Логарифмически нормальное распределение, иногда названное распределением Galton, является вероятностным распределением, логарифм которого имеет нормальное распределение. Логарифмически нормальное распределение применимо, когда количество интереса должно быть положительным, потому что журнал (x) существует только, когда x положителен.
Statistics and Machine Learning Toolbox™ предлагает несколько способов работать с логарифмически нормальным распределением.
Создайте объект LognormalDistribution
вероятностного распределения путем строения распределения вероятности к выборочным данным (
fitdist
) или настройкой значений параметров (makedist
). Затем используйте объектные функции, чтобы вычислять распределение, сгенерировать случайные числа, и так далее.
Работа с логарифмически нормальным распределением в интерактивном режиме при помощи приложения Distribution Fitter. Можно экспортировать объект из приложения и использовать объектные функции.
Используйте специфичные для распределения функции (logncdf
, lognpdf
, logninv
, lognlike
, lognstat
, lognfit
, lognrnd
) с заданными параметрами распределения. Специфичные для распределения функции могут принять параметры нескольких логарифмически нормальных распределений.
Используйте типовые функции распределения (cdf
, icdf
, pdf
, random
) с заданным именем распределения ('Lognormal'
) и параметры.
Логарифмически нормальное распределение использует эти параметры.
Параметр | Описание | Поддержка |
---|---|---|
mu (μ) | Среднее значение логарифмических значений | |
sigma (σ) | Стандартное отклонение логарифмических значений |
Если X следует за логарифмически нормальным распределением параметрами µ и σ, то регистрируйте (X), следует за нормальным распределением со средним µ и стандартным отклонением σ.
Чтобы соответствовать логарифмически нормальному распределению к данным и найти оценки параметра, использовать lognfit
, fitdist
, или mle
.
Для не прошедших цензуру данных, lognfit
и fitdist
найдите объективные оценки параметров распределения, и mle
находит оценки наибольшего правдоподобия.
Для подвергнутых цензуре данных, lognfit
, fitdist
, и mle
найдите оценки наибольшего правдоподобия.
В отличие от этого, lognfit
и mle
, который возвращаемый параметр оценивает, fitdist
возвращает подходящий объект LognormalDistribution
вероятностного распределения. Свойства объектов
mu
и sigma
сохраните оценки параметра.
Средний m и отклонение v логарифмически нормальной случайной переменной являются функциями логарифмически нормальных параметров распределения µ и σ:
Кроме того, можно вычислить логарифмически нормальные параметры распределения µ и σ от среднего m и отклонения v:
Функция плотности вероятности (PDF) логарифмически нормального распределения
Для примера смотрите, Вычисляют Логарифмически нормальное Распределение PDF.
Кумулятивная функция распределения (cdf) логарифмически нормального распределения
Для примера смотрите, Вычисляют Логарифмически нормальное Распределение cdf.
Предположим, что доход семейства четыре в Соединенных Штатах следует за логарифмически нормальным распределением с mu = log(20,000)
и sigma = 1
. Вычислите и постройте доходную плотность.
Создайте логарифмически нормальный объект распределения путем определения значений параметров.
pd = makedist('Lognormal','mu',log(20000),'sigma',1)
pd = LognormalDistribution Lognormal distribution mu = 9.90349 sigma = 1
Вычислите значения PDF.
x = (10:1000:125010)'; y = pdf(pd,x);
Постройте PDF.
plot(x,y) h = gca; h.XTick = [0 30000 60000 90000 120000]; h.XTickLabel = {'0','$30,000','$60,000',... '$90,000','$120,000'};
Вычислите cdf значения, оцененные в значениях в x
для логарифмически нормального распределения со средним mu
и стандартное отклонение sigma
.
x = 0:0.2:10; mu = 0; sigma = 1; p = logncdf(x,mu,sigma);
Постройте cdf.
plot(x,p) grid on xlabel('x') ylabel('p')
Если X следует за логарифмически нормальным распределением параметрами µ и σ, то регистрируйте (X), следует за нормальным распределением со средним значением µ и стандартное отклонение σ. Используйте объекты распределения, чтобы смотреть отношение между нормальными и логарифмически нормальными распределениями.
Создайте логарифмически нормальный объект распределения путем определения значений параметров.
pd = makedist('Lognormal','mu',5,'sigma',2)
pd = LognormalDistribution Lognormal distribution mu = 5 sigma = 2
Вычислите среднее значение логарифмически нормального распределения.
mean(pd)
ans = 1.0966e+03
Среднее значение логарифмически нормального распределения не равно mu
параметр. Среднее значение логарифмических значений равно mu
. Подтвердите это отношение путем генерации случайных чисел.
Сгенерируйте случайные числа от логарифмически нормального распределения и вычислите их логарифмические значения.
rng('default'); % For reproducibility x = random(pd,10000,1); logx = log(x);
Вычислите среднее значение логарифмических значений.
m = mean(logx)
m = 5.0033
Среднее значение журнала x
близко к mu
параметр x
, потому что x
имеет логарифмически нормальное распределение.
Создайте гистограмму logx
с подгонкой нормального распределения.
histfit(logx)
График показывает что логарифмические значения x
нормально распределены.
histfit
использование fitdist
соответствовать распределению к данным. Используйте fitdist
получить параметры, используемые в подборе кривой.
pd_normal = fitdist(logx,'Normal')
pd_normal = NormalDistribution Normal distribution mu = 5.00332 [4.96445, 5.04219] sigma = 1.98296 [1.95585, 2.01083]
Предполагаемые параметры нормального распределения близко к логарифмически нормальным параметрам распределения 5 и 2.
Сравните логарифмически нормальную PDF с доходными данными об использовании PDF Берра, сгенерированными от логарифмически нормального распределения.
Сгенерируйте доходные данные.
rng('default') % For reproducibility y = random('Lognormal',log(25000),0.65,[500,1]);
Соответствуйте распределению Шума.
pd = fitdist(y,'burr')
pd = BurrDistribution Burr distribution alpha = 26007.2 [21165.5, 31956.4] c = 2.63743 [2.3053, 3.0174] k = 1.09658 [0.775479, 1.55064]
Постройте и Шум и логарифмически нормальный pdfs поступивших данных по той же фигуре.
p_burr = pdf(pd,sortrows(y)); p_lognormal = pdf('Lognormal',sortrows(y),log(25000),0.65); plot(sortrows(y),p_burr,'-',sortrows(y),p_lognormal,'-.') title('Burr and Lognormal pdfs Fit to Income Data') legend('Burr Distribution','Lognormal Distribution')
Нормальное распределение — логарифмически нормальное распределение тесно связано с нормальным распределением. Если X распределяется логарифмически нормально параметрами μ и σ, то регистрируйте (x), обычно распределяется со средним μ и стандартным отклонением σ. Смотрите Отношение Между Нормальными и Логарифмически нормальными Распределениями.
Подпилите Распределение Типа XII — распределение Шума является гибким семейством распределений, которое может описать широкий спектр форм распределения. Это имеет как ограничивающий случай много обычно используемых распределений, таких как гамма, логарифмически нормальная, loglogistic, колоколообразные, и J-образные бета распределения (но не U-образное). Смотрите Выдерживают сравнение Логарифмически нормальный и Распределение Шума pdfs.
[1] Abramowitz, Милтон, и Ирен А. Стегун, руководство редакторов Математических функций: С Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. 9. Дуврская печать.; [Nachdr. der Ausg. von 1972]. Дуврские Книги по Математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Дувр Publ, 2013.
[2] Эванс, M., Н. Гастингс и Б. Пикок. Статистические Распределения. 2-й редактор, Хобокен, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1993.
[3] Беззаконный, J. F. Статистические модели и методы для пожизненных данных. Хобокен, NJ: Wiley-межнаука, 1982.
[4] Marsaglia, G. и В. В. Цанг. “Быстрый, Легко Реализованный метод для Выборки от Уменьшения или Симметричных Одномодовых Функций плотности”. SIAM Journal на Научном и Статистическом Вычислении. Издание 5, Номер 2, 1984, стр 349–359.
[5] Более кроткий, W. Q. и Л. А. Эскобар. Статистические методы для данных о надежности. Хобокен, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1998.
[6] Настроение, утра, Ф. А. Грейбилл и Д. К. Боес. Введение в Теорию Статистики. 3-й редактор, Нью-Йорк: McGraw-Hill, 1974. стр 540–541.
logncdf
| lognfit
| logninv
| lognlike
| LognormalDistribution
| lognpdf
| lognrnd
| lognstat