Устойчивое распределение

Обзор

Устойчивые распределения являются классом вероятностных распределений, подходящих для моделирования тяжелых хвостов и скошенности. Линейная комбинация двух независимых, тождественно распределенных устойчиво распределенных случайных переменных имеет то же распределение как отдельные переменные. Другими словами, если X ₁, X ₂..., X _n независим и тождественно распределил устойчивые случайные переменные, то для каждого n

$X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} \overset{d}{=} c_{n} X + d_{n}$

где постоянный c _n> 0 и $d_{n} \in ℝ$ .

Устойчивое распределение является приложением Обобщенной Центральной предельной теоремы, которая утверждает, что предел нормированных сумм независимых тождественно распределенных переменных устойчив.

Несколько различной параметризации существуют для устойчивого распределения. Реализация в Statistics and Machine Learning Toolbox™ использует параметризацию, описанную в [2]. В этом случае случайная переменная X имеет устойчивое распределение $S (α, β, γ, δ_{0}; 0)$ если его характеристической функцией дают:

$E (e^{i t X}) = {\begin{matrix} \exp (- γ^{α} {| t |}^{α} [1 + i β знак (t) \tan \frac{π α}{2} ({(γ | t |)}^{1 - α} - 1)] + i δ_{0} t) f o r α \neq 1, \\ \exp (- γ | t | [1 + i β sign (t) \frac{2}{π} \ln (γ | t |)] + i δ_{0} t) f o r α = 1 \end{matrix}$

Параметры

Устойчивое распределение использует следующие параметры.

Параметр	Описание	Поддержка
`alpha`	Сначала сформируйте параметр	0 < α ≤ 2
`beta`	Второй параметр формы	-1 ≤ β ≤ 1
`gam`	Масштабный коэффициент	0 < γ < ∞
`delta`	Параметр положения	-∞ < δ < ∞

Первый параметр формы, α, описывает хвосты распределения. Программное обеспечение вычисляет плотность устойчивого распределения с помощью метода прямой интеграции. Как объяснено в [1], числовые трудности существуют с точным вычислением PDF и cdf, когда α параметр близко к 1 или 0. Если α близко к 1 (а именно, $0 < | α - 1 | < 0.02$ ), затем программное обеспечение округляет α до 1. Если α близко к 0, то плотность не может быть точной.

Второй параметр формы, β, описывает скошенность распределения. Если β = 0, то распределение симметрично. Если β> 0, то распределение скашивается правом. Если β <0, то распределение лево-скашивается. Когда α мал, скошенность β является значительной. Как α увеличения, эффект уменьшений β.

Функция плотности вероятности

Определение

У большинства членов устойчивого семейства распределений нет явной функции плотности вероятности (PDF). Вместо этого PDF описана в терминах характеристической функции [2].

Некоторые особые случаи устойчивого распределения, такой как нормальное, Коши, и распределения Леви, имеют функции плотности закрытой формы. Смотрите Отношение к Другим Распределениям для получения дополнительной информации.

Использование pdf вычислить функцию плотности вероятности для устойчивого распределения. Программное обеспечение вычисляет PDF с помощью метода прямой интеграции. Как объяснено в [1], числовые трудности существуют с точным вычислением PDF, когда α параметр близко к 1 или 0. Если α близко к 1 (а именно, $0 < | α - 1 | < 0.02$ ), затем программное обеспечение округляет α до 1. Если α близко к 0, то плотность не может быть точной.

Сравните PDFs устойчивых распределений

Скрипт Open Live Script

Следующий график сравнивает функции плотности вероятности для устойчивых распределений с различным alpha значения. В каждом случае, beta = 0, gam = 1, и delta = 0.

pd1 = makedist('Stable','alpha',2,'beta',0,'gam',1,'delta',0);
pd2 = makedist('Stable','alpha',1,'beta',0,'gam',1,'delta',0);
pd3 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0,'gam',1,'delta',0);

Вычислите PDF для каждого распределения.

x = -5:.1:5;
pdf1 = pdf(pd1,x);
pdf2 = pdf(pd2,x);
pdf3 = pdf(pd3,x);

Постройте все три функции PDF на той же фигуре для визуального сравнения.

figure
plot(x,pdf1,'b-');
hold on
plot(x,pdf2,'r-.');
plot(x,pdf3,'k--');
title('Compare Alpha Parameters in Stable Distribution PDF Plots')
legend('\alpha = 2','\alpha = 1','\alpha = 0.5','Location','northwest')
hold off

График иллюстрирует эффект alpha параметр на хвостах распределения.

Следующий график сравнивает функции плотности вероятности для устойчивых распределений с различным beta значения. В каждом случае, alpha = 0.5, gam = 1, и delta = 0.

pd1 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0,'gam',1,'delta',0);
pd2 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0.5,'gam',1,'delta',0);
pd3 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',1,'gam',1,'delta',0);

Вычислите PDF для каждого распределения.

x = -5:.1:5;
pdf1 = pdf(pd1,x);
pdf2 = pdf(pd2,x);
pdf3 = pdf(pd3,x);

Постройте все три функции PDF на той же фигуре для визуального сравнения.

figure
plot(x,pdf1,'b-');
hold on
plot(x,pdf2,'r-.');
plot(x,pdf3,'k--');
title('Compare Beta Parameters in Stable Distribution PDF Plots')
legend('\beta = 0','\beta = 0.5','\beta = 1','Location','northwest')
hold off

Генерация случайных чисел

Использование random сгенерировать случайные числа от устойчивого распределения. Программное обеспечение генерирует случайные числа для устойчивого распределения с помощью метода, предложенного в [3]

Кумулятивная функция распределения

Определение

У большинства членов устойчивого семейства распределений нет явной кумулятивной функции распределения (cdf). Вместо этого cdf описан в терминах характеристической функции [2].

Использование cdf вычислить кумулятивную функцию распределения для устойчивого распределения. Программное обеспечение вычисляет cdf использование метода прямой интеграции. Как объяснено в [1], числовые трудности существуют с точным вычислением cdf, когда α параметр близко к 1 или 0. Если α близко к 1 (а именно, $0 < | α - 1 | < 0.02$ ), затем программное обеспечение округляет α до 1. Если α близко к 0, то плотность не может быть точной.

Сравните CDFS устойчивых распределений

Скрипт Open Live Script

Следующий график сравнивает кумулятивные функции распределения для устойчивых распределений с различным alpha значения. В каждом случае, beta = 0, gam = 1, и delta = 0.

pd1 = makedist('Stable','alpha',2,'beta',0,'gam',1,'delta',0);
pd2 = makedist('Stable','alpha',1,'beta',0,'gam',1,'delta',0);
pd3 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0,'gam',1,'delta',0);

Вычислите cdf для каждого распределения.

x = -5:.1:5;
cdf1 = cdf(pd1,x);
cdf2 = cdf(pd2,x);
cdf3 = cdf(pd3,x);

Постройте все три функции cdf на той же фигуре для визуального сравнения.

figure
plot(x,cdf1,'b-');
hold on
plot(x,cdf2,'r-.');
plot(x,cdf3,'k--');
title('Compare Alpha Parameters in Stable Distribution CDF Plots')
legend('\alpha = 2','\alpha = 1','\alpha = 0.5','Location','northwest')
hold off

График иллюстрирует эффект alpha параметр на форме cdf.

Следующий график сравнивает кумулятивные функции распределения для устойчивых распределений с различным beta значения. Во всех случаях, alpha = 0.5, gam = 1, и delta = 0.

pd1 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0,'gam',1,'delta',0);
pd2 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0.5,'gam',1,'delta',0);
pd3 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',1,'gam',1,'delta',0);

Вычислите cdf для каждого распределения.

x = -5:.1:5;
cdf1 = cdf(pd1,x);
cdf2 = cdf(pd2,x);
cdf3 = cdf(pd3,x);

Постройте все три функции PDF на той же фигуре для визуального сравнения.

figure
plot(x,cdf1,'b-');
hold on
plot(x,cdf2,'r-.');
plot(x,cdf3,'k--');
title('Compare Beta Parameters in Stable Distribution CDF Plots')
legend('\beta = 0','\beta = 0.5','\beta = 1','Location','northwest')
hold off

Описательная статистика

Среднее значение устойчивого распределения не определено для значений α ≤ 1. Для α> 1, среднее значение устойчивого распределения

$mean = δ - β γ \tan (\frac{π α}{2}) .$

Использование mean вычислить среднее значение устойчивого распределения.

Дисперсия устойчивого распределения не определена для значений α <2. Для α = 2, дисперсия устойчивого распределения

$var = 2 γ^{2} .$

Использование var вычислить дисперсию устойчивого распределения.

Связь с другими распределениями

Устойчивое распределение имеет три особых случая: нормальное распределение, распределение Коши и распределение Lévy. Эти распределения известны, потому что у них есть функции плотности вероятности закрытой формы.

Нормальное распределение

Нормальное, или Гауссово, распределение является особым случаем устойчивого распределения. Устойчивое распределение с α = 2 соответствует нормальному распределению. Другими словами,

$N (μ, σ^{2}) = S (2, 0, \frac{σ}{\sqrt{2}}, μ) .$

μ является средним значением, и σ является стандартным отклонением нормального распределения.

Несмотря на то, что значение β не оказывает влияния, когда α = 2, нормальное распределение обычно сопоставляется с β = 0.

Функция плотности вероятности для нормального распределения

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \exp (- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}), - \infty < x < \infty .$

График плотности для нормального распределения симметричен и имеет колоколообразную кривую.

Распределение Коши

Распределение Коши является особым случаем устойчивого распределения с α = 1 и β = 0. Другими словами,

$C a u c h y (δ, γ) = S (1, 0, γ, δ),$

где γ является масштабным коэффициентом, и δ является параметром положения распределения Коши.

Функция плотности вероятности для распределения Коши

$f (x) = \frac{1}{π} \frac{γ}{γ^{2} + {(x - δ)}^{2}}, - \infty < x < \infty .$

График плотности для распределения Коши симметричен и имеет колоколообразную кривую, но имеет более тяжелые хвосты, чем плотность нормального распределения.

Распределение Lévy

Распределение Lévy является особым случаем устойчивого распределения где α = 0.5 и β = 1. Другими словами,

$L é v y (δ, γ) = S (0.5, 1, γ, γ + δ) .$

где γ является масштабным коэффициентом, и δ является параметром положения распределения Lévy.

Функция плотности вероятности для распределения Lévy

$f (x) = \sqrt{\frac{γ}{2 π}} \frac{1}{{(x - δ)}^{3 / 2}} \exp (- \frac{γ}{2 (x - δ)}), δ < x < \infty .$

График плотности для распределения Lévy высоко скашивается и имеет тяжелые хвосты.

График сравнения для устойчивых распределений

Скрипт Open Live Script

Следующий график сравнивает функции плотности вероятности для нормального стандарта, Коши и распределения Леви.

Создайте объект вероятностного распределения для нормального стандарта, Коши и распределения Леви.

pd_norm = makedist('Stable','alpha',2,'beta',0,'gam',1/sqrt(2),'delta',0);
pd_cauchy = makedist('Stable','alpha',1,'beta',0,'gam',1,'delta',0);
pd_levy = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',1,'gam',1,'delta',0);

Вычислите PDF для каждого распределения.

x = -5:.1:5;
pdf_norm = pdf(pd_norm,x);
pdf_cauchy = pdf(pd_cauchy,x);
pdf_levy = pdf(pd_levy,x);

Постройте все три функции PDF на той же фигуре для визуального сравнения.

figure
plot(x,pdf_norm,'b-');
hold on
plot(x,pdf_cauchy,'r.');
plot(x,pdf_levy,'k--');
title('Compare Stable Distributions pdf Plots')
legend('Normal','Cauchy','Levy','Location','northwest')
hold off

Ссылки

[1] Нолан, Джон П. “Числовое вычисление устойчивой плотности и функций распределения”. Коммуникации в Статистике: Стохастические Модели. Издание 13, № 4, 1997, стр 759–774.

[2] Нолан, Джон П. Унивэриэт Стэйбл Дистрибушнс: Модели для Тяжелых Хвостатых Данных. Springer International Publishing, 2020. https://doi.org/10.1007/978-3-030-52915-4.

[3] Верон, А. и Р. Верон. “Компьютерное моделирование переменных Lévy α-stable и процессы”. Читайте лекции Примечаниям в Физике. Издание 457, 1995, стр 379–392.

Смотрите также

StableDistribution

Документация