Модели ARIMAX и модели регрессии с ошибками ARIMA тесно связаны, и выбор которого можно использовать, обычно диктуется вашими целями по анализу. Если ваша цель состоит в том, чтобы подбирать экономную модель к данным и предсказывать ответы, то существует очень мало различия между этими двумя моделями.
Если вы больше интересуетесь сохранением обычной интерпретации коэффициента регрессии как мера чувствительности, i.e., эффект модульного изменения в переменном предикторе на ответе, затем используйте модель регрессии с ошибками ARIMA. Коэффициенты регрессии в моделях ARIMAX не обладают той интерпретацией из-за динамической зависимости от ответа [1].
Предположим, что у вас есть оценки параметра из модели регрессии с ошибками ARIMA, и вы хотите, чтобы видеть, как структура модели выдерживает сравнение с моделью ARIMAX. Или, предположите, что вы хотите некоторое понимание относительно базового отношения между этими двумя моделями.
Модель ARIMAX (t = 1..., T):
(1) |
yt является одномерным рядом ответа.
Xt является строкой t X, который является матрицей конкатенированного ряда предиктора. Таким образом, Xt является наблюдением t каждого ряда предиктора.
β является коэффициентом регрессии.
c является прерыванием модели регрессии.
который является степенью полином оператора задержки P, который получает совместное воздействие сезонных и несезонных авторегрессивных полиномов и сезонных и несезонных полиномов интегрирования. Для получения дополнительной информации об обозначении см. Мультипликативную Модель ARIMA.
который является степенью полином оператора задержки Q, который получает совместное воздействие сезонных и несезонных полиномов скользящего среднего значения.
εt является белым шумовым инновационным процессом.
Модель регрессии с ошибками ARIMA (t = 1..., T)
(2) |
ut является безусловным процессом воздействий.
который является степенью полином оператора задержки P, который получает совместное воздействие сезонных и несезонных авторегрессивных полиномов и сезонных и несезонных полиномов интегрирования.
который является степенью полином оператора задержки Q, который получает совместное воздействие сезонных и несезонных полиномов скользящего среднего значения.
Значения переменных, заданных в уравнении 2, не обязательно эквивалентны значениям переменных в уравнении 1, даже при том, что обозначение может быть подобным.
Рассмотрите уравнение 2, модель регрессии с ошибками ARIMA. Используйте следующие операции, чтобы преобразовать модель регрессии с ошибками ARIMA к его соответствующей модели ARIMAX.
Решите для ut.
Замените ut в уравнение регрессии.
Решите для yt.
(3) |
A (L) c = (1 – a 1 – a 2 –...– a P) c. Таким образом, константа в модели ARIMAX является прерыванием в модели регрессии с ошибками ARIMA с нелинейным ограничением. Хотя приложения, такие как simulate
, обработайте это ограничение, estimate
не может включить такое ограничение. В последнем случае модели эквивалентны, когда вы фиксируете прерывание и постоянный к 0.
В термине A (L) Xtβ полином оператора задержки A (L) фильтрует T-by-1 векторный Xtβ, который является линейной комбинацией предикторов, взвешенных коэффициентами регрессии. Этот процесс фильтрации требует преддемонстрационных наблюдений P за рядом предиктора.
arima
создает матричный Zt можно следующим образом:
Каждый столбец Zt соответствует каждому термину в A (L).
Первым столбцом Zt является векторный Xtβ.
Второй столбец Zt является последовательностью d 2
NaN
s (d 2 является степенью второго срока в A (L)), сопровождаемый продуктом . Таким образом, программное обеспечение присоединяет d 2
NaN
s в начале T-by-1 столбец, Xtβ присоединений после NaN
s, но обрезает конец того продукта d 2 наблюдения.
j th столбец Zt является последовательностью dj
NaN
s (dj является степенью j th термин в A (L)), сопровождаемый продуктом . Таким образом, программное обеспечение присоединяет dj
NaN
s в начале T-by-1 столбец, Xtβ присоединений после NaN
s, но обрезает конец того продукта наблюдениями dj.
.
Γ = [1 –a 1 –a 2... –a P]'.
arima
конвертер удаляет все авторегрессивные коэффициенты с нулевым знаком разностного уравнения. Впоследствии, arima
конвертер не сопоставляет авторегрессивные коэффициенты с нулевым знаком со столбцами в Zt, и при этом это не включает соответствующие, коэффициенты с нулевым знаком в Γ.
Перепишите уравнение 3,
Например, рассмотрите следующую модель регрессии, ошибки которой являются ARMA (2,1):
(4) |
или
где Γ = [1 – 0.8 0.4]' и
Эта модель не интегрирована, потому что все собственные значения, сопоставленные полиномом AR, в модульном кругу, но предикторы могут влиять на в противном случае устойчивый процесс. Кроме того, вы нуждаетесь в преддемонстрационных данных о предикторе, возвращающихся по крайней мере 2 периода к, например, подбираете модель к данным.
Можно проиллюстрировать это далее посредством симуляции и оценки.
Задайте модель регрессии с ошибками ARIMA в уравнении 4.
MdlregARIMA0 = regARIMA('Intercept',0.2,'AR',{0.8 -0.4},... 'MA',0.3,'Beta',[0.3 -0.2],'Variance',0.2);
Сгенерируйте преддемонстрационные наблюдения и данные о предикторе.
rng(1); % For reproducibility T = 100; maxPQ = max(MdlregARIMA0.P,MdlregARIMA0.Q); numObs = T + maxPQ;... % Adjust number of observations to account for presample XregARIMA = randn(numObs,2); % Simulate predictor data u0 = randn(maxPQ,1); % Presample unconditional disturbances u(t) e0 = randn(maxPQ,1); % Presample innovations e(t)
Симулируйте данные из Mdl1
.
Преобразуйте Mdl1
к модели ARIMAX.
[MdlARIMAX0,XARIMAX] = arima(MdlregARIMA0,'X',XregARIMA);
MdlARIMAX0
MdlARIMAX0 = arima with properties: Description: "ARIMAX(2,0,1) Model (Gaussian Distribution)" Distribution: Name = "Gaussian" P: 2 D: 0 Q: 1 Constant: 0.12 AR: {0.8 -0.4} at lags [1 2] SAR: {} MA: {0.3} at lag [1] SMA: {} Seasonality: 0 Beta: [1 -0.8 0.4] Variance: 0.2
Сгенерируйте преддемонстрационные ответы для модели ARIMAX, чтобы гарантировать непротиворечивость Mdl1
. Симулируйте данные из Mdl2
.
y0 = MdlregARIMA0.Intercept + XregARIMA(1:maxPQ,:)*MdlregARIMA0.Beta' + u0; rng(100) y2 = simulate(MdlARIMAX0,T,'Y0',y0,'E0',e0,'X',XARIMAX); figure plot(y1,'LineWidth',3) hold on plot(y2,'r:','LineWidth',2.5) hold off title('{\bf Simulated Paths}') legend('regARIMA Model','ARIMAX Model','Location','Best')
Симулированные пути эквивалентны потому что arima
конвертер осуществляет нелинейное ограничение, когда это преобразует прерывание модели регрессии в постоянную модель ARIMAX.
Подбирайте модель регрессии с ошибками ARIMA к симулированным данным.
MdlregARIMA = regARIMA('ARLags',[1 2],'MALags',1); EstMdlregARIMA = estimate(MdlregARIMA,y1,'E0',e0,'U0',u0,'X',XregARIMA);
Regression with ARMA(2,1) Error Model (Gaussian Distribution): Value StandardError TStatistic PValue ________ _____________ __________ __________ Intercept 0.14074 0.1014 1.3879 0.16518 AR{1} 0.83061 0.1375 6.0407 1.5349e-09 AR{2} -0.45402 0.1164 -3.9007 9.5927e-05 MA{1} 0.42803 0.15145 2.8262 0.0047109 Beta(1) 0.29552 0.022938 12.883 5.597e-38 Beta(2) -0.17601 0.030607 -5.7506 8.8941e-09 Variance 0.18231 0.027765 6.5663 5.1569e-11
Подбирайте модель ARIMAX к симулированным данным.
MdlARIMAX = arima('ARLags',[1 2],'MALags',1); EstMdlARIMAX = estimate(MdlARIMAX,y2,'E0',e0,'Y0',... y0,'X',XARIMAX);
ARIMAX(2,0,1) Model (Gaussian Distribution): Value StandardError TStatistic PValue ________ _____________ __________ __________ Constant 0.084996 0.064217 1.3236 0.18564 AR{1} 0.83136 0.13634 6.0975 1.0775e-09 AR{2} -0.45599 0.11788 -3.8683 0.0001096 MA{1} 0.426 0.15753 2.7043 0.0068446 Beta(1) 1.053 0.13685 7.6949 1.4166e-14 Beta(2) -0.6904 0.19262 -3.5843 0.00033796 Beta(3) 0.45399 0.15352 2.9572 0.0031047 Variance 0.18112 0.028836 6.281 3.3634e-10
Преобразуйте EstMdl1
к модели ARIMAX.
Предполагаемая постоянная модель ARIMAX не эквивалентна модели ARIMAX, постоянной преобразованный из модели регрессии с ошибками ARIMA. Другими словами, EstMdl2.Constant = 0.0849961
и ConvertedMdl2.Constant = 0.087737
. Это вызвано тем, что estimate
не осуществляет нелинейное ограничение что arima
конвертер осуществляет. В результате другие оценки не эквивалентны также, хотя близко.
[1] Хиндмен, R. J. (2010, октябрь). “Путаница модели ARIMAX”. Роб Дж. Хиндмен. Полученный 4 мая 2017 из https://robjhyndman.com/hyndsight/arimax/
.