Исследуйте чувствительность плохо обусловленной матрицы.

Известной матрицей, которая симметрична и положительная определенный, но плохо обусловленный, является Гильбертова матрица. Элементы Гильбертовой матрицы $$H(i,j)=1/(i+j-1)$$.

Создайте 10 10 Гильбертову матрицу.

A = hilb(10);

Найдите взаимное число обусловленности матрицы.

C = rcond(A)

C = 2.8286e-14

Взаимное число обусловленности мало, таким образом, A плохо обусловливается.

Условие A оказывает влияние на решения подобных линейных систем уравнений. Чтобы видеть это, сравните решение $$Ax=b$$ к той из встревоженной системы, $$Ax=b+0.01$$.

Создайте вектор-столбец из единиц и решите $$Ax=b$$.

b = ones(10,1);
x = A\b;

Теперь изменение $$b$$ 0.01 и решите встревоженную систему.

b1 = b + 0.01;
x1 = A\b1;

Сравните решения, x и x1.

norm(x-x1)

ans = 1.1250e+05

Начиная с A плохо обусловливается, небольшое изменение в b вызывает очень большое изменение (на порядке 1e5) в решении x = A\b. Система чувствительна к возмущениям.

Исследуйте, почему взаимное число обусловленности является более точной мерой сингулярности, чем определитель.

Создайте кратное 5 на 5 единичная матрица.

A = eye(5)*0.01;

Эта матрица является полным рангом и имеет пять равных сингулярных значений, которые можно подтвердить путем вычисления svd(A).

Вычислим определитель A.

det(A)

ans = 1.0000e-10

Несмотря на то, что определитель матрицы близко к нулю, A на самом деле очень хорошо обусловливается а не близко к тому, чтобы быть сингулярным.

Вычислите взаимное число обусловленности A.

rcond(A)

ans = 1

Матрица имеет взаимное число обусловленности 1 и, поэтому, очень хорошо обусловливается. Используйте rcond(A) или cond(A) вместо det(A) подтвердить сингулярность матрицы.