В этом примере показано, как сгенерировать данные из известной модели, соответствуйте модели в пространстве состояний к данным, и затем отфильтруйте состояния.
Предположим, что скрытый процесс включает AR (2) и модель MA (1). Существует 50 периодов и MA (1), процесс выпадает из модели в течение итоговых 25 периодов. Уравнение состояния в течение первых 25 периодов
и в течение последних 25 периодов, это
где и являются Гауссовыми со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.
Предположение, что ряд запускается в 1,5 и 1, соответственно, генерирует случайную последовательность 50 наблюдений от и.
T = 50; ARMdl = arima('AR',{0.7,-0.2},'Constant',0,'Variance',1); MAMdl = arima('MA',0.6,'Constant',0,'Variance',1); x0 = [1.5 1; 1.5 1]; rng(1); x = [simulate(ARMdl,T,'Y0',x0(:,1)),... [simulate(MAMdl,T/2,'Y0',x0(:,2));nan(T/2,1)]];
Последними 25 значениями для симулированного MA (1) данные является NaN
значения.
Предположим далее, что скрытые процессы измеряются с помощью
в течение первых 25 периодов, и
в течение последних 25 периодов, где является Гауссовым со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.
Используйте случайный скрытый процесс состояния (x
) и уравнение наблюдения, чтобы сгенерировать наблюдения.
y = 2*sum(x','omitnan')'+randn(T,1);
Вместе, скрытые уравнения процесса и наблюдения составляют модель в пространстве состояний. Если коэффициенты являются неизвестными параметрами, модель в пространстве состояний
в течение первых 25 периодов,
в течение периода 26, и
в течение последних 24 периодов.
Запишите функцию, которая задает как параметры в params
сопоставьте с матрицами модели в пространстве состояний, значениями начального состояния и типом состояния.
% Copyright 2015 The MathWorks, Inc. function [A,B,C,D,Mean0,Cov0,StateType] = AR2MAParamMap(params,T) %AR2MAParamMap Time-variant state-space model parameter mapping function % % This function maps the vector params to the state-space matrices (A, B, % C, and D), the initial state value and the initial state variance (Mean0 % and Cov0), and the type of state (StateType). From periods 1 to T/2, the % state model is an AR(2) and an MA(1) model, and the observation model is % the sum of the two states. From periods T/2 + 1 to T, the state model is % just the AR(2) model. A1 = {[params(1) params(2) 0 0; 1 0 0 0; 0 0 0 params(3); 0 0 0 0]}; B1 = {[1 0; 0 0; 0 1; 0 1]}; C1 = {params(4)*[1 0 1 0]}; Mean0 = ones(4,1); Cov0 = 10*eye(4); StateType = [0 0 0 0]; A2 = {[params(1) params(2) 0 0; 1 0 0 0]}; B2 = {[1; 0]}; A3 = {[params(1) params(2); 1 0]}; B3 = {[1; 0]}; C3 = {params(5)*[1 0]}; A = [repmat(A1,T/2,1);A2;repmat(A3,(T-2)/2,1)]; B = [repmat(B1,T/2,1);B2;repmat(B3,(T-2)/2,1)]; C = [repmat(C1,T/2,1);repmat(C3,T/2,1)]; D = 1; end
Сохраните этот код как файл с именем AR2MAParamMap
на вашем пути MATLAB®.
Создайте модель в пространстве состояний путем передачи функционального AR2MAParamMap
как указатель на функцию к ssm
.
Mdl = ssm(@(params)AR2MAParamMap(params,T));
ssm
неявно создает модель в пространстве состояний. Обычно, вы не можете проверить неявно заданную модель в пространстве состояний.
Передайте наблюдаемые ответы (y
) к estimate
оценить параметры. Задайте произвольный набор положительных начальных значений для неизвестных параметров.
params0 = 0.1*ones(5,1); EstMdl = estimate(Mdl,y,params0);
Method: Maximum likelihood (fminunc) Sample size: 50 Logarithmic likelihood: -114.957 Akaike info criterion: 239.913 Bayesian info criterion: 249.473 | Coeff Std Err t Stat Prob --------------------------------------------------- c(1) | 0.47870 0.26634 1.79733 0.07229 c(2) | 0.00809 0.27179 0.02975 0.97626 c(3) | 0.55735 0.80958 0.68844 0.49118 c(4) | 1.62679 0.41622 3.90848 0.00009 c(5) | 1.90021 0.49563 3.83391 0.00013 | | Final State Std Dev t Stat Prob x(1) | -0.81229 0.46815 -1.73511 0.08272 x(2) | -0.31449 0.45918 -0.68490 0.49341
EstMdl
ssm
модель, содержащая предполагаемые коэффициенты. Поверхности вероятности моделей в пространстве состояний могут содержать локальные максимумы. Поэтому это - хорошая практика, чтобы попробовать несколько начальных значений параметров или рассмотреть использование refine
.
Отфильтруйте состояния и получите прогнозы состояния путем передачи EstMdl
и наблюдаемые ответы на filter
.
[~,~,Output]= filter(EstMdl,y);
Output
T
- 1 массив структур, содержащий отфильтрованные состояния и прогнозы состояния, среди прочего.
Извлеките отфильтрованные и предсказанные состояния из массивов ячеек. Вспомните, что эти два, различные состояния находятся в положениях 1 и 3. Состояния в положениях 2 и 4 помогают задать процессы интереса.
stateIndx = [1 3]; % State indices of interest FilteredStates = NaN(T,numel(stateIndx)); ForecastedStates = NaN(T,numel(stateIndx)); for t = 1:T maxInd = size(Output(t).FilteredStates,1); mask = stateIndx <= maxInd; FilteredStates(t,mask) = Output(t).FilteredStates(stateIndx(mask),1); ForecastedStates(t,mask) = Output(t).ForecastedStates(stateIndx(mask),1); end
Постройте истинные значения состояния, отфильтрованные состояния и прогнозы состояния вместе для каждой модели.
figure plot(1:T,x(:,1),'-k',1:T,FilteredStates(:,1),':r',... 1:T,ForecastedStates(:,1),'--g','LineWidth',2); title('AR(2) State Values') xlabel('Period') ylabel('State Value') legend({'True state values','Filtered state values','State forecasts'}); figure plot(1:T,x(:,2),'-k',1:T,FilteredStates(:,2),':r',... 1:T,ForecastedStates(:,2),'--g','LineWidth',2); title('MA(1) State Values') xlabel('Period') ylabel('State Value') legend({'True state values','Filtered state values','State forecasts'});
estimate
| filter
| forecast
| refine
| smooth
| ssm