в период t, учитывая всю информацию до периода t – 1.

Сглаживавшие состояния

Smoothed states оценивается состояния в период t, которые обновляются с помощью всей доступной информации (например, все наблюдаемые ответы).

_mt-by-1 вектор сглаживавших состояний в период t $x_{t | T} = E (x_{t} | y_{T}, ..., y_{1})$ . Предполагаемый вектор сглаживавших состояний

${\hat{x}}_{t | T} = {\hat{x}}_{t | t - 1} + P_{t | t - 1} r_{t},$

где:

${\hat{x}}_{t | t - 1}$ прогнозы состояния в период t с помощью наблюдаемых ответов с периодов 1 к t – 1.
$P_{t | t - 1}$ предполагаемая ковариационная матрица отклонения прогнозов состояния, учитывая всю информацию до периода t – 1.
$r_{t} = \sum_{s = t}^{T} {[\prod_{j = t}^{s - 1} (A_{t} - K_{t} C_{t})] C_{s}^{'} V_{s | s - 1}^{- 1} ν_{s}},$ где,
- _Kt является _mt-by-_ht сырые данные матрица усиления Кальмана в течение периода t.
- $V_{t | t - 1} = C_{t} P_{t | t - 1} C_{t}^{'} + D_{t} D_{t}^{'}$ , который является предполагаемой ковариационной матрицей отклонения предсказанных наблюдений.
- $ν_{t} = y_{t} - {\hat{y}}_{t | t - 1}$ , который является различием между наблюдением и его прогнозом в период t.

Сглаживавшие воздействия состояния

Smoothed state disturbances оценивается, утверждает воздействия в период t, которые обновляются с помощью всей доступной информации (например, все наблюдаемые ответы).

_kt-by-1 вектор сглаживавших, воздействий состояния в период t $u_{t | T} = E (u_{t} | y_{T}, ..., y_{1})$ . Предполагаемый вектор сглаживавших, воздействий состояния

${\hat{u}}_{t | T} = B_{t}^{'} r_{t},$

где _rt является переменной в формуле, чтобы оценить сглаживавшие состояния.

В период t сглаживавшие воздействия состояния имеют ковариационную матрицу отклонения

$U_{t | T} = I - B_{t}^{'} N_{t} B_{t},$

где _Nt является переменной в формуле, чтобы оценить ковариационную матрицу отклонения сглаживавших состояний.

Программное обеспечение вычисляет сглаживавшие оценки с помощью обратной рекурсии Фильтра Калмана.

Предсказанные наблюдения

s - неродной вперед, предсказанные наблюдения являются оценками наблюдений в период t с помощью всей информации (например, наблюдаемые ответы) до периода t – s.

_nt-by-1 вектор 1 шага вперед, предсказанных наблюдений в период t $y_{t | t - 1} = E (y_{t} | y_{t - 1}, ..., y_{1})$ . Предполагаемый вектор предсказанных наблюдений

${\hat{y}}_{t | t - 1} = C_{t} {\hat{x}}_{t | t - 1},$

где ${\hat{x}}_{t | t - 1}$ _mt-by-1 оцененный вектор прогнозов состояния в период t.

В период t, этот 1 шаг вперед, предсказанные наблюдения имеют ковариационную матрицу отклонения

$V_{t | t - 1} = V a r (y_{t} | y_{t - 1}, ..., y_{1}) = C_{t} P_{t | t - 1} C_{t}^{'} + D_{t} D_{t}^{'} .$

В общем случае s - неродной вперед, вектор прогнозов состояния $x_{t | t - s} = E (x_{t} | y_{t - s}, ..., y_{1})$ . s - неродной вперед, предсказанный вектор наблюдения

${\hat{y}}_{t + s | t} = C_{t + s} {\hat{x}}_{t + s | t} .$

Сглаживавшие инновации наблюдения

Smoothed observation innovations оценивается, инновации наблюдения в период t, которые обновляются с помощью всей доступной информации (например, все наблюдаемые ответы).

_ht-by-1 вектор сглаживавших, инноваций наблюдения в период t $ε_{t | T} = E (ε_{t} | y_{T}, ..., y_{1})$ . Предполагаемый вектор сглаживавших, инновации наблюдения

${\hat{ε}}_{t} = D_{t}^{'} V_{t | t - 1}^{- 1} ν_{t} - D_{t}^{'} K_{t}^{'} r_{t + 1},$

где:

_rt и _νt являются переменными в формуле, чтобы оценить сглаживавшие состояния.
_Kt является _mt-by-_ht сырые данные матрица усиления Кальмана в течение периода t.
$V_{t | t - 1} = C_{t} P_{t | t - 1} C_{t}^{'} + D_{t} D_{t}^{'}$ , который является предполагаемой ковариационной матрицей отклонения предсказанных наблюдений.

В период t сглаживавшие инновации наблюдения имеют ковариационную матрицу отклонения

$E_{t | T} = I - D_{t}^{'} (V_{t | t - 1}^{- 1} - K_{t}^{'} N_{t + 1} K_{t}) D_{t} .$

Программное обеспечение вычисляет сглаживавшие оценки с помощью обратной рекурсии Фильтра Калмана.

Кальман Гэйн

raw Kalman gain является матрицей, которая указывает, сколько взвесить наблюдения во время рекурсий Фильтра Калмана.
Сырые данные усилением Кальмана является _mt-by-_ht матрица, вычислили использование

$K_{t} = P_{t | t - 1} C_{t}^{'} {(C_{t} P_{t | t - 1} C_{t}^{'} + D_{t} D_{t}^{'})}^{- 1},$
где $P_{t | t - 1}$ предполагаемая ковариационная матрица отклонения прогнозов состояния, учитывая всю информацию до периода t – 1.
Значение сырых данных усиление Кальмана определяет сколько веса, чтобы поставить наблюдения. Для данных оцененных инноваций наблюдения, если максимальное собственное значение _DtDt′ относительно мало, то сырые данные усиление Кальмана передают относительно большой вес на наблюдениях. Если максимальное собственное значение _DtDt′ является относительно большим, то сырые данные усиление Кальмана передают относительно маленький вес на наблюдениях. Следовательно, отфильтрованные состояния в период t близко к соответствующим прогнозам состояния.
Полагайте, что получение этого 1 шага вперед утверждает прогнозы для периода t + 1 использование всей информации до периода t. adjusted Kalman gain ( $K_{a d j, t}$ ) сумма веса, ставит предполагаемые инновации наблюдения в течение периода t ( ${\hat{ε}}_{t}$ ) по сравнению с этими 2 шагами вперед утверждают прогноз ( ${\hat{x}}_{t + 1 | t - 1}$ ).
Таким образом,

${\hat{x}}_{t + 1 | t} = A_{t} {\hat{x}}_{t | t} = A_{t} {\hat{x}}_{t | t - 1} + A_{t} K_{t} {\hat{ε}}_{t} = {\hat{x}}_{t + 1 | t - 1} + K_{a d j, t} {\hat{ε}}_{t} .$

Обратная рекурсия фильтра Калмана

Оценки Backward recursion of the Kalman filter сглаживали состояния, воздействия состояния и инновации наблюдения.

Программное обеспечение оценивает сглаживавшие значения:

Установка r _{T + 1} = 0, и N _{T + 1} к _mT-by-_mT матрица 0s
Для t = T..., 1, это рекурсивно вычисляет:
1. _rt (см. сглаживавшие состояния),
2. ${\hat{x}}_{t | T}$ , который является матрицей сглаживавших состояний
3. _Nt (см. сглаживавшие состояния),
4. $P_{t | T}$ , который является предполагаемой ковариационной матрицей отклонения сглаживавших состояний
5. ${\hat{u}}_{t | T}$ , который является матрицей сглаживавших воздействий состояния
6. $U_{t | T}$ , который является предполагаемой ковариационной матрицей отклонения сглаживавших воздействий состояния
7. ${\hat{ε}}_{t | T}$ , который является матрицей сглаживавших инноваций наблюдения
8. $E_{t | T}$ , который является предполагаемой ковариационной матрицей отклонения сглаживавших инноваций наблюдения

Рассеянный фильтр Калмана

Считайте модель в пространстве состояний записанной так, чтобы m рассеянные состояния (_xd) был отдельным от устойчивых состояний n (_xs). Таким образом, моменты начальных распределений

$μ_{0} = [\begin{matrix} μ_{d 0} \\ μ_{s 0} \end{matrix}] и Σ_{0} = [\begin{matrix} Σ_{d 0} & 0 \\ 0 & Σ_{s 0} \end{matrix}] .$

μ _{d 0} является m - нулевой вектор
μ _{s 0} является n - вектор вещественных чисел
Σ _{d 0} = _κIm, где _Im является m-by-m единичная матрица и κ, является положительным вещественным числом.
Σ _{s 0} является n-by-n положительная определенная матрица.
Рассеянные состояния являются некоррелироваными друг с другом и устойчивыми состояниями.

Один способ анализировать такую модель состоит в том, чтобы установить κ на относительно большое, положительное вещественное число, и затем реализовать стандартный Фильтр Калмана (см. ssm). Эта обработка является приближением к анализу, который обрабатывает рассеянные состояния, как будто их ковариация начального состояния приближается к бесконечности.

diffuse Kalman filter или exact-initial Kalman filter [56] обработки рассеянные состояния путем взятия κ к ∞. Рассеянный Фильтр Калмана просачивается два этапа: первая стадия инициализирует модель так, чтобы это могло впоследствии быть отфильтровано с помощью стандартного Фильтра Калмана, который является вторым этапом. Этап инициализации зеркально отражает стандартный Фильтр Калмана. Это обнуляет всю начальную букву, отфильтровал состояния, и затем увеличивается, тот вектор начальной буквы отфильтровал состояния с единичной матрицей, которая сочиняет (m + n) (m + n + 1) матрица. После достаточного числа периодов матрицы точности становятся несингулярными. Таким образом, рассеянный Фильтр Калмана использует достаточно периодов в начале ряда, чтобы инициализировать модель. Можно рассмотреть этот период как преддемонстрационные данные.

Второй этап начинается, когда матрицы точности несингулярны. А именно, этап инициализации возвращает вектор отфильтрованных состояний и их матрицы точности. Затем стандартный Фильтр Калмана использует те оценки и остающиеся данные, чтобы отфильтровать, сглаживать, и оценить параметры. Для получения дополнительной информации смотрите dssm и [56], Секунда. 5.2.

Ссылки

[1] Дербин Дж. и С. Дж. Купмен. Анализ Временных рядов Методами Пространства состояний. 2-й редактор Оксфорд: Издательство Оксфордского университета, 2012.

Документация