bilinear

Билинейный метод преобразования для аналого-цифрового преобразования фильтра

Синтаксис

[zd,pd,kd] = bilinear(z,p,k,fs)

[numd,dend] = bilinear(num,den,fs)

[Ad,Bd,Cd,Dd] = bilinear(A,B,C,D,fs)

[___] = bilinear(___,fp)

Описание

[zd,pd,kd] = bilinear(z,p,k,fs) преобразует s - доменная передаточная функция в нулевой полюсом форме, заданной zPK и частота дискретизации fs к дискретному эквиваленту.

[numd,dend] = bilinear(num,den,fs) преобразует s - доменная передаточная функция, заданная числителем num и знаменатель den к дискретному эквиваленту.

пример

[Ad,Bd,Cd,Dd] = bilinear(A,B,C,D,fs) преобразует систему в пространстве состояний непрерывного времени в матрицах ABC, и D к системе дискретного времени.

пример

[___] = bilinear(___,fp)параметр использования fp как "совпадают" с частотой, чтобы задать предварительное деформирование.

Примеры

свернуть все

Полосовое БИХ-создание фильтра Используя чебышевский аналоговый фильтр типа I

Скрипт Open Live Script

Спроектируйте прототип для 10-го порядка полосовой фильтр типа I Чебышева с 3 дБ пульсации в полосе пропускания. Преобразуйте его в форму пространства состояний.

[z,p,k] = cheb1ap(10,3);
[A,B,C,D] = zp2ss(z,p,k);

Создайте аналоговый фильтр с частотой дискретизации $f_{s} = 2 kHz$ , предварительно деформированные ребра полосы $u_{1}$ и $u_{2}$ в rad/s, пропускной способности $B_{w} = u_{2} - u_{1}$ и центральная частота $W_{o} = \sqrt{u_{1} u_{2}}$ для использования с lp2bp. Задайте частоты ребра полосы пропускания как 100 Гц и 500 Гц.

Fs = 2e3;
u1 = 2*Fs*tan(100*(2*pi/Fs)/2);   
u2 = 2*Fs*tan(500*(2*pi/Fs)/2); 
Bw = u2 - u1;                     
Wo = sqrt(u1*u2);                 
[At,Bt,Ct,Dt] = lp2bp(A,B,C,D,Wo,Bw);
[b,a] = ss2tf(At,Bt,Ct,Dt);

Вычислите частотную характеристику аналогового фильтра с помощью freqs. Постройте ответ величины и предварительно деформированные ребра диапазона частот.

[h,w] = freqs(b,a);     
plot(w,mag2db(abs(h)))
hold on
ylim([-165 5])
[U1,U2] = meshgrid([u1 u2],ylim);
plot(U1,U2)
legend('Magnitude response','Lower Passband Edge','Upper Passband Edge')
hold off
xlabel('Angular Frequency (rad/s)')
ylabel('Magnitude (dB)')
grid

Используйте bilinear создать цифровой полосовой фильтр с частотой дискретизации $f_{s}$ и ребро нижней полосы 100 Гц. Преобразуйте цифровой фильтр от формы пространства состояний до формы передаточной функции с помощью ss2tf.

[Ad,Bd,Cd,Dd] = bilinear(At,Bt,Ct,Dt,Fs);

[bz,az] = ss2tf(Ad,Bd,Cd,Dd);

Используйте fvtool построить ответ величины цифрового фильтра.

fvtool(bz,az,'Fs',Fs)

Представление дискретного времени эллиптического фильтра

Скрипт Open Live Script

Спроектируйте аналоговый lowpass эллиптический фильтр 6-го порядка с 3 дБ пульсации в полосе пропускания и полосе задерживания 90 дБ вниз. Установите частоту среза $f_{c} = 20 Hz$ и частота дискретизации $f_{s} = 200 Hz$ .

clear
Fc = 20;
Fs = 200;                             
[z,p,k] = ellip(6,3,90,2*pi*Fc,'s');
[num,den] = zp2tf(z,p,k);

Вычислите ответ величины аналогового эллиптического фильтра. Визуализируйте аналоговый фильтр.

[h,w] = freqs(num,den);
plot(w/(2*pi),mag2db(abs(h)))
hold on
xlim([0 50])
[l1,l2] = meshgrid(Fc,[-120 0]);
plot(l1,l2)
grid
legend('Magnitude response','Passband Edge')
xlabel('Frequency (Hz)')
ylabel('Magnitude (dB)')

Используйте bilinear преобразовать его к БИХ-фильтру дискретного времени. Установите частоту соответствия как $f_{p} = 20 Hz$ .

[numd,dend] = bilinear(num,den,Fs,20);

Визуализируйте фильтр с помощью fvtool.

fvtool(numd,dend,'Fs',Fs)

Входные параметры

свернуть все

`z` нули
вектор-столбец

Нули s - доменная передаточная функция в виде вектор-столбца.

`p` — Полюса
вектор-столбец

Полюса s - доменная передаточная функция в виде вектор-столбца.

`k` — Усиление
скаляр

Усиление s - доменная передаточная функция в виде скаляра.

`fs` — Частота дискретизации
положительная скалярная величина

Частота дискретизации в виде положительной скалярной величины.

`num` — Коэффициенты числителя
вектор-строка

Коэффициенты числителя аналоговой передаточной функции в виде вектора-строки.

`den` — Коэффициенты знаменателя
вектор-строка

Коэффициенты знаменателя аналоговой передаточной функции в виде вектора-строки.

`A` — Матрица состояния
матрица

Матрица состояния в s - область в виде матрицы. Если система имеет входные параметры p и q выходные параметры и описана переменными состояния n, то A n-by-n.

Типы данных: single | double

`B` — Матрица входа к состоянию
матрица

Матрица входа к состоянию в s - область в виде матрицы. Если система имеет входные параметры p и q выходные параметры и описана переменными состояния n, то B n-by-p.

Типы данных: single | double

`C` — Состояние к выходной матрице
матрица

Состояние к выходной матрице в s - область в виде матрицы. Если система имеет входные параметры p и q выходные параметры и описана переменными состояния n, то C q-by-n.

Типы данных: single | double

`D` — Проходная матрица
матрица

Проходная матрица в s - область в виде матрицы. Если система имеет входные параметры p и q выходные параметры и описана переменными состояния n, то D q-by-p.

Типы данных: single | double

`fp` — совпадайте с частотой
положительная скалярная величина

Совпадайте с частотой в виде положительной скалярной величины.

Выходные аргументы

свернуть все

`zd` нули
вектор-столбец

Нули z - доменная передаточная функция в виде вектор-столбца.

`pd` — Полюса
вектор-столбец

Полюса z - доменная передаточная функция в виде вектор-столбца.

`kd` — Усиление
скаляр

Усиление z - доменная передаточная функция в виде скаляра.

`numd` — Коэффициенты числителя
вектор-строка

Коэффициенты числителя цифровой передаточной функции в виде вектора-строки.

`dend` — Коэффициенты знаменателя
вектор-строка

Коэффициенты знаменателя цифровой передаточной функции в виде вектора-строки.

`Ad` — Матрица состояния
матрица

Матрица состояния в z - область, возвращенная как матрица. Если система описана переменными состояния n, то Ad n-by-n.

Типы данных: single | double

`Bd` — Матрица входа к состоянию
матрица

Матрица входа к состоянию в z - область, возвращенная как матрица. Если система описана переменными состояния n, то Bd n-by-1.

Типы данных: single | double

`Cd` — Состояние к выходной матрице
матрица

Состояние к выходной матрице в z - область, возвращенная как матрица. Если система имеет q выходные параметры и описана переменными состояния n, то Cd q-by-n.

Типы данных: single | double

`Dd` — Проходная матрица
матрица

Проходная матрица в z - область, возвращенная как матрица. Если система имеет q выходные параметры, то Dd q-by-1.

Типы данных: single | double

Диагностика

bilinear требует, чтобы порядок числителя был не больше, чем порядок знаменателя. Если дело обстоит не так, bilinear отображения

Numerator cannot be higher order than denominator.

Для bilinear чтобы различать нули, полюса и усиление и форматы линейной системы передаточной функции, первые два входных параметра должны быть векторами с той же ориентацией в этих случаях. Если дело обстоит не так, bilinear отображения

First two arguments must have the same orientation.

Алгоритмы

свернуть все

Билинейное преобразование является математическим отображением переменных. В цифровой фильтрации это - стандартный метод отображения s или аналоговой плоскости в z или цифровой плоскости. Это преобразовывает аналоговые фильтры, созданные с использованием классические методы создания фильтра, в их дискретные эквиваленты.

Билинейное преобразование сопоставляет s - плоскость в z - плоскость

${H (z) = H (s) |}_{s = 2 f_{s} \frac{z - 1}{z + 1}} .$

Это преобразование сопоставляет j Ω ось (от Ω = – ∞ к + ∞) неоднократно вокруг модульного круга (^ejw от ω = –π к π)

$ω = 2 \tan^{- 1} (\frac{Ω}{2 f_{s}}) .$

bilinear может принять дополнительный параметр Fp это задает предварительное деформирование. fp, в герц, указывает на частоту “соответствия”, то есть, частоту для который частотные характеристики до и после отображения соответствия точно. В предварительно деформированном режиме билинейное преобразование сопоставляет s - плоскость в z - плоскость с

${H (z) = H (s) |}_{s = \frac{2 π f_{p}}{\tan (π \frac{f_{p}}{f_{s}})} \frac{z - 1}{z + 1}} .$

С предварительно деформирующейся опцией, bilinear сопоставляет j Ω ось (от Ω = – ∞ к + ∞) неоднократно вокруг модульного круга (^ejω, от ω = –π к π)

$ω = 2 \tan^{- 1} (\frac{Ω \tan (π \frac{f_{p}}{f_{s}})}{2 π f_{p}}) .$

В предварительно деформированном режиме, bilinear совпадает с частотой 2πfp (в радианах в секунду) в s - плоскости к нормированной частоте 2πfp/fs (в радианах в секунду) в z - плоскость.

bilinear функция работает с тремя различными представлениями линейной системы: нули, полюса и усиление, передаточная функция и форма пространства состояний.

bilinear использование один из двух алгоритмов в зависимости от формата входной линейной системы вы предоставляете. Один алгоритм работает над форматом нулей, полюсов и усиления и другим на формате пространства состояний. Для представлений передаточной функции, bilinear преобразует в форму пространства состояний, выполняет преобразование и преобразует получившуюся систему в пространстве состояний назад в форму передаточной функции.

Алгоритм нулей, полюсов и усиления

Для системы в форме нулей, полюсов и усиления, bilinear выполняет четыре шага:

Если fp присутствует, это предварительно деформируется:
```
fp = 2*pi*fp;
fs = fp/tan(fp/fs/2)
```
в противном случае, fs = 2*fs.
Это разделяет любые нули при ± использованиях ∞
```
z = z(finite(z));
```

Это преобразовывает нули, полюса и использование усиления

pd = (1+p/fs)./(1-p/fs);    % Do bilinear transformation
zd = (1+z/fs)./(1-z/fs);
kd = real(k*prod(fs-z)./prod(fs-p));

Это добавляет дополнительные нули в-1, таким образом, получившаяся система имеет эквивалентный числитель и порядок знаменателя.

Алгоритм пространства состояний

Аналоговой системой в форме пространства состояний дают

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u \\ y = C x + D u \end{array}$

. Эта система преобразована в дискретную форму с помощью уравнений пространства состояний можно следующим образом:

$\begin{array}{l} x [n + 1] = A_{d} x [n] + B_{d} u [n], \\ y [n] = C_{d} x [n] + D_{d} u [n] . \end{array}$

Преобразовывать аналоговую систему в форме пространства состояний, bilinear выполняет два шага:

Если fp присутствует, позволить

$λ = \frac{π f_{p}}{\tan (π f_{p} / f_{s})} .$
Если fp не присутствует, позвольте λ = fs.
Вычислите Ad, BdCD, и Dd в терминах ABC, и D использование
$\begin{array}{l} A_{d} = (^{I - A \frac{1}{2 λ}) - 1} (I + A \frac{1}{2 λ}), \\ B_{d} = \frac{1}{\sqrt{λ}} (^{I - A \frac{1}{2 λ}) - 1} B, \\ C_{d} = \frac{1}{\sqrt{λ}} C (^{I - A \frac{1}{2 λ}) - 1}, \\ D_{d} = \frac{1}{2 λ} C (^{I - A \frac{1}{2 λ}) - 1} B + D . \end{array}$

Передаточная функция

Для системы в форме передаточной функции, bilinear преобразует s - доменная передаточная функция, данная num и den к дискретному эквиваленту. Векторы-строки num и den задайте коэффициенты числителя и знаменателя, соответственно, в убывающих степенях s. Позвольте B (s) быть полиномом числителя и A (s) быть полиномом знаменателя. Передаточная функция:

$\frac{B (s)}{A (s)} = \frac{B (1) s^{n} + \dots + B (n) s + B (n + 1)}{A (1) s^{m} + \dots + A (m) s + A (m + 1)}$

fs частота дискретизации в герц. bilinear возвращает дискретный эквивалент в векторах-строках numd и dend в убывающих степенях z (возрастающий степени z ^–1). fp дополнительная частота соответствия, в герц, для предварительного деформирования.

Ссылки

[1] Оппенхейм, Алан V, Рональд В. Шафер и Джон Р. Бак. Обработка сигналов дискретного времени. Верхний Сэддл-Ривер, NJ: Prentice Hall, 1999.

[2] Парки, Томас В. и К. Сидни Беррус. Создание цифровых фильтров. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1987.

Документация

bilinear

Синтаксис

Описание

Примеры

Полосовое БИХ-создание фильтра Используя чебышевский аналоговый фильтр типа I

Представление дискретного времени эллиптического фильтра

Входные параметры

z нули вектор-столбец

p — Полюса вектор-столбец

k — Усиление скаляр

fs — Частота дискретизации положительная скалярная величина

num — Коэффициенты числителя вектор-строка

den — Коэффициенты знаменателя вектор-строка

A — Матрица состояния матрица

B — Матрица входа к состоянию матрица

C — Состояние к выходной матрице матрица

D — Проходная матрица матрица

fp — совпадайте с частотой положительная скалярная величина

Выходные аргументы

zd нули вектор-столбец

pd — Полюса вектор-столбец

kd — Усиление скаляр

numd — Коэффициенты числителя вектор-строка

dend — Коэффициенты знаменателя вектор-строка

Ad — Матрица состояния матрица

Bd — Матрица входа к состоянию матрица

Cd — Состояние к выходной матрице матрица

Dd — Проходная матрица матрица

Диагностика

Алгоритмы

Алгоритм нулей, полюсов и усиления

Алгоритм пространства состояний

Передаточная функция

Ссылки

Расширенные возможности

Генерация кода C/C++ Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.

Смотрите также

Представлено до R2006a

Документация Signal Processing Toolbox

Поддержка

`z` нули
вектор-столбец

`p` — Полюса
вектор-столбец

`k` — Усиление
скаляр

`fs` — Частота дискретизации
положительная скалярная величина

`num` — Коэффициенты числителя
вектор-строка

`den` — Коэффициенты знаменателя
вектор-строка

`A` — Матрица состояния
матрица

`B` — Матрица входа к состоянию
матрица

`C` — Состояние к выходной матрице
матрица

`D` — Проходная матрица
матрица

`fp` — совпадайте с частотой
положительная скалярная величина

`zd` нули
вектор-столбец

`pd` — Полюса
вектор-столбец

`kd` — Усиление
скаляр

`numd` — Коэффициенты числителя
вектор-строка

`dend` — Коэффициенты знаменателя
вектор-строка

`Ad` — Матрица состояния
матрица

`Bd` — Матрица входа к состоянию
матрица

`Cd` — Состояние к выходной матрице
матрица

`Dd` — Проходная матрица
матрица

Генерация кода C/C++
Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.