smooth
Класс: ssm
Обратная рекурсия моделей в пространстве состояний
Описание
X = smooth(Mdl,Y)X) путем выполнения обратной рекурсии полностью заданной модели в пространстве состояний Mdl. Таким образом, smooth применяет стандартный Фильтр Калмана с помощью Mdl и наблюдаемые ответы Y.
X = smooth(Mdl,Y,Name,Value)Name,Value парные аргументы.
Если Mdl не полностью задан, затем необходимо установить неизвестные параметры на известные скаляры с помощью Params Name,Value парный аргумент.
[ использование любой из входных параметров в предыдущих синтаксисах, чтобы дополнительно возвратить значение логарифмической правдоподобности (X,logL,Output]
= smooth(___)logL) и массив структуры output (Output) содержа:
Сглаживавшие состояния и их предполагаемая ковариационная матрица
Сглаживавшие воздействия состояния и их предполагаемая ковариационная матрица
Сглаживавшие инновации наблюдения и их предполагаемая ковариационная матрица
Значение логарифмической правдоподобности
Настроенное усиление Кальмана
И вектор, указывающий, который раньше фильтровали данные программное обеспечение
Входные параметры
Выходные аргументы
Примеры
Сглаженные состояния независимой от времени модели в пространстве состояний
Предположим, что скрытый процесс является AR (1). Уравнение состояния
где является Гауссовым со средним значением 0 и стандартным отклонением 0.5.
Сгенерируйте случайную последовательность 100 наблюдений от , предположение, что ряд запускается в 1,5.
T = 100; ARMdl = arima('AR',0.5,'Constant',0,'Variance',0.5^2); x0 = 1.5; rng(1); % For reproducibility x = simulate(ARMdl,T,'Y0',x0);
Предположим далее, что скрытый процесс подвергается аддитивной погрешности измерения. Уравнение наблюдения
где является Гауссовым со средним значением 0 и стандартным отклонением 0.05. Вместе, скрытые уравнения процесса и наблюдения составляют модель в пространстве состояний.
Используйте случайный скрытый процесс состояния (x) и уравнение наблюдения, чтобы сгенерировать наблюдения.
y = x + 0.05*randn(T,1);
Задайте четыре содействующих матрицы.
A = 0.5; B = 0.5; C = 1; D = 0.05;
Задайте модель в пространстве состояний с помощью содействующих матриц.
Mdl = ssm(A,B,C,D)
Mdl =
State-space model type: ssm
State vector length: 1
Observation vector length: 1
State disturbance vector length: 1
Observation innovation vector length: 1
Sample size supported by model: Unlimited
State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...
State equation:
x1(t) = (0.50)x1(t-1) + (0.50)u1(t)
Observation equation:
y1(t) = x1(t) + (0.05)e1(t)
Initial state distribution:
Initial state means
x1
0
Initial state covariance matrix
x1
x1 0.33
State types
x1
Stationary
Mdl ssm модель. Проверьте, что модель правильно задана с помощью отображения в Командном окне. Программное обеспечение выводит, что процесс состояния является стационарным. Впоследствии, программное обеспечение устанавливает среднее значение начального состояния и ковариацию к среднему значению и отклонению стационарного распределения модели AR (1).
Сглаживайте состояния в течение периодов 1 - 100. Постройте истинные значения состояния и сглаживавшие состояния.
SmoothedX = smooth(Mdl,y); figure plot(1:T,x,'-k',1:T,SmoothedX,':r','LineWidth',2) title({'State Values'}) xlabel('Period') ylabel('State') legend({'True state values','Smoothed state values'})
Сглаженные состояния модели в пространстве состояний, содержащей компонент регрессии
Предположим, что линейное соотношение между изменением в уровне безработицы и темпом роста номинального валового национального продукта (nGNP) представляет интерес. Предположим далее, что первым различием уровня безработицы является серия ARMA(1,1). Символически, и в форме пространства состояний, модель
где:
изменение в уровне безработицы во время t.
фиктивное состояние для MA (1) эффект.
наблюдаемый уровень безработицы, выкачиваемый темпом роста nGNP ().
серия Gaussian воздействий состояния, имеющих среднее значение 0 и стандартное отклонение 1.
серия Gaussian инноваций наблюдения, имеющих среднее значение 0 и стандартное отклонение .
Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера, который содержит уровень безработицы и nGNP ряд, среди прочего.
load Data_NelsonPlosserПредварительно обработайте данные путем взятия натурального логарифма nGNP ряда и первого различия каждого ряда. Кроме того, удалите стартовый NaN значения от каждого ряда.
isNaN = any(ismissing(DataTable),2); % Flag periods containing NaNs gnpn = DataTable.GNPN(~isNaN); u = DataTable.UR(~isNaN); T = size(gnpn,1); % Sample size Z = [ones(T-1,1) diff(log(gnpn))]; y = diff(u);
Хотя этот пример удаляет отсутствующие значения, программное обеспечение может вместить ряд, содержащий отсутствующие значения в среде Фильтра Калмана.
Задайте содействующие матрицы.
A = [NaN NaN; 0 0]; B = [1; 1]; C = [1 0]; D = NaN;
Задайте модель в пространстве состояний с помощью ssm.
Mdl = ssm(A,B,C,D);
Оцените параметры модели. Задайте компонент регрессии и его начальное значение для оптимизации с помощью 'Predictors' и 'Beta0' аргументы пары "имя-значение", соответственно. Ограничьте оценку ко всем положительным, вещественным числам.
params0 = [0.3 0.2 0.2]; % Chosen arbitrarily [EstMdl,estParams] = estimate(Mdl,y,params0,'Predictors',Z,... 'Beta0',[0.1 0.2],'lb',[-Inf,-Inf,0,-Inf,-Inf]);
Method: Maximum likelihood (fmincon)
Sample size: 61
Logarithmic likelihood: -99.7245
Akaike info criterion: 209.449
Bayesian info criterion: 220.003
| Coeff Std Err t Stat Prob
----------------------------------------------------------
c(1) | -0.34098 0.29608 -1.15164 0.24948
c(2) | 1.05003 0.41377 2.53771 0.01116
c(3) | 0.48592 0.36790 1.32079 0.18657
y <- z(1) | 1.36121 0.22338 6.09358 0
y <- z(2) | -24.46711 1.60018 -15.29024 0
|
| Final State Std Dev t Stat Prob
x(1) | 1.01264 0.44690 2.26592 0.02346
x(2) | 0.77718 0.58917 1.31912 0.18713
EstMdl ssm модель, и можно получить доступ к ее свойствам с помощью записи через точку.
Сглаживайте состояния. EstMdl не хранит данные или коэффициенты регрессии, таким образом, необходимо передать в них в использовании аргументов пары "имя-значение" 'Predictors' и 'Beta', соответственно. Постройте сглаживавшие состояния. Вспомните, что первое состояние является изменением в уровне безработицы, и второе состояние помогает создать первое.
SmoothedX = smooth(EstMdl,y,'Predictors',Z,'Beta',estParams(end-1:end)); figure plot(dates(end-(T-1)+1:end),SmoothedX(:,1)); xlabel('Period') ylabel('Change in the unemployment rate') title('Smoothed Change in the Unemployment Rate')
Советы
Mdlне хранит данные об ответе, данные о предикторе и коэффициенты регрессии. Снабдите данными везде, где необходимое использование соответствующего входа или аргументов пары "имя-значение".Чтобы ускорить оценку для низко-размерных, независимых от времени моделей, установите
'Univariate',true. Используя эту спецификацию, программное обеспечение последовательно обновляет скорее затем обновление целиком во время процесса фильтрации.
Алгоритмы
Фильтр Калмана хранит недостающие данные, не обновляя отфильтрованное оценочное соответствие состояния недостающим наблюдениям. Другими словами, предположите, что существует недостающее наблюдение в период t. Затем прогноз состояния для периода t на основе предыдущего t – 1 наблюдение и отфильтрованное состояние в течение периода t эквивалентен.
Для явным образом заданных моделей в пространстве состояний,
smoothприменяет все предикторы к каждому ряду ответа. Однако каждый ряд ответа имеет свой собственный набор коэффициентов регрессии.
Ссылки
[1] Дербин Дж. и С. Дж. Купмен. Анализ Временных рядов Методами Пространства состояний. 2-й редактор Оксфорд: Издательство Оксфордского университета, 2012.