Документация

x = qmr(A,b) попытки решить систему линейных уравнений A*x = b для x использование Метода квази-минимальных невязок. Когда попытка успешна, qmr отображает сообщение, чтобы подтвердить сходимость. Если qmr сбои, чтобы сходиться после максимального количества итераций или остановов по любой причине, это отображает диагностическое сообщение, которое включает относительный остаточный norm(b-A*x)/norm(b) и номер итерации, в который остановленный метод.

x = qmr(A,b,tol) задает допуск к методу. Допуском по умолчанию является 1e-6.

x = qmr(A,b,tol,maxit) задает максимальное количество итераций, чтобы использовать. qmr отображает диагностическое сообщение, если ему не удается сходиться в maxit итерации.

x = qmr(A,b,tol,maxit,M) задает матрицу перед формирователем M и вычисляет x путем эффективного решения системы $M^{- 1} A x = M^{- 1} b$ . Используя предварительный формирователь матрица может улучшить числовые свойства проблемы и КПД вычисления.

x = qmr(A,b,tol,maxit,M1,M2) задает факторы матрицы перед формирователем M таким образом, что M = M1*M2.

x = qmr(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) задает исходное предположение для вектора решения x. Значением по умолчанию является нулевой вектор.

[x,flag] = qmr(___) возвращает флаг, который задает, сходился ли алгоритм успешно. Когда flag = 0, сходимость была успешна. Можно использовать этот выходной синтаксис с любой из предыдущих комбинаций входных аргументов. Когда вы задаете flag вывод , qmr не отображает диагностических сообщений.

[x,flag,relres] = qmr(___) также возвращает относительный остаточный norm(b-A*x)/norm(b). Если flag 0, затем relres <= tol.

[x,flag,relres,iter] = qmr(___) также возвращает номер итерации iter в котором x был вычислен.

[x,flag,relres,iter,resvec] = qmr(___) также возвращает вектор из нормы невязки в каждой итерации, включая первый остаточный norm(b-A*x0).

Примеры

Итеративное решение линейной системы

Решите квадратную линейную систему с помощью qmr с настройками по умолчанию, и затем настраивают допуск и количество итераций, используемых в процессе решения.

Создайте случайную разреженную матрицу A с 50%-й плотностью. Также создайте случайный векторный b для правой стороны $Ax = b$ .

rng default
A = sprand(400,400,.5);
A = A'*A;
b = rand(400,1);

Решить $Ax = b$ использование qmr. Выходное отображение включает значение относительной остаточной ошибки $\frac{‖ b - Ax ‖}{‖ b ‖}$ .

x = qmr(A,b);

qmr stopped at iteration 20 without converging to the desired tolerance 1e-06
because the maximum number of iterations was reached.
The iterate returned (number 20) has relative residual 0.12.

qmr по умолчанию использование 20 итераций и допуск 1e-6, и алгоритм не может сходиться в тех 40 итерациях для этой матрицы. Поскольку невязка является все еще большой, это - хороший индикатор, что необходимо больше итераций (или матрица перед формирователем). Также можно использовать больший допуск, чтобы облегчить для алгоритма сходиться.

Решите систему снова с помощью допуска 1e-4 и 100 итераций.

x = qmr(A,b,1e-4,100);

qmr stopped at iteration 100 without converging to the desired tolerance 0.0001
because the maximum number of iterations was reached.
The iterate returned (number 100) has relative residual 0.06.

Даже с более свободным допуском и большим количеством итераций остаточная ошибка не улучшается очень. Когда итеративный алгоритм останавливается этим способом, это - хорошая индикация, что матрица перед формирователем необходима.

Вычислите неполную факторизацию Холесского A, и используйте L' фактор как вход перед формирователем к qmr.

L = ichol(A);
x = qmr(A,b,1e-4,100,L');

qmr converged at iteration 76 to a solution with relative residual 6.7e-05.

Используя предварительный формирователь улучшает числовые свойства проблемы достаточно того qmr может сходиться.

Используя `qmr` с Предварительным формирователем

Исследуйте эффект использования матрицы перед формирователем с qmr решить линейную систему.

Загрузите west0479, действительное 479 479 несимметричная разреженная матрица.

load west0479
A = west0479;

Задайте b так, чтобы истинное решение $Ax = b$ вектор из всех единиц.

b = sum(A,2);

Установите погрешность и максимальное количество итераций.

tol = 1e-12;
maxit = 20;

Используйте qmr найти решение в требуемом допуске и количестве итераций. Задайте пять выходных параметров, чтобы возвратить информацию о процессе решения:

x вычисленное решение A*x = b.
fl0 флаг, указывающий, сходился ли алгоритм.
rr0 относительная невязка вычисленного ответа x.
it0 номер итерации когда x был вычислен.
rv0 вектор из остаточной истории для $‖ b - Ax ‖$ .

[x,fl0,rr0,it0,rv0] = qmr(A,b,tol,maxit);
fl0

fl0 = 1

rr0

rr0 = 0.7984

it0

it0 = 17

fl0 1 потому что qmr не сходится к требуемому допуску 1e-12 в требуемых 20 итерациях. 17-е выполняют итерации, лучшее приближенное решение и тот, возвращенный, как обозначено it0 = 17.

Чтобы помочь с медленной сходимостью, можно задать матрицу перед формирователем. Начиная с A несимметрично, используйте ilu сгенерировать предварительный формирователь $M = L U$ . Задайте допуск отбрасывания, чтобы проигнорировать недиагональные записи со значениями, меньшими, чем 1e-6. Решите предобусловленную систему $M^{- 1} A x = M^{- 1} b$ путем определения L и U как вводит к qmr.

setup = struct('type','ilutp','droptol',1e-6);
[L,U] = ilu(A,setup);
[x1,fl1,rr1,it1,rv1] = qmr(A,b,tol,maxit,L,U);
fl1

fl1 = 0

rr1

rr1 = 4.1557e-14

it1

it1 = 6

Использование ilu предварительный формирователь производит относительную невязку меньше, чем предписанный допуск 1e-12 в шестой итерации. Выход rv1(1) norm(b), и выход rv1(end) norm(b-A*x1).

Можно следовать за прогрессом qmr путем графического вывода относительных остаточных значений в каждой итерации. Постройте остаточную историю каждого решения с линией для заданного допуска.

semilogy(0:length(rv0)-1,rv0/norm(b),'-o')
hold on
semilogy(0:length(rv1)-1,rv1/norm(b),'-o')
yline(tol,'r--');
legend('No preconditioner','ILU preconditioner','Tolerance','Location','East')
xlabel('Iteration number')
ylabel('Relative residual')

Предоставление исходного предположения

Исследуйте эффект предоставления qmr с исходным предположением решения.

Создайте трехдиагональную разреженную матрицу. Используйте сумму каждой строки как вектор для правой стороны $Ax = b$ так, чтобы ожидаемое решение для $x$ вектор из единиц.

n = 900;
e = ones(n,1);
A = spdiags([e 2*e e],-1:1,n,n);
b = sum(A,2);

Используйте qmr решить $Ax = b$ дважды: одно время с исходным предположением по умолчанию, и одно время с хорошим исходным предположением решения. Используйте 200 итераций и допуск по умолчанию к обоим решениям. Задайте исходное предположение во втором решении как вектор со всеми элементами, равными 0.99.

maxit = 200;
x1 = qmr(A,b,[],maxit);

qmr converged at iteration 27 to a solution with relative residual 9.5e-07.

x0 = 0.99*e;
x2 = qmr(A,b,[],maxit,[],[],x0);

qmr converged at iteration 7 to a solution with relative residual 6.7e-07.

В этом случае, предоставляющем исходное предположение, включает qmr сходиться более быстро.

Возвращение промежуточных результатов

Также можно использовать исходное предположение, чтобы получить промежуточные результаты путем вызова qmr в цикле for. Каждый вызов решателя выполняет несколько итераций и хранит расчетное решение. Затем вы используете то решение в качестве начального вектора для следующего пакета итераций.

Например, этот код выполняет 100 итераций четыре раза и хранит вектор решения после каждой передачи в цикле for:

x0 = zeros(size(A,2),1);
tol = 1e-8;
maxit = 100;
for k = 1:4
    [x,flag,relres] = qmr(A,b,tol,maxit,[],[],x0);
    X(:,k) = x;
    R(k) = relres;
    x0 = x;
end

X(:,k) вектор решения, вычисленный в итерации k из цикла for и R(k) относительная невязка того решения.

Используя указатель на функцию вместо числовой матрицы

Решите линейную систему путем обеспечения qmr с указателем на функцию, который вычисляет A*x и A'*x вместо матрицы коэффициентов A.

Создайте несимметричную трехдиагональную матрицу. Предварительно просмотрите матрицу.

A = gallery('wilk',21) + diag(ones(20,1),1)

A = 21×21

    10     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     1     9     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     1     8     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     1     7     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     1     6     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     1     5     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0     1     4     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0     0     1     3     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0     0     0     1     2     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0     0     0     0     1     1     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
      ⋮

Поскольку эта трехдиагональная матрица имеет специальную структуру, можно представлять операцию A*x с указателем на функцию. Когда A умножает вектор, большинством элементов в итоговом векторе являются нули. Ненулевые элементы в результате соответствуют ненулевым трехдиагональным элементам A.

Выражение $A x$ становится:

$A x = [\begin{array}{c} 10 & 2 & 0 & \dots & \dots & 0 \\ 1 & 9 & 2 & 0 & ⋮ \\ 0 & 1 & ⋱ & 2 & 0 \\ ⋮ & 0 & 1 & 0 & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & 1 & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 2 \\ 0 & \dots & \dots & 0 & 1 & 10 \end{array}] [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ ⋮ \\ x_{21} \end{array}] = [\begin{array}{c} {10 x}_{1} + 2 x_{2} \\ x_{1} + 9 x_{2} + 2 x_{3} \\ ⋮ \\ ⋮ \\ x_{19} + 9 x_{20} + 2 x_{21} \\ x_{20} + 10 x_{21} \end{array}]$ .

Итоговый вектор может быть записан как сумма трех векторов:

$A x = [\begin{array}{c} {10 x}_{1} + 2 x_{2} \\ x_{1} + 9 x_{2} + 2 x_{3} \\ ⋮ \\ ⋮ \\ x_{19} + 9 x_{20} + 2 x_{21} \\ x_{20} + 10 x_{21} \end{array}]$ = $[\begin{array}{c} 0 \\ x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{20} \end{array}] + [\begin{array}{c} {10 x}_{1} \\ {9 x}_{2} \\ ⋮ \\ 9 x_{20} \\ 10 x_{21} \end{array}] + 2 \cdot [\begin{array}{c} x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ x_{21} \\ 0 \end{array}]$ .

Аналогично, выражение для $A^{T} x$ становится:

$A^{T} x = [\begin{array}{c} 10 & 1 & 0 & \dots & \dots & 0 \\ 2 & 9 & 1 & 0 & ⋮ \\ 0 & 2 & ⋱ & 1 & 0 \\ ⋮ & 0 & 2 & 0 & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & 1 & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 1 \\ 0 & \dots & \dots & 0 & 2 & 10 \end{array}] [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ ⋮ \\ x_{21} \end{array}] = [\begin{array}{c} {10 x}_{1} + x_{2} \\ {2 x}_{1} + 9 x_{2} + x_{3} \\ ⋮ \\ ⋮ \\ {2 x}_{19} + 9 x_{20} + x_{21} \\ {2 x}_{20} + 10 x_{21} \end{array}]$ .

$A^{T} x = [\begin{array}{c} {10 x}_{1} + x_{2} \\ {2 x}_{1} + 9 x_{2} + x_{3} \\ ⋮ \\ ⋮ \\ {2 x}_{19} + 9 x_{20} + x_{21} \\ {2 x}_{20} + 10 x_{21} \end{array}] = 2 \cdot [\begin{array}{c} 0 \\ x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{20} \end{array}] + [\begin{array}{c} {10 x}_{1} \\ {9 x}_{2} \\ ⋮ \\ 9 x_{20} \\ 10 x_{21} \end{array}] + [\begin{array}{c} x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ x_{21} \\ 0 \end{array}]$ .

В MATLAB® запишите функцию, которая создает эти векторы и добавляет их вместе, таким образом давая значение A*x или A'*x, В зависимости от входа флага:

function y = afun(x,flag)
if strcmp(flag,'notransp') % Compute A*x
    y = [0; x(1:20)] ...
        + [(10:-1:0)'; (1:10)'].*x ...
        + 2*[x(2:end); 0];
elseif strcmp(flag,'transp') % Compute A'*x
    y = 2*[0; x(1:20)] ...
        + [(10:-1:0)'; (1:10)'].*x ...
        + [x(2:end); 0];
end
end

(Эта функция сохранена как локальная функция в конце примера.)

Теперь решите линейную систему $Ax = b$ путем обеспечения qmr с указателем на функцию, который вычисляет A*x и A'*x. Используйте допуск 1e-6 и 25 итераций. Задать $b$ как суммы строки $A$ так, чтобы истинное решение для $x$ вектор из единиц.

b = full(sum(A,2));
tol = 1e-6;  
maxit = 25;
x1 = qmr(@afun,b,tol,maxit)

qmr converged at iteration 19 to a solution with relative residual 4.7e-07.

Локальные функции

function y = afun(x,flag)
if strcmp(flag,'notransp') % Compute A*x
    y = [0; x(1:20)] ...
        + [(10:-1:0)'; (1:10)'].*x ...
        + 2*[x(2:end); 0];
elseif strcmp(flag,'transp') % Compute A'*x
    y = 2*[0; x(1:20)] ...
        + [(10:-1:0)'; (1:10)'].*x ...
        + [x(2:end); 0];
end
end

Входные параметры

`A` — Матрица коэффициентов
матрица | указатель на функцию

Матрица коэффициентов в виде квадратной матрицы или указателя на функцию. Эта матрица является матрицей коэффициентов в линейной системе A*x = b. Обычно A большая разреженная матрица или указатель на функцию, который возвращает продукт большой разреженной матрицы и вектор-столбца.

Определение `A` как указатель на функцию

Можно опционально задать матрицу коэффициентов как указатель на функцию вместо матрицы. Указатель на функцию возвращает матричные векторные произведения вместо того, чтобы формировать целую матрицу коэффициентов, делая вычисление более эффективным.

Чтобы использовать указатель на функцию, используйте функциональную подпись function y = afun(x,opt). Параметризация Функций объясняет, как предоставить дополнительные параметры функции afun, при необходимости. Функциональный afun должен удовлетворить этим условиям:

afun(x,'notransp') возвращает продукт A*x.
afun(x,'transp') возвращает продукт A'*x.

Пример приемлемой функции:

function y = afun(x,opt,B,C,n)
if strcmp(opt,'notransp')
    y = [B*x(n+1:end); C*x(1:n)];
else
    y = [C'*x(n+1:end); B'*x(1:n)];
end

Функциональный afun использует значения в B и C вычислить любой A*x или A'*x (в зависимости от заданного флага), на самом деле не формируя целую матрицу.

Типы данных: double | function_handle
Поддержка комплексного числа: Да

`b` — Правая сторона линейного уравнения
вектор-столбец

Правая сторона линейного уравнения в виде вектор-столбца. Длина b должно быть равно size(A,1).

Типы данных: double
Поддержка комплексного числа: Да

`tol` — Допуск метода
`[]` или `1e-6` (значение по умолчанию) | положительная скалярная величина

Допуск метода в виде положительной скалярной величины. Используйте этот вход для точности компромисса и времени выполнения в вычислении. qmr должен соответствовать допуску в количестве позволенных итераций, чтобы быть успешным. Меньшее значение tol означает, что ответ должен быть более точным для вычисления, чтобы быть успешным.

Типы данных: double

`maxit` — Максимальное количество итераций
`[]` или `min(size(A,1),20)` (значение по умолчанию) | положительное скалярное целое число

Максимальное количество итераций в виде положительного скалярного целого числа. Увеличьте значение maxit позволить больше итераций для qmr соответствовать допуску tol. Обычно меньшее значение tol средние значения больше итераций требуются, чтобы успешно завершать вычисление.

`M`, `M1`, `M2` — Матрицы перед формирователем (в качестве отдельных аргументов)
`eye(size(A))` (значение по умолчанию) | матрицы | указатели на функцию

Матрицы перед формирователем в виде отдельных аргументов матриц или указателей на функцию. Можно задать матрицу перед формирователем M или его матричные факторы M = M1*M2 улучшить числовые аспекты линейной системы и облегчить для qmr сходиться быстро. Для квадратных содействующих матриц можно использовать неполные матричные функции факторизации ilu и ichol сгенерировать матрицы перед формирователем. Также можно использовать equilibrate до факторизации, чтобы улучшить число обусловленности матрицы коэффициентов. Для получения дополнительной информации о предварительных формирователях смотрите Итерационные методы для Линейных систем.

qmr обрабатывает незаданные предварительные формирователи как единичные матрицы.

Определение `M` как указатель на функцию

Можно опционально задать любой M, M1, или M2 как указатели на функцию вместо матриц. Указатель на функцию выполняет матрично-векторные операции вместо того, чтобы формировать целую матрицу перед формирователем, делая вычисление более эффективным.

Чтобы использовать указатель на функцию, сначала создайте функцию с подписью function y = mfun(x,opt). Параметризация Функций объясняет, как предоставить дополнительные параметры функции mfun, при необходимости. Функциональный mfun должен удовлетворить этим условиям:

mfun(x,'notransp') возвращает значение M\x или M2\(M1\x).
mfun(x,'transp') возвращает значение M'\x или M1'\(M2'\x).

Пример приемлемой функции:

function y = mfun(x,opt,a,b)  
if strcmp(opt,'notransp')
    y = x.*a;
else
    y = x.*b;
end
end

В этом примере функциональный mfun использование a и b вычислить любой M\x = x*a или M'\x = x*b (в зависимости от заданного флага), на самом деле не формируя целый матричный M.

Типы данных: double | function_handle
Поддержка комплексного числа: Да

`x0` — Исходное предположение
`[]` или вектор-столбец из нулей (значение по умолчанию) | вектор-столбец

Исходное предположение в виде вектор-столбца с длиной равняется size(A,2). Если можно обеспечить qmr с более разумным исходным предположением x0 чем нулевой вектор по умолчанию затем это может сохранить время вычисления и помочь алгоритму сходиться быстрее.

Типы данных: double
Поддержка комплексного числа: Да

Выходные аргументы

`x` — Решение для линейной системы
вектор-столбец

Решение для линейной системы, возвращенное как вектор-столбец. Этот выход дает приближенное решение линейной системы A*x = b. Если вычисление успешно (flag = 0), затем relres меньше чем или равно tol.

Каждый раз, когда вычисление не успешно (flag ~= 0), решение x возвращенный qmr тот с минимальной нормой невязки, вычисленной по всем итерациям.

`flag` — Флаг Convergence
скаляр

Флаг Convergence, возвращенный как одно из скалярных значений в этой таблице. Флаг сходимости указывает, было ли вычисление успешно и дифференцируется между несколькими различными формами отказа.

Флаговое значение	Сходимость
0	Успех — `qmr` сходившийся к желаемому допуску `tol` в `maxit` итерации.
1	Отказ — `qmr` выполненный с помощью итераций `maxit` итерации, но не сходились.
2	Отказ — матрица перед формирователем `M` или `M = M1*M2` isIllConditioned.
3	Отказ — `qmr` застоявшийся после того, как две последовательных итерации были тем же самым.
4	Отказ — Один из скаляров, вычисленных `qmr` алгоритм стал слишком маленьким или слишком большим, чтобы продолжить вычислять.

`relres` — Относительная остаточная ошибка
скаляр

Относительная остаточная ошибка, возвращенная как скаляр. Относительная остаточная ошибка relres = norm(b-A*x)/norm(b) индикация относительно того, насколько точный ответ. Если вычисление сходится к допуску tol в maxit итерации, затем relres <= tol.

Типы данных: double

`iter` — Номер итерации
скаляр

Номер итерации, возвращенный как скаляр. Этот выход указывает на номер итерации в который вычисленный ответ для x был вычислен.

Типы данных: double

`resvec` — Остаточная ошибка
вектор

Остаточная ошибка, возвращенная как вектор. Остаточная ошибка norm(b-A*x) показывает, как близко алгоритм к схождению для данного значения x. Число элементов в resvec равно количеству итераций. Можно исследовать содержимое resvec помочь решить, изменить ли значения tol или maxit.

Типы данных: double

Больше о