Этот пример показывает, как преобразовать задачу из математической формы в синтаксис решателя Optimization Toolbox™, используя основанный на решателе подход. Пока задачей является линейная программа, техники применяются ко всем решателям.
Переменные и выражения в проблеме представляют модель работы химического завода из примера в Эдгаре и Химмельблау [1]. Существует два видео, которые описывают проблему.
Математическое Моделирование с Оптимизацией, Часть 1 показывает задачу в графической форме. Это показывает, как сгенерировать математические выражения Образцового Описания из графика.
Моделирование оптимизации, Часть 2: Преобразование в Форму Решателя описывает, как преобразовать эти математические выражения в синтаксис решателя Optimization Toolbox. Это видео показывает, как решить задачу, и как интерпретировать результаты.
Оставшаяся часть этого примера затронута только с преобразованием задачи к синтаксису решателя. Пример сопровождает видео Моделирование Оптимизации, Часть 2: Преобразование в Форму Решателя. Основное различие между видео и примером - то, что этот пример показывает, как использовать именованные переменные или индексные переменные, которые подобны хешированию ключей. Это различие находится в Переменных Объединения В Один Вектор.
Видео Математическое Моделирование с Оптимизацией, Часть 1 предполагает, что один способ преобразовать проблему в математическую форму к:
Получите полную идею проблемы
Идентифицируйте цель (максимизация или минимизация чего-то)
Идентифицируйте (назовите) переменные
Идентифицируйте ограничения
Определите, какими переменными можно управлять
Задайте все величины в математическом обозначении
Проверяйте модель на полноту и правильность
Для значения переменных в этом разделе смотрите видео Математическое Моделирование с Оптимизацией, Частью 1.
Задача оптимизации должна минимизировать целевую функцию согласно всем другим выражениям как ограничения.
Целевая функция:
0.002614 HPS + 0.0239 PP + 0.009825 EP
.
Ограничения:
2500 ≤
P1
≤ 6250
I1
≤ 192,000
C
≤ 62,000
I1 - HE1
≤ 132,000
I1 = LE1 + HE1 + C
1359.8 I1 = 1267.8 HE1 + 1251.4 LE1 + 192 C + 3413 P1
3000
≤
P2
≤ 9000
I2
≤ 244,000
LE2
≤ 142,000
I2 = LE2 + HE2
1359.8 I2 = 1267.8 HE2 + 1251.4 LE2 + 3413 P2
HPS = I1 + I2 + BF1
HPS = C + MPS + LPS
LPS = LE1 + LE2 + BF2
MPS = HE1 + HE2 + BF1 - BF2
P1 + P2 + PP
≥ 24,550
EP + PP
≥ 12,000
MPS
≥ 271,536
LPS
≥ 100,623
Все переменные положительны.
Чтобы решить задачу оптимизации, возьмите следующие шаги.
Шаги также показывают в видео Моделировании Оптимизации, Части 2: Преобразование в Форму Решателя.
Чтобы найти соответствующий решатель для этой проблемы, консультируйтесь с Таблицей решений Оптимизации. Таблица просит, чтобы вы категоризировали свою проблему типом целевой функции и типами ограничений. Для этой проблемы целевая функция линейна, и ограничения линейны. Таблица решений рекомендует использовать linprog
решатель.
Когда вы видите в проблемах, Обработанных Функциями Optimization Toolbox или linprog
страница ссылки на функцию, linprog
решатель решает задачи формы
(1) |
fTx означает вектор-строку из констант f, умножающий вектор-столбец переменных x. Другими словами,
fTx = f (1) x (1) + f (2) x (2) +... + f (n) x (n),
где n является длиной f.
A x ≤ b представляет линейные неравенства. A является k-by-n матрица, где k является количеством неравенств, и n является количеством переменных (размер x). b является вектором из длины k. Для получения дополнительной информации смотрите Линейные Ограничения неравенства.
Aeq x = beq представляет линейные равенства. Aeq является m-by-n матрица, где m является количеством равенств, и n является количеством переменных (размер x). beq является вектором из длины m. Для получения дополнительной информации смотрите Линейные Ограничения равенства.
lb ≤ x ≤ ub означает, что каждый элемент в векторном x должен быть больше соответствующего элемента lb и должен быть меньшим, чем соответствующий элемент ub. Для получения дополнительной информации смотрите Связанные Ограничения.
Синтаксис linprog
решатель, как показано на его странице ссылки на функцию,
[x fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub);
Входные параметры к linprog
решатель является матрицами и векторами в уравнении 1.
Существует 16 переменных в уравнениях Описания Модели. Поместите эти переменные в один вектор. Именем вектора из переменных является x в уравнении 1. Выберите порядок и создайте компоненты x из переменных.
Следующий код создает вектор с помощью массива ячеек имен для переменных.
variables = {'I1','I2','HE1','HE2','LE1','LE2','C','BF1',... 'BF2','HPS','MPS','LPS','P1','P2','PP','EP'}; N = length(variables); % create variables for indexing for v = 1:N eval([variables{v},' = ', num2str(v),';']); end
Выполнение этих команд создает следующие именованные переменные в вашей рабочей области:
Эти именованные переменные представляют индексы для компонентов x. Вы не должны создавать именованные переменные. Видео Моделирование Оптимизации, Часть 2: Преобразование в Форму Решателя показывает, как решить задачу просто с помощью индексов компонентов x.
Существует четыре переменные с нижними границами, и шесть с верхними границами в уравнениях Описания Модели. Нижние границы:
P1
≥ 2500
P2
≥ 3000
MPS
≥ 271,536
LPS
≥ 100,623 .
Кроме того, все переменные положительны, что означает, что у них есть нижняя граница в нуле.
Создайте вектор нижней границы lb
как вектор из 0
, затем добавьте четыре других нижних границы.
lb = zeros(size(variables)); lb([P1,P2,MPS,LPS]) = ... [2500,3000,271536,100623];
Переменные с верхними границами:
P1
≤ 6250
P2
≤ 9000
I1
≤ 192,000
I2
≤ 244,000
C
≤ 62,000
LE2
≤ 142000 .
Создайте вектор верхней границы как вектор из Inf
, затем добавьте эти шесть верхних границ.
ub = Inf(size(variables)); ub([P1,P2,I1,I2,C,LE2]) = ... [6250,9000,192000,244000,62000,142000];
Существует три линейных неравенства в уравнениях Описания Модели:
I1 - HE1
≤ 132,000
EP + PP
≥ 12,000
P1 + P2 + PP
≥ 24,550 .
Для того, чтобы иметь уравнения в форме A x ≤b, поместите все переменные на левую часть неравенства. Все эти уравнения уже имеют ту форму. Убедитесь, что каждое неравенство находится в “меньше, чем” форма путем умножения через на –1 везде, где соответствующий:
I1 - HE1
≤ 132,000
-EP - PP
≤ -12,000
-P1 - P2 - PP
≤ -24,550 .
В вашей рабочей области MATLAB® создайте A
матрица как 3-на-16 нулевая матрица, соответствующая 3 линейным неравенствам с 16 переменными. Создайте b
вектор с тремя компонентами.
A = zeros(3,16); A(1,I1) = 1; A(1,HE1) = -1; b(1) = 132000; A(2,EP) = -1; A(2,PP) = -1; b(2) = -12000; A(3,[P1,P2,PP]) = [-1,-1,-1]; b(3) = -24550;
Существует восемь линейных уравнений в уравнениях Описания Модели:
I2 = LE2 + HE2
LPS = LE1 + LE2 + BF2
HPS = I1 + I2 + BF1
HPS = C + MPS + LPS
I1 = LE1 + HE1 + C
MPS = HE1 + HE2 + BF1 - BF2
1359.8 I1 = 1267.8 HE1 + 1251.4 LE1 + 192 C + 3413 P1
1359.8 I2 = 1267.8 HE2 + 1251.4 LE2 + 3413 P2
.
Для того, чтобы иметь уравнения в форме Aeq x =beq, поместите все переменные на одну сторону уравнения. Уравнения становятся:
LE2 + HE2 - I2 = 0
LE1 + LE2 + BF2 - LPS = 0
I1 + I2 + BF1 - HPS = 0
C + MPS + LPS - HPS = 0
LE1 + HE1 + C - I1 = 0
HE1 + HE2 + BF1 - BF2 - MPS = 0
1267.8 HE1 + 1251.4 LE1 + 192 C + 3413 P1 - 1359.8 I1 = 0
1267.8 HE2 + 1251.4 LE2 + 3413 P2 - 1359.8 I2 = 0
.
Теперь запишите Aeq
матрица и beq
вектор, соответствующий этим уравнениям. В вашем рабочем пространстве MATLAB создайте Aeq
матрица как 8 16 нулевая матрица, соответствуя 8 линейным уравнениям в 16 переменных. Создайте beq
вектор с восемью компонентами, всем нулем.
Aeq = zeros(8,16); beq = zeros(8,1); Aeq(1,[LE2,HE2,I2]) = [1,1,-1]; Aeq(2,[LE1,LE2,BF2,LPS]) = [1,1,1,-1]; Aeq(3,[I1,I2,BF1,HPS]) = [1,1,1,-1]; Aeq(4,[C,MPS,LPS,HPS]) = [1,1,1,-1]; Aeq(5,[LE1,HE1,C,I1]) = [1,1,1,-1]; Aeq(6,[HE1,HE2,BF1,BF2,MPS]) = [1,1,1,-1,-1]; Aeq(7,[HE1,LE1,C,P1,I1]) = [1267.8,1251.4,192,3413,-1359.8]; Aeq(8,[HE2,LE2,P2,I2]) = [1267.8,1251.4,3413,-1359.8];
Целевая функция
fTx = 0.002614 HPS + 0.0239 PP + 0.009825 EP
.
Запишите это выражение как векторный f
из множителей вектора x:
f = zeros(size(variables)); f([HPS PP EP]) = [0.002614 0.0239 0.009825];
У вас теперь есть входные параметры, требуемые linprog
решатель. Вызовите решатель и распечатайте выходные параметры в отформатированной форме:
options = optimoptions('linprog','Algorithm','dual-simplex'); [x fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options); for d = 1:N fprintf('%12.2f \t%s\n',x(d),variables{d}) end fval
Результат:
Optimal solution found. 136328.74 I1 244000.00 I2 128159.00 HE1 143377.00 HE2 0.00 LE1 100623.00 LE2 8169.74 C 0.00 BF1 0.00 BF2 380328.74 HPS 271536.00 MPS 100623.00 LPS 6250.00 P1 7060.71 P2 11239.29 PP 760.71 EP fval = 1.2703e+03
fval
выведите дает наименьшее значение целевой функции при любой допустимой точке.
Вектор решения x
точка, где целевая функция имеет наименьшее значение. Заметьте что:
BF1
, BF2
, и LE1
0
, их нижние границы.
I2
244,000
, его верхняя граница.
Ненулевые компоненты f
вектор
HPS
— 380,328.74
PP
— 11,239.29
EP
— 760.71
Видео Моделирование Оптимизации, Часть 2: Преобразование в Форму Решателя дает интерпретации этих характеристик в терминах исходной проблемы.
[1] Эдгар, Томас Ф. и Дэвид М. Химмельблау. Оптимизация химических процессов. McGraw-Hill, Нью-Йорк, 1988.