Постройте функцию импульсной характеристики условной средней модели

Эта тема представляет несколько примеров, которые показывают, как построить и возвратить функцию импульсной характеристики (IRF) одномерных авторегрессивных моделей (ARMA) скользящего среднего значения. Примеры также показывают, как взаимодействовать с графиками.

Функции Econometrics Toolbox™ impulse и armairf используйте тот же метод, чтобы вычислить IRF одномерной условной средней модели по умолчанию. Однако функции расходятся во мнениях, как описано в этой таблице.

Функция Описание Требуемый вход Примечания

Функция	Описание	Требуемый вход	Примечания
`impulse`	Графики (вычисляют) IRF модели ARIMA, заданной `arima` объект модели	Полностью заданный `arima` объект модели, такой как модель, возвращенная `estimate`	Применяет модульный шок во время 0 (ε ₀ = 1) Строит диаграмму стебель-листья Хорошо удовлетворенный для `arima` рабочие процессы объекта модели, особенно сезонные или интегрированные модели
`armairf`	Графики (вычисляют) IRF модели ARIMA, заданной полным AR и полиномами оператора задержки MA	Массивы, содержащие полный AR и MA, изолируют коэффициенты полинома оператора или `LagOp` изолируйте объекты полинома оператора, представляющие полный AR и компоненты MA	Применяет шок с одним стандартным отклонением во время 0 (ε ₀ = σ) Строит график временных рядов Хорошо удовлетворенный для манипуляции с графиками Поддерживает многомерные линейные модели временных рядов

impulse

Графики (вычисляют) IRF модели ARIMA, заданной arima объект модели

Полностью заданный arima объект модели, такой как модель, возвращенная estimate

Применяет модульный шок во время 0 (ε ₀ = 1)
Строит диаграмму стебель-листья
Хорошо удовлетворенный для arima рабочие процессы объекта модели, особенно сезонные или интегрированные модели

armairf

Графики (вычисляют) IRF модели ARIMA, заданной полным AR и полиномами оператора задержки MA

Массивы, содержащие полный AR и MA, изолируют коэффициенты полинома оператора или LagOp изолируйте объекты полинома оператора, представляющие полный AR и компоненты MA

Применяет шок с одним стандартным отклонением во время 0 (ε ₀ = σ)
Строит график временных рядов
Хорошо удовлетворенный для манипуляции с графиками
Поддерживает многомерные линейные модели временных рядов

IRF модели скользящего среднего значения

Скрипт Open Live Script

В этом примере показано, как построить и возвратить IRF чистой модели MA при помощи impulse и armairf. Пример также показывает, как изменить цвет нанесенного на график IRFs.

Уравнение для MA (q) модель

$y_{t} = μ + θ (L) ε_{t},$

где $θ (L)$ полином оператора задержки MA q-степени, $(1 + θ_{1} L + \dots + θ_{q} L^{q}) .$

IRF для модели MA является последовательностью коэффициентов MA $1, θ_{1}, \dots, θ_{q} .$

Постройте IRF Используя impulse

Создайте нулевую среднюю модель MA (3) с коэффициентами $θ_{1} = 0.8$ , $θ_{2} = 0.5$ , и $θ_{3} = - 0.1,$ и инновационное отклонение 1.

ma = [0.8 0.5 -0.1];
Mdl = arima('Constant',0,'MA',ma,'Variance',1);

Mdl полностью заданный arima объект модели, представляющий модель MA (3).

Постройте IRF модели MA (3).

impulse(Mdl)

Figure contains an axes. The axes with title Impulse Response contains an object of type stem.

impulse возвращает диаграмму стебель-листья, содержащую 1 в период 0, сопровождаемый значениями коэффициентов MA в их задержках.

Для модели MA импульсная характеристика функционирует остановки после q периоды. В этом примере последний ненулевой коэффициент в задержке q = 3.

Возвратите IRF путем вызова impulse и определение выходного аргумента.

periods = (0:3)';
dm = impulse(Mdl);
IRF = table(periods,dm)

IRF=4×2 table
    periods     dm 
    _______    ____

       0          1
       1        0.8
       2        0.5
       3       -0.1

Чтобы изменить аспекты диаграммы стебель-листья, необходимо установить значения ее свойств. Указатель диаграммы стебель-листья находится в Children свойство указателя осей графика.

Извлеките указатель диаграммы стебель-листья из указателя текущей системы координат.

h = gca;
hstem = h.Children;

Измените цвет диаграммы стебель-листья к красному при помощи значения цвета RGB.

hstem.Color = [1 0 0];

Figure contains an axes. The axes with title Impulse Response contains an object of type stem.

Постройте IRF Используя armairf

Постройте IRF модели MA (3) путем передачи ma как коэффициенты MA (второй вход). Задайте пустой массив для коэффициентов полинома AR (сначала вход). Возвратите IRF и постройте указатель.

[dm,h] = armairf([],ma);

Figure contains an axes. The axes with title Orthogonalized IRF of Variable 1 contains an object of type line.

table(periods,dm)

ans=4×2 table
    periods     dm 
    _______    ____

       0          1
       1        0.8
       2        0.5
       3       -0.1

В отличие от impulse, armairf возвращает график временных рядов.

Измените цвет сюжетной линии к красному.

h.Color = [1 0 0];

Figure contains an axes. The axes with title Orthogonalized IRF of Variable 1 contains an object of type line.

IRF авторегрессивной модели

Скрипт Open Live Script

В этом примере показано, как построить IRF модели AR при помощи impulse и armairf. Кроме того, пример показывает, как изменения в инновационном отклонении влияют на IRF.

Уравнение AR (p) модель

$y_{t} = c + ϕ (L)^{- 1} ε_{t},$

где $ϕ (L)$ $p$ - AR степени изолирует полином оператора $(1 - ϕ_{1} L - \dots - ϕ_{p} L^{p})$ .

Процесс AR является стационарным, когда полином оператора задержки AR устойчив, что означает, что все его корни лежат вне модульного круга. В этом случае, полином инверсии бесконечной степени $ψ (L) = ϕ (L)^{- 1}$ имеет абсолютно суммируемые коэффициенты и затухания IRF, чтобы обнулить.

Постройте IRF Используя impulse

Создайте модель AR (2) с коэффициентами $ϕ_{1} = 0.5$ и $ϕ_{2} = - 0.75$ , константа модели 0,5 и инновационное отклонение 1.

ar = [0.5 -0.75];
Mdl = arima('Constant',0.5,'AR',ar,'Variance',1);

Постройте IRF модели AR (2) в течение 31 периода с периодов 0 до 30.

numObs = 31;
impulse(Mdl,numObs)

Figure contains an axes. The axes with title Impulse Response contains an object of type stem.

IRF затухает в синусоидальном шаблоне.

Увеличьте константу до 100, и затем постройте IRF настроенной модели AR (2).

Mdl.Constant = 100;
impulse(Mdl,numObs)

Figure contains an axes. The axes with title Impulse Response contains an object of type stem.

Поскольку детерминированные компоненты не присутствуют в IRF, это незатронуто увеличенной константой.

Уменьшите инновационное отклонение к 1e-5, и затем постройте IRF настроенной модели AR (2).

Mdl.Variance = 1e-5;
impulse(Mdl,numObs)

Figure contains an axes. The axes with title Impulse Response contains an object of type stem.

Поскольку impulse всегда применяет модульный шок для инноваций системы, IRF незатронут уменьшенным инновационным отклонением.

Постройте IRF Используя armairf

Постройте IRF исходной модели AR (2) путем передачи ar как коэффициенты AR (сначала вход). Задайте пустой массив для коэффициентов полинома MA (второй вход). Задайте 31 период.

armairf(ar,[],'NumObs',numObs)

Figure contains an axes. The axes with title Orthogonalized IRF of Variable 1 contains an object of type line.

Постройте IRF определение инновационного отклонения 1e-5.

armairf(ar,[],'NumObs',numObs,'InnovCov',1e-5);

Figure contains an axes. The axes with title Orthogonalized IRF of Variable 1 contains an object of type line.

Поскольку armairf применяет инновационный шок с одним стандартным отклонением для системы, шкала IRF меньше в этом случае.

IRF модели ARMA

Скрипт Open Live Script

В этом примере показано, как построить IRF модели ARMA при помощи impulse и armairf.

Уравнение ARMA (p, q) модель

$y_{t} = c + ϕ (L)^{- 1} θ (L) ε_{t},$

где:

$ϕ (L)$ полином оператора задержки AR p-степени $(1 - ϕ_{1} L - \dots - ϕ_{p} L^{p})$ .
$θ (L)$ полином оператора задержки MA q-степени $(1 + θ_{1} L + \dots + θ_{q} L^{q})$ .

Процесс ARMA является стационарным, когда полином оператора задержки AR устойчив, что означает, что все его корни лежат вне модульного круга. В этом случае, полином инверсии бесконечной степени $ψ (L) = ϕ (L)^{- 1} θ (L)$ имеет абсолютно суммируемые коэффициенты и затухания IRF, чтобы обнулить.

Постройте IRF Используя impluse

Создайте модель ARMA(2,1) с коэффициентами $ϕ_{1} = 0.6$ , $ϕ_{2} = - 0.3$ , и $θ_{1} = 0.4$ , константа модели 0 и инновационное отклонение 1.

ar = [0.6 -0.3];
ma = 0.4;
Mdl = arima('AR',ar,'MA',ma,'Constant',0,'Variance',1);

Постройте IRF модели ARMA(2,1) в течение 11 периодов с периодов 0 до 10.

numObs = 11;
impulse(Mdl,numObs)

Figure contains an axes. The axes with title Impulse Response contains an object of type stem.

IRF затухает в синусоидальном шаблоне.

Постройте IRF Используя armairf

Постройте IRF модели ARMA(2,1) путем передачи ar как коэффициенты AR (сначала вход) и ma как коэффициенты MA (второй вход). Задайте 11 периодов.

armairf(ar,ma,'NumObs',numObs)

Figure contains an axes. The axes with title Orthogonalized IRF of Variable 1 contains an object of type line.

IRF сезонной модели AR

Скрипт Open Live Script

В этом примере показано, как построить и возвратить IRF сезонной модели AR при помощи impulse и armairf. Кроме того, пример показывает, как подготовить LagOp изолируйте полиномы оператора как входные параметры к armairf.

Уравнение SAR $(p, 0, 0) \times (p_{s}, 0, 0)_{s}$ модель

$y_{t} = c + Φ (L)^{- 1} ϕ (L)^{- 1} ε_{t}$ ,

где:

$ϕ (L)$ $p$ - AR степени изолирует полином оператора $1 - ϕ_{1} L - . . . - ϕ_{p} L^{p}$ .
$Φ (L)$ $p_{s}$ - степень сезонный полином оператора задержки AR $1 - Φ_{p_{1}} L^{p_{1}} - . . . - Φ_{p_{s}} L^{p_{s}}$ .

Как чистый процесс AR, процесс SAR является стационарным когда продукт $ϕ (L) Φ (L)$ устойчиво. В этом случае, полином инверсии бесконечной степени $ψ (L) = Φ (L)^{- 1} ϕ (L)^{- 1}$ имеет абсолютно суммируемые коэффициенты и затухания IRF, чтобы обнулить.

Постройте IRF Используя impulse

Создайте ежеквартальный SAR $(1, 0, 0) \times {(4, 0, 0)}_{4}$ модель с коэффициентами $ϕ_{1} = 0.5$ и $Φ_{4} = - 0.4$ , константа модели 0 и инновационное отклонение 1.

ar = 0.5;
sar = -0.4;
sarlags = 4;
Mdl = arima('AR',ar,'SAR',sar,'SARLags',sarlags,...
    'Constant',0,'Variance',1)

Mdl = 
  arima with properties:

     Description: "ARIMA(1,0,0) Model with Seasonal AR(4) (Gaussian Distribution)"
    Distribution: Name = "Gaussian"
               P: 5
               D: 0
               Q: 0
        Constant: 0
              AR: {0.5} at lag [1]
             SAR: {-0.4} at lag [4]
              MA: {}
             SMA: {}
     Seasonality: 0
            Beta: [1×0]
        Variance: 1

Постройте IRF модели SAR для 17 четвертей от четвертей 0 до 16.

numObs = 17;
impulse(Mdl,numObs)

Figure contains an axes. The axes with title Impulse Response contains an object of type stem.

IRF затухает в синусоидальном шаблоне.

Возвратите IRF.

irfIMPULSE = impulse(Mdl,numObs);

Постройте IRF Используя armirf

armairf принимает один полный полином AR. Поэтому необходимо умножить весь AR и полиномы оператора задержки дифференцирования, существующие в модели прежде, чем вызвать armairf.

Создайте полиномы оператора задержки для полиномы SAR и AR. Для каждого полинома:

Включайте задержку 0 терминов, которые имеют коэффициент 1.
Инвертируйте коэффициенты, чтобы описать полиномы в обозначении оператора задержки всеми полиномами AR на левой стороне уравнения.

ARLOP = LagOp([1 -ar],'Lags',[0 1])

ARLOP = 
    1-D Lag Operator Polynomial:
    -----------------------------
        Coefficients: [1 -0.5]
                Lags: [0 1]
              Degree: 1
           Dimension: 1

MALOP = LagOp([1 -sar],'Lags',[0 sarlags])

MALOP = 
    1-D Lag Operator Polynomial:
    -----------------------------
        Coefficients: [1 0.4]
                Lags: [0 4]
              Degree: 4
           Dimension: 1

Умножьте полиномы.

ARProdLOP = ARLOP*MALOP

ARProdLOP = 
    1-D Lag Operator Polynomial:
    -----------------------------
        Coefficients: [1 -0.5 0.4 -0.2]
                Lags: [0 1 4 5]
              Degree: 5
           Dimension: 1

ARProdLOP LagOp объект, представляющий продукт AR и полиномы SAR модели SAR.

Постройте и возвратите IRF путем передачи ARProdLOP как полином AR (сначала вход). Задайте пустой массив для полинома MA (второй вход). Чтобы построить IRF, также возвратите указатель графика.

[irfARMAIRF,h] = armairf(ARProdLOP,[],'NumObs',numObs);

Figure contains an axes. The axes with title Orthogonalized IRF of Variable 1 contains an object of type line.

Сравните IRFs.

periods = (0:(numObs - 1))';
table(periods,irfIMPULSE,irfARMAIRF)

ans=17×3 table
    periods    irfIMPULSE    irfARMAIRF
    _______    __________    __________

       0                1             1
       1              0.5           0.5
       2             0.25          0.25
       3            0.125         0.125
       4          -0.3375       -0.3375
       5         -0.16875      -0.16875
       6        -0.084375     -0.084375
       7        -0.042188     -0.042188
       8          0.13891       0.13891
       9         0.069453      0.069453
      10         0.034727      0.034727
      11         0.017363      0.017363
      12        -0.055318     -0.055318
      13        -0.027659     -0.027659
      14         -0.01383      -0.01383
      15       -0.0069148    -0.0069148
      ⋮

IRFs, возвращенные двумя функциями, кажутся эквивалентными.

Больше о функции импульсной характеристики

Считайте общую линейную модель одномерных временных рядов _yt

$a (L) y_{t} = c + x_{t} β + b (L) ε_{t},$

где:

{_εt} является последовательностью некоррелированых, тождественно распределенных случайных переменных со стандартным отклонением σ.
a (L) является полиномом оператора задержки AR.
c является константой модели.
_xt β является внешним компонентом регрессии. _xt является вектором-строкой из наблюдений за внешними переменными во время t, и β является соответствующим вектор-столбцом коэффициентов регрессии.
b (L) является полиномом оператора задержки MA.

Принятие a (L) является ненулевым, сжатое представление модели

$y_{t} = m_{t} + ψ (L) ε_{t},$

где:

$ψ (L) = a {(L)}^{- 1} b (L)$ полином оператора задержки MA бесконечной степени $ψ_{0} + ψ_{1} L + ψ_{2} L^{2} + \dots$ со скалярными коэффициентами _ψj, j = 0,1,2, … и ψ ₀ = 1.
_mt является детерминированным, условным средним значением без инноваций процесса во время t.

impulse response function (IRF) является динамическим ответом системы к одному импульсу (инновационный шок). IRF измеряет изменение в ответе периоды j в будущем из-за изменения в инновациях во время t, для j = 0,1,2, …. Символически, IRF в период j

$\frac{\partial y_{t + j}}{\partial ε_{t}} = ψ_{j} .$

Последовательность dynamic multipliers [1], ψ ₀, ψ ₁, ψ ₂..., меры чувствительность процесса к чисто переходному изменению в инновационном процессе, с прошлыми ответами и будущим инновационным набором к 0. Поскольку частная производная взята относительно инноваций, присутствие детерминированных членов в модели, таких как константа и внешний компонент регрессии, не оказывает влияния на импульсные характеристики.

Свойства IRF определяют характеристики процесса:

Если последовательность ${ψ_{j}}$ является абсолютно суммируемым, _yt является стационарным ковариацией стохастическим процессом [2]. Для стационарного стохастического процесса удар на процесс из-за изменения в _εt не является постоянным, и эффект импульсных затуханий обнулить.
В противном случае процесс_{, yt} является неустановившимся, и изменение в _εt, влияет на процесс постоянно.

Поскольку инновации могут быть интерпретированы как ошибки прогноза "один шаг вперед", импульсная характеристика также известна как forecast error impulse response.

Ссылки

[1] Гамильтон, анализ временных рядов Джеймса Д. Принстон, NJ: Издательство Принстонского университета, 1994.

[2] Пустошь, H. Исследование в анализе стационарных временных рядов. Упсала, Швеция: Almqvist & Wiksell, 1938.

Документация