В этом примере показано, как преобразовать линейную задачу от математической формы в синтаксис решателя Optimization Toolbox™ с помощью подхода, основанного на проблеме.
Переменные и выражения в проблеме представляют модель работы химического завода из примера в Эдгаре и Химмельблау [1]. Два связанных видео описывают проблему.
Математическое Моделирование с Оптимизацией, Часть 1 представляет проблему в графической форме, показывая, как сгенерировать математические выражения Описания Модели.
Моделирование оптимизации, Часть 2: основанное на проблеме Решение Математической модели описывает, как преобразовать эти математические выражения в синтаксис решателя Optimization Toolbox. Это видео показывает, как решить задачу, и как интерпретировать результаты.
Этот пример, который сопровождает видео Части 2, фокусируется на преобразовании задачи к синтаксису решателя.
Видео Части 1 предлагает следующий подход для преобразования проблемы в математическую форму:
Получите полную идею проблемы.
Идентифицируйте цель (максимизация или минимизация чего-то).
Идентифицируйте (называют) переменные.
Идентифицируйте ограничения.
Определите, какими переменными можно управлять.
Задайте все величины в математическом обозначении.
Проверяйте модель на полноту и правильность.
Для значения переменных в этом разделе посмотрите видео Части 1.
Задача оптимизации должна минимизировать целевую функцию согласно всем другим выражениям как ограничения.
Целевая функция:
0.002614 HPS + 0.0239 PP + 0.009825 EP
.
Ограничения:
2500 ≤
P1
≤ 6250
I1
≤ 192,000
C
≤ 62,000
I1 - HE1
≤ 132,000
I1 = LE1 + HE1 + C
1359.8 I1 = 1267.8 HE1 + 1251.4 LE1 + 192 C + 3413 P1
3000
≤
P2
≤ 9000
I2
≤ 244,000
LE2
≤ 142,000
I2 = LE2 + HE2
1359.8 I2 = 1267.8 HE2 + 1251.4 LE2 + 3413 P2
HPS = I1 + I2 + BF1
HPS = C + MPS + LPS
LPS = LE1 + LE2 + BF2
MPS = HE1 + HE2 + BF1 - BF2
P1 + P2 + PP
≥ 24,550
EP + PP
≥ 12,000
MPS
≥ 271,536
LPS
≥ 100,623
Все переменные положительны.
Первый метод решения включает создание переменной оптимизации для каждой переменной задачи. Когда вы создаете переменные, включаете их границы.
P1 = optimvar('P1','LowerBound',2500,'UpperBound',6250); P2 = optimvar('P2','LowerBound',3000,'UpperBound',9000); I1 = optimvar('I1','LowerBound',0,'UpperBound',192000); I2 = optimvar('I2','LowerBound',0,'UpperBound',244000); C = optimvar('C','LowerBound',0,'UpperBound',62000); LE1 = optimvar('LE1','LowerBound',0); LE2 = optimvar('LE2','LowerBound',0,'UpperBound',142000); HE1 = optimvar('HE1','LowerBound',0); HE2 = optimvar('HE2','LowerBound',0); HPS = optimvar('HPS','LowerBound',0); MPS = optimvar('MPS','LowerBound',271536); LPS = optimvar('LPS','LowerBound',100623); BF1 = optimvar('BF1','LowerBound',0); BF2 = optimvar('BF2','LowerBound',0); EP = optimvar('EP','LowerBound',0); PP = optimvar('PP','LowerBound',0);
Создайте контейнер задачи оптимизации. Включайте целевую функцию в проблему.
linprob = optimproblem('Objective',0.002614*HPS + 0.0239*PP + 0.009825*EP);
Выражения задач содержат три линейных неравенства:
I1 - HE1 ≤ 132,000
EP + PP ≥ 12,000
P1 + P2 + PP ≥ 24,550
| (1) |
Создайте эти неравенства-ограничения и включите их в проблему.
linprob.Constraints.cons1 = I1 - HE1 <= 132000; linprob.Constraints.cons2 = EP + PP >= 12000; linprob.Constraints.cons3 = P1 + P2 + PP >= 24550;
Проблема имеет восемь линейных равенств:
I2 = LE2 + HE2 LPS = LE1 + LE2 + BF2 HPS = I1 + I2 + BF1 HPS = C + MPS + LPS I1 = LE1 + HE1 + C MPS = HE1 + HE2 + BF1 - BF2 1359.8 I1 = 1267.8 HE1 + 1251.4 LE1 + 192 C + 3413 P1 1359.8 I2 = 1267.8 HE2 + 1251.4 LE2 + 3413 P2 . | (2) |
Включайте эти ограничения также.
linprob.Constraints.econs1 = LE2 + HE2 == I2; linprob.Constraints.econs2 = LE1 + LE2 + BF2 == LPS; linprob.Constraints.econs3 = I1 + I2 + BF1 == HPS; linprob.Constraints.econs4 = C + MPS + LPS == HPS; linprob.Constraints.econs5 = LE1 + HE1 + C == I1; linprob.Constraints.econs6 = HE1 + HE2 + BF1 == BF2 + MPS; linprob.Constraints.econs7 = 1267.8*HE1 + 1251.4*LE1 + 192*C + 3413*P1 == 1359.8*I1; linprob.Constraints.econs8 = 1267.8*HE2 + 1251.4*LE2 + 3413*P2 == 1359.8*I2;
Формулировка задачи завершена. Решите задачу с помощью solve
.
linsol = solve(linprob);
Optimal solution found.
Выполните целевую функцию. (Вы можете также для этого значения, когда вы сначала вызываете solve
.)
evaluate(linprob.Objective,linsol)
ans = 1.2703e+03
Самый дешевый метод управления заводом стоит 1207,30$.
Исследуйте значения переменных решения.
tbl = struct2table(linsol)
tbl = 1×16 table BF1 BF2 C EP HE1 HE2 HPS I1 I2 LE1 LE2 LPS MPS P1 P2 PP ___ ___ ______ ______ __________ __________ __________ __________ ________ ___ __________ __________ __________ ____ ______ _____ 0 0 8169.7 760.71 1.2816e+05 1.4338e+05 3.8033e+05 1.3633e+05 2.44e+05 0 1.0062e+05 1.0062e+05 2.7154e+05 6250 7060.7 11239
Эта таблица слишком широка, чтобы просмотреть ее содержимое легко. Сложите переменные, чтобы расположить их вертикально.
vars = {'P1','P2','I1','I2','C','LE1','LE2','HE1','HE2',... 'HPS','MPS','LPS','BF1','BF2','EP','PP'}; outputvars = stack(tbl,vars,'NewDataVariableName','Amt','IndexVariableName','Var')
outputvars = 16×2 table Var Amt ___ __________ P1 6250 P2 7060.7 I1 1.3633e+05 I2 2.44e+05 C 8169.7 LE1 0 LE2 1.0062e+05 HE1 1.2816e+05 HE2 1.4338e+05 HPS 3.8033e+05 MPS 2.7154e+05 LPS 1.0062e+05 BF1 0 BF2 0 EP 760.71 PP 11239
BF1
, BF2
, и LE1
0
, их нижние границы.
I2
244,000
, его верхняя граница.
Ненулевые компоненты целевой функции (стоимость)
HPS
— 380,328.74
PP
— 11,239.29
EP
— 760.71
Видео Части 2 интерпретирует эти характеристики в терминах исходной проблемы.
Также можно решить проблему, используя всего одну переменную оптимизации, которая имеет индексы с именами переменных задачи. Этот метод позволяет вам задать нулевую нижнюю границу всем переменным задачи сразу.
vars = {'P1','P2','I1','I2','C','LE1','LE2','HE1','HE2',... 'HPS','MPS','LPS','BF1','BF2','EP','PP'}; x = optimvar('x',vars,'LowerBound',0);
Включайте границы на переменных с помощью записи через точку.
x('P1').LowerBound = 2500; x('P2').LowerBound = 3000; x('MPS').LowerBound = 271536; x('LPS').LowerBound = 100623; x('P1').UpperBound = 6250; x('P2').UpperBound = 9000; x('I1').UpperBound = 192000; x('I2').UpperBound = 244000; x('C').UpperBound = 62000; x('LE2').UpperBound = 142000;
Оставшаяся часть настройки задачи похожа на настройку с помощью отдельных переменных. Различие то, что, вместо того, чтобы обратиться к переменной ее именем, таким как P1
, вы обращаетесь к нему с помощью его индекса, x('P1')
.
Создайте объект задачи, включайте линейные ограничения и решите задачу.
linprob = optimproblem('Objective',0.002614*x('HPS') + 0.0239*x('PP') + 0.009825*x('EP')); linprob.Constraints.cons1 = x('I1') - x('HE1') <= 132000; linprob.Constraints.cons2 = x('EP') + x('PP') >= 12000; linprob.Constraints.cons3 = x('P1') + x('P2') + x('PP') >= 24550; linprob.Constraints.econs1 = x('LE2') + x('HE2') == x('I2'); linprob.Constraints.econs2 = x('LE1') + x('LE2') + x('BF2') == x('LPS'); linprob.Constraints.econs3 = x('I1') + x('I2') + x('BF1') == x('HPS'); linprob.Constraints.econs4 = x('C') + x('MPS') + x('LPS') == x('HPS'); linprob.Constraints.econs5 = x('LE1') + x('HE1') + x('C') == x('I1'); linprob.Constraints.econs6 = x('HE1') + x('HE2') + x('BF1') == x('BF2') + x('MPS'); linprob.Constraints.econs7 = 1267.8*x('HE1') + 1251.4*x('LE1') + 192*x('C') + 3413*x('P1') == 1359.8*x('I1'); linprob.Constraints.econs8 = 1267.8*x('HE2') + 1251.4*x('LE2') + 3413*x('P2') == 1359.8*x('I2'); [linsol,fval] = solve(linprob);
Optimal solution found.
Исследуйте решение как вертикальную таблицу.
tbl = table(vars',linsol.x')
tbl = 16×2 table Var1 Var2 _____ __________ 'P1' 6250 'P2' 7060.7 'I1' 1.3633e+05 'I2' 2.44e+05 'C' 8169.7 'LE1' 0 'LE2' 1.0062e+05 'HE1' 1.2816e+05 'HE2' 1.4338e+05 'HPS' 3.8033e+05 'MPS' 2.7154e+05 'LPS' 1.0062e+05 'BF1' 0 'BF2' 0 'EP' 760.71 'PP' 11239
[1] Эдгар, Томас Ф. и Дэвид М. Химмельблау. Оптимизация химических процессов. Нью-Йорк: McGraw-Hill, 1987.