Инструменты для определения и решения LMIs

LMI Lab является высокоэффективным пакетом для того, чтобы решить общие задачи LMI. Это смешивает простые инструменты для спецификации и манипуляции LMIs с мощными решателями LMI для трех типовых проблем LMI. Благодаря ориентированному на структуру представлению LMIs различные ограничения LMI могут быть описаны в их естественной форме блочной матрицы. Точно так же переменные оптимизации заданы непосредственно как матричные переменные с некоторой данной структурой. Если проблема LMI задана, она может быть решена численно путем вызова соответствующего решателя LMI. Эти три решателя feasp, mincx, и gevp составьте вычислительный механизм фрагмента LMI программного обеспечения Robust Control Toolbox™. Их высокая производительность достигается посредством реализации C-MEX и путем использования в своих интересах конкретной структуры каждого LMI.

LMI Lab предлагает инструменты

  • Задайте системы LMI или символически с Редактором LMI или инкрементно с lmivar и lmiterm команды

  • Получите информацию о существующих системах LMIs

  • Измените существующие системы LMIs

  • Решите три типовых задачи LMI (проблема выполнимости, линейная объективная минимизация и обобщенная минимизация собственного значения)

  • Подтвердите результаты

Эта глава дает учебное введение в LMI Lab, а также более усовершенствованные советы для того, чтобы максимально использовать ее потенциал.

Некоторая терминология

Любое линейное матричное неравенство может быть описано в канонической форме

L (x) = L0 + x1L1 +... + xNLN <0

где

  • L0, L1..., LN дают симметричные матрицы

  • x = (x1..., xN), TR N является вектором из скалярных переменных, которые будут определены. Мы обращаемся к x1..., xN как переменные решения. Имена “переменные проекта” и “переменные оптимизации” также найдены в литературе.

Даже при том, что это каноническое выражение является типовым, LMIs редко возникают в этой форме в приложениях управления. Рассмотрите, например, неравенство Ляпунова

ATX+XA<0(1)

где

A=(1202)

и переменная

X=(x1x2x2x3)

симметрическая матрица. Здесь переменные решения являются свободными входами x1, x2, x3 X и каноническая форма этого LMI чтения

x1(2220)+x2(0334)+x3(0004)<0.(2)

Очевидно это выражение менее интуитивно и прозрачно, чем  уравнение 1. Кроме того, количество матриц, вовлеченных в  уравнение 2, растет примерно как n2 / 2, если n является размером матрицы A. Следовательно, каноническая форма очень неэффективна с точки зрения устройства хранения данных, поскольку она требует хранению o(n2 / 2) матрицы размера n, когда одна n на n матрица А была бы достаточна. Наконец, работа с канонической формой также вредна для КПД решателей LMI. По этим различным причинам LMI Lab использует структурированное представление LMIs. Например, выражение ATX + XA в  уравнении 1 неравенства Ляпунова явным образом описан как функция матричной переменной X, и только матрица A хранится.

В общем случае LMIs принимают форму блочной матрицы, где каждый блок является аффинной комбинацией матричных переменных. Как довольно типичный рисунок, считайте следующий LMI чертившим от H теория

NT(ATX+XAXCTBCXγIDBTDTγI)N<0(3)

где A, B, C, D и N дают матрицы, и переменными задачи является X = X TR n ×n и γR. Мы используем следующую терминологию, чтобы описать такой LMIs:

  • N называется внешним фактором и блочной матрицей

    L(X,γ)=(ATX+XAXCTBCXγIDBTDTγI)

    называется внутренним фактором. Внешний фактор не должен быть квадратным и часто отсутствует.

  • X и γ матричные переменные проблемы. Обратите внимание на то, что скаляры рассматриваются как матрицы 1 на 1.

  • Внутренним фактором L (X, γ) является симметричная блочная матрица, ее блочная структура, охарактеризовавшая размерами ее диагональных блоков. Симметрией, L (X, γ) полностью задан блоками на или выше диагонали.

  • Каждый блок L (X, γ) является аффинным выражением в матричных переменных X и γ. Это выражение может быть разломано на сумма элементарных условий. Например, блок (1,1) содержит два элементарных условия: ATX и XA.

  • Условия являются или постоянными или переменными. Постоянные условия являются зафиксированными матрицами как B и D выше. Переменные условия включают одну из матричных переменных, как XA, XCT и –γI выше.

LMI  (уравнение 3) задан списком условий в каждом блоке, как любой LMI независимо от его сложности.

Что касается матричных переменных X и γ, они характеризуются их размерностями и структурой. Общие структуры включают прямоугольный неструктурированный, симметричный, скошено-симметричный, и скалярный. С более сложными структурами иногда сталкиваются в проблемах управления. Например, матричная переменная X могла быть ограничена к диагональной блоком структуре:

X=(x1000x2x30x3x4).

Другая возможность является симметричной структурой Теплица:

X=(x1x2x3x2x1x2x3x2x1).

При подведении итогов, структурировал проблемы LMI, заданы путем объявления матричных переменных и описания термина содержимое каждой LMI. Это ориентированное на термин описание систематично и точно отражает определенную структуру ограничений LMI. Нет никакого встроенного ограничения на количество LMIs, который можно задать или на количестве блоков и условий в любой данной LMI. Системы LMI произвольной сложности могут поэтому, быть заданными в LMI Lab.

Обзор лаборатории LMI

LMI Lab предлагает инструменты, чтобы задать, управлять, и численно решить LMIs. Его основная цель к

  • Допускайте прямое описание LMIs в их естественной форме блочной матрицы

  • Предоставьте быстрый доступ решателям LMI (коды оптимизации)

  • Упростите валидацию результата и модификацию задач

Ориентированное на структуру описание данной системы LMI хранится, как один вектор вызвал внутреннее представление и в общем обозначенный LMISYS в продолжении. Этот вектор кодирует структуру и размерности LMIs и матричных переменных, описания всех условий LMI и связанных числовых данных. Нужно подчеркнуть, что вы не должны пытаться считать или изучить содержимое LMISYS поскольку все манипуляции, включающие это внутреннее представление, могут быть выполнены прозрачным способом с инструментами LMI-Lab.

LMI Lab поддерживает следующие функциональности:

Спецификация системы LMIs

Системы LMI могут быть или заданы как выражения символьной матрицы с интерактивным графическим интерфейсом пользователя lmiedit, или собранный инкрементно с этими двумя командами lmivar и lmiterm. Право преимущественной покупки более интуитивно и прозрачно, в то время как вторая опция более мощна и гибка.

Информационный поиск

Интерактивная функция lmiinfo отвечают качественные запросы о системах LMI, созданных с lmiedit или lmivar и lmiterm. Можно также использовать lmiedit визуализировать систему LMI, созданную конкретной последовательностью lmivar/lmiterm команды.

Решатели для задач оптимизации LMI

Решатели LMI общего назначения обеспечиваются для трех типовых проблем LMI, заданных в Приложениях LMI. Эти решатели могут обработать очень общие системы LMI и матричные переменные структуры. Они возвращают выполнимый или оптимальный вектор из переменных решения x*. Соответствующие значения X1*,,XK* из матричных переменных даны функцией dec2mat.

Валидация результата

Решение x* произведенный решателями LMI легко подтверждено с функциями evallmi и showlmi. Это позволяет быструю проверку и/или анализ результатов. С evallmi, все переменные условия в системе LMI оценены для значения x* переменных решения. Левые и правые стороны каждого LMI затем становятся постоянными матрицами, которые могут быть отображены с showlmi.

Модификация системы LMIs

Существующая система LMIs может быть изменена двумя способами:

  • LMI может быть удален из системы с dellmi.

  • Переменная матрицы A X может быть удалена с помощью delmvar. Это можно также инстанцировать, то есть, установить в некоторое данное матричное значение. Эта операция выполняется setmvar и позволяет, например, фиксировать некоторые переменные и решать задачу LMI относительно остающихся единиц.

Похожие темы

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте