Решите дифференциальное уравнение первого порядка $\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}=\mathit{ay}.$

Задайте производную первого порядка при помощи diff и уравнение при помощи ==. Затем решите уравнение при помощи dsolve.

syms y(t) a
eqn = diff(y,t) == a*y;
S = dsolve(eqn)

S = $$C_1\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}t}$$

Решение включает константу. Чтобы устранить константы, смотрите, Решают Дифференциальные уравнения с Условиями. Для полного рабочего процесса смотрите Дифференциальные уравнения с частными производными Решения.

Решите дифференциальное уравнение второго порядка $\frac{{\mathit{d}}^2\mathit{y}}{{\mathit{dt}}^2}=\mathit{ay}.$

Задайте производную второго порядка y при помощи diff(y,t,2) и уравнение при помощи ==. Затем решите уравнение при помощи dsolve.

syms y(t) a
eqn = diff(y,t,2) == a*y;
ySol(t) = dsolve(eqn)

ySol(t) = $$C_1\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{-\sqrt{a}\hspace{0.17em}t}+C_2\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{\sqrt{a}\hspace{0.17em}t}$$

Решите дифференциальное уравнение первого порядка $\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}=\mathit{ay}$ с начальным условием $$y(0)=5$$.

Задайте начальное условие как второй вход к dsolve при помощи == оператор. Определение условия устраняет произвольные постоянные, такие как C1C2 , ..., из решения.

syms y(t) a
eqn = diff(y,t) == a*y;
cond = y(0) == 5;
ySol(t) = dsolve(eqn,cond)

ySol(t) = $$5\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}t}$$

Затем решите дифференциальное уравнение второго порядка $\frac{{\mathit{d}}^2\mathit{y}}{{\mathit{dt}}^2}={\mathit{a}}^2\mathit{y}$ с начальными условиями $$y(0)=b$$ и $$y^{\prime }(0)=1$$.

Задайте второе начальное условие путем присвоения diff(y,t) к Dy и затем использование Dy(0) == 1.

syms y(t) a b
eqn = diff(y,t,2) == a^2*y;
Dy = diff(y,t);
cond = [y(0)==b, Dy(0)==1];
ySol(t) = dsolve(eqn,cond)

ySol(t) = 
$$\frac{{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}t}\hspace{0.17em}\left(a\hspace{0.17em}b+1\right)}{2\hspace{0.17em}a}+\frac{{\mathrm{e}}^{-a\hspace{0.17em}t}\hspace{0.17em}\left(a\hspace{0.17em}b-1\right)}{2\hspace{0.17em}a}$$

Это дифференциальное уравнение второго порядка имеет два заданных условия, таким образом, константы устраняются из решения. В общем случае, чтобы устранить константы из решения, количество условий должно равняться порядку уравнения.

Решите систему дифференциальных уравнений

Задайте систему уравнений как вектор. dsolve возвращает структуру, содержащую решения.

syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t) == z, diff(z,t) == -y];
S = dsolve(eqns)

S = struct with fields:
    z: [1x1 sym]
    y: [1x1 sym]

Доступ к решениям путем обращения к элементам структуры.

ySol(t) = S.y

ySol(t) = $$C_1\hspace{0.17em}\cos \left(t\right)+C_2\hspace{0.17em}\sin \left(t\right)$$

zSol(t) = S.z

zSol(t) = $$C_2\hspace{0.17em}\cos \left(t\right)-C_1\hspace{0.17em}\sin \left(t\right)$$

При решении для нескольких функций, dsolve возвращает структуру по умолчанию. В качестве альтернативы можно присвоить решения функций или переменных непосредственно путем явного определения выходных параметров как вектора. dsolve сортирует выходные параметры в алфавитном порядке с помощью symvar.

Решите систему дифференциальных уравнений и присвойте выходные параметры функциям.

syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t)==z, diff(z,t)==-y];
[ySol(t),zSol(t)] = dsolve(eqns)

ySol(t) = $$C_1\hspace{0.17em}\cos \left(t\right)+C_2\hspace{0.17em}\sin \left(t\right)$$

zSol(t) = $$C_2\hspace{0.17em}\cos \left(t\right)-C_1\hspace{0.17em}\sin \left(t\right)$$

Решите дифференциальное уравнение $$\frac{\partial }{\partial t}y(t)=e^{-y(t)}+y(t)$$. dsolve возвращает явное решение в терминах функции Ламберта В, которая имеет постоянное значение.

syms y(t)
eqn = diff(y) == y+exp(-y)

eqn(t) = 
$$\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }y\left(t\right)={\mathrm{e}}^{-y\left(t\right)}+y\left(t\right)$$

sol = dsolve(eqn)

sol = $${\mathrm{W}\text{<a href="matlab:doc symbolic/lambertw">lambertw</a>}}_0\left(-1\right)$$

Чтобы возвратить неявные решения дифференциального уравнения, установите 'Implicit' опция к true. Неявное решение имеет форму $$F(y(t))=g(t)$$.

sol = dsolve(eqn,'Implicit',true)

sol = 
$$\left(\begin{array}{c}\left({\int \frac{{\mathrm{e}}^y}{y\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^y+1}\mathrm{d}y|}_{y=y\left(t\right)}\right)=C_1+t\\ {\mathrm{e}}^{-y\left(t\right)}\hspace{0.17em}\left({\mathrm{e}}^{y\left(t\right)}\hspace{0.17em}y\left(t\right)+1\right)=0\end{array}\right)$$

Если dsolve не может найти явное решение дифференциального уравнения аналитически, затем это возвращает пустой символьный массив. Можно решить дифференциальное уравнение при помощи MATLAB® числовой решатель, такой как ode45. Для получения дополнительной информации смотрите, Решают Дифференциальное уравнение Второго порядка Численно.

syms y(x)
eqn = diff(y) == (x-exp(-x))/(y(x)+exp(y(x)));
S = dsolve(eqn)

Warning: Unable to find symbolic solution.

 
S =
 
[ empty sym ]
 

В качестве альтернативы можно попытаться найти неявное решение дифференциального уравнения путем определения 'Implicit' опция к true. Неявное решение имеет форму $$F(y(x))=g(x)$$.

S = dsolve(eqn,'Implicit',true)

S = 
$${\mathrm{e}}^{y\left(x\right)}+\frac{{y\left(x\right)}^2}{2}=C_1+{\mathrm{e}}^{-x}+\frac{x^2}{2}$$

Решите дифференциальное уравнение $\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}=\frac{\mathit{a}}{\sqrt{\mathit{y}}}+\mathit{y}$ с условием $$y(a)=1$$. По умолчанию, dsolve применяет упрощения, которые не обычно правильны, но производят простые решения. Для получения дополнительной информации см. Алгоритмы.

syms a y(t)
eqn = diff(y) == a/sqrt(y) + y;
cond = y(a) == 1;
ySimplified = dsolve(eqn, cond)

ySimplified = 
$${\left({\mathrm{e}}^{\frac{3\hspace{0.17em}t}{2}-\frac{3\hspace{0.17em}a}{2}+\log \left(a+1\right)}-a\right)}^{2/3}$$

Возвратить решения, которые включают все возможные значения параметра $$a$$, выключите упрощения установкой 'IgnoreAnalyticConstraints' к false.

yNotSimplified = dsolve(eqn,cond,'IgnoreAnalyticConstraints',false)

yNotSimplified = 
$$\begin{array}{l}\{\begin{array}{cl}\{\begin{array}{cl}\left\{{\sigma }_1\right\}& \text{ если }-\frac{\pi }{2}<{\sigma }_2\\ \left\{{\sigma }_1,-{\left(-a+{\mathrm{e}}^{\frac{3\hspace{0.17em}t}{2}-\frac{3\hspace{0.17em}a}{2}+\log \left(a+{\left(-\frac{1}{2}+{\sigma }_3\right)}^{3/2}\right)+2\hspace{0.17em}\pi \hspace{0.17em}{C}_2\hspace{0.17em}\mathrm{i}}\right)}^{2/3}\hspace{0.17em}\left(\frac{1}{2}+{\sigma }_3\right)\right\}& \text{ если }{\sigma }_2\le -\frac{\pi }{2}\end{array}& \text{ если }{C}_2\in \mathbb{Z}\\ \varnothing & \text{ если }{C}_2\notin \mathbb{Z}\end{array}\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1={\left(-a+{\mathrm{e}}^{\frac{3\hspace{0.17em}t}{2}-\frac{3\hspace{0.17em}a}{2}+\log \left(a+1\right)+2\hspace{0.17em}\pi \hspace{0.17em}{C}_2\hspace{0.17em}\mathrm{i}}\right)}^{2/3}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_2=\text{angle}\left({\mathrm{e}}^{\frac{3\hspace{0.17em}{C}_1}{2}+\frac{3\hspace{0.17em}t}{2}}-a\right)\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_3=\frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{2}\end{array}$$

Решите дифференциальное уравнение второго порядка $$(x^2-1{)}^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}y(x)+(x+1)\frac{\partial }{\partial x}y(x)-y(x)=0$$. dsolve возвращает решение, которое содержит термин с неоцененным интегралом.

syms y(x)
eqn = (x^2-1)^2*diff(y,2) + (x+1)*diff(y) - y == 0;
S = dsolve(eqn)

S = 
$$C_2\hspace{0.17em}\left(x+1\right)+C_1\hspace{0.17em}\left(x+1\right)\hspace{0.17em}\int \frac{{\mathrm{e}}^{\frac{1}{2\hspace{0.17em}\left(x-1\right)}}\hspace{0.17em}{\left(1-x\right)}^{1/4}}{{\left(x+1\right)}^{9/4}}\mathrm{d}x$$

Возвратить серийные решения дифференциального уравнения вокруг $$x=-1$$, установите 'ExpansionPoint' к -1. dsolve возвращает два линейно независимых решения в терминах последовательного расширения Пюизе.

S = dsolve(eqn,'ExpansionPoint',-1)

S = 
$$\left(\begin{array}{c}x+1\\ \frac{1}{{\left(x+1\right)}^{1/4}}-\frac{5\hspace{0.17em}{\left(x+1\right)}^{3/4}}{4}+\frac{5\hspace{0.17em}{\left(x+1\right)}^{7/4}}{48}+\frac{5\hspace{0.17em}{\left(x+1\right)}^{11/4}}{336}+\frac{115\hspace{0.17em}{\left(x+1\right)}^{15/4}}{33792}+\frac{169\hspace{0.17em}{\left(x+1\right)}^{19/4}}{184320}\end{array}\right)$$

Найдите другие серийные решения вокруг точки расширения $$\infty$$ установкой 'ExpansionPoint' к Inf.

S = dsolve(eqn,'ExpansionPoint',Inf)

S = 
$$\left(\begin{array}{c}x-\frac{1}{6\hspace{0.17em}{x}^2}-\frac{1}{8\hspace{0.17em}{x}^4}\\ \frac{1}{6\hspace{0.17em}{x}^2}+\frac{1}{8\hspace{0.17em}{x}^4}+\frac{1}{90\hspace{0.17em}{x}^5}+1\end{array}\right)$$

Порядок усечения по умолчанию последовательного расширения равняется 6. Чтобы получить больше условий в серийных решениях Пюизе, установите 'Order' к 8.

S = dsolve(eqn,'ExpansionPoint',Inf,'Order',8)

S = 
$$\left(\begin{array}{c}x-\frac{1}{6\hspace{0.17em}{x}^2}-\frac{1}{8\hspace{0.17em}{x}^4}-\frac{1}{90\hspace{0.17em}{x}^5}-\frac{37}{336\hspace{0.17em}{x}^6}\\ \frac{1}{6\hspace{0.17em}{x}^2}+\frac{1}{8\hspace{0.17em}{x}^4}+\frac{1}{90\hspace{0.17em}{x}^5}+\frac{37}{336\hspace{0.17em}{x}^6}+\frac{37}{1680\hspace{0.17em}{x}^7}+1\end{array}\right)$$

Решите дифференциальное уравнение $\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}=\frac{1}{{\mathit{x}}^2}{\mathit{e}}^{-\frac{1}{\mathit{x}}}$ не задавая начальное условие.

syms y(x)
eqn = diff(y) == exp(-1/x)/x^2;
ySol(x) = dsolve(eqn)

ySol(x) = 
$$C_1+{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x}}$$

Чтобы устранить константы из решения, задайте начальное условие $\mathit{y}\left(0\right)=1.$

cond = y(0) == 1;
S = dsolve(eqn,cond)

S = 
$${\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x}}+1$$

Функция ${\mathit{e}}^{-\frac{1}{\mathit{x}}}$ в решении ySol(x) имеет различные односторонние пределы в $$x=0$$. Функция имеет предел правой стороны, $\underset{\mathit{x}\to 0^{+}}{\lim }{\mathit{e}}^{-\frac{1}{\mathit{x}}}=0$, но это имеет неопределенный предел левой стороны, $\underset{\mathit{x}\to 0^{-}}{\lim }{\mathit{e}}^{-\frac{1}{\mathit{x}}}=\infty$.

Когда вы задаете условие y(x0) для функции с различными односторонними пределами в x0, dsolve обрабатывает условие как предел справа, $\lim \mathit{x}\to {\mathit{x}}_0^{+}$.