Загрузка данных

Загрузите симулированный набор данных, который включает актив, возвращает общее количество p = 100 активов и 2 000 ежедневных наблюдений.

clear;
load('asset_return_100_simulated.mat');
[nObservation, p] = size(stockReturns)

nObservation = 2000

p = 100

splitPoint = ceil(nObservation*0.6);
training = 1:splitPoint;
test = splitPoint+1:nObservation;
trainingNum = numel(training);

Визуализируйте кривую акции для каждого запаса. В данном примере постройте первые пять запасов.

plot(ret2tick(stockReturns{training,1:5}, 'method', 'simple')*100); hold off;
xlabel('Timestep');
ylabel('Value');
title('Equity Curve');
legend(stockReturns.Properties.VariableNames(1:5), 'Location',"bestoutside",'Interpreter', 'none');

Оптимизируйте распределение активов непосредственно против факторов с основанной на проблеме средой определения

Для факторов можно использовать статистические факторы, извлеченные из актива, возвращают ряд. В этом примере вы используете анализ главных компонентов (PCA), чтобы извлечь статистические факторы [1]. Можно затем использовать эту факторную модель, чтобы решить задачу оптимизации портфеля.

С факторной моделью, p возвраты актива может быть описан, когда линейная комбинация k-фактора возвращается, ${\mathit{r}}_{\mathit{a}}={\mu }_{\mathit{a}}+\mathit{F}{\mathit{r}}_{\mathit{f}}+{\epsilon }_{\mathit{a}}$, где k <<p. В среде среднего отклонения портфельный риск

$\mathrm{Var}\left({\mathit{R}}_{\mathit{p}}\right)=\mathrm{Var}\left({{\mathit{r}}_{\mathit{a}}}^{\mathit{T}}{\mathit{w}}_{\mathit{a}}\right)=\mathrm{Var}\left({\left({\mu }_{\mathit{a}}+\mathit{F}{\mathit{r}}_{\mathit{f}}+{\epsilon }_{\mathit{a}}\right)}^{\mathit{T}}{\mathit{w}}_{\mathit{a}}\right)={\mathit{w}}_{\mathit{a}}^{\mathit{T}}\left(\mathit{F}{\Sigma }_{\mathit{f}}{\mathit{F}}^{\mathit{T}}+\mathit{D}\right){\mathit{w}}_{\mathit{a}}={\mathit{w}}_{\mathit{f}}^{\mathit{T}}{\Sigma }_{\mathit{f}}{\mathit{w}}_{\mathit{f}}+{\mathit{w}}_{\mathit{a}}^{\mathit{T}}\mathit{D}{\mathit{w}}_{\mathit{a}}$, с ${\mathit{w}}_{\mathit{f}}={\mathit{F}}^{\mathit{T}}{\mathit{w}}_{\mathit{a}}$,

где:

${\mathit{R}}_{\mathit{p}}$ портфель, возвращаются (скаляр).

${\mathit{r}}_{\mathit{a}}$ актив, возвращаются.

${\mu }_{\mathit{a}}$ среднее значение актива, возвращаются.

$\mathit{F}$ факторная нагрузка, с размерностями p-by-k.

${\mathit{r}}_{\mathit{f}}$ факторный возврат.

${\epsilon }_{\mathit{a}}$ особенный возврат, связанный с каждым активом.

${\mathit{w}}_{\mathit{a}}$ вес актива.

${\mathit{w}}_{\mathit{f}}$ факторный вес.

${\Sigma }_{\mathit{f}}$ ковариация фактора, возвращается.

$\mathit{D}$ отклонение особенных возвратов.

Параметры ${\mathit{r}}_{\mathit{a}}$, ${\mathit{w}}_{\mathit{a}}$, ${\mu }_{\mathit{a}}$, ${\epsilon }_{\mathit{a}}$p-by-1 вектор-столбцы, ${\mathit{r}}_{\mathit{f}}$и ${\mathit{w}}_{\mathit{f}}$ k-by-1 вектор-столбцы, ${\Sigma }_{\mathit{a}}$ p-by-p матрица, ${\Sigma }_{\mathit{k}}$ k-by-k матрица, и $\mathit{D}$ p-by-p диагональная матрица.

Поэтому задача оптимизации среднего отклонения формулируется как

$\max {\mu }_{\mathit{a}}^{\mathit{T}}{\mathit{w}}_{\mathit{a}},\mathit{s}.\mathit{t}.$ ${\mathit{F}}^{\mathit{T}}{\mathit{w}}_{\mathit{a}}={\mathit{w}}_{\mathit{f}}$, ${\mathit{w}}_{\mathit{f}}^{\mathit{T}}{\Sigma }_{\mathit{f}}{\mathit{w}}_{\mathit{f}}+{\mathit{w}}_{\mathit{a}}^{\mathit{T}}\mathit{D}{\mathit{w}}_{\mathit{a}}\le {\mathit{t}}_{\mathrm{risk}}$,$0\le \mathit{w}\le 1,{\mathit{e}}^{\mathit{T}}{\mathit{w}}_{\mathit{a}}=1$.

В p мерном пространстве, сформированном p активом, возвращается, PCA находит самые важные k направления, которые получают самые важные изменения данных возвратов p активов. Обычно, k меньше p. Поэтому при помощи PCA можно разложиться, p актив возвращается в k-факторы, который значительно уменьшает размерность проблемы. K принципиальные направления интерпретированы как факторные нагрузки, и баллы от разложения интерпретированы, когда фактор возвращается. Для получения дополнительной информации смотрите pca (Statistics and Machine Learning Toolbox™). В этом примере используйте k = 10 как количество основных компонентов. В качестве альтернативы можно также найти k значение путем определения порога для общего отклонения, представленного как верхняя часть k основные компоненты. Обычно 95% являются приемлемым порогом.

k = 10;
[factorLoading,factorRetn,latent,tsq,explained,mu] = pca(stockReturns{training,:}, 'NumComponents', k);
disp(size(factorLoading))

   100    10

disp(size(factorRetn))

        1200          10

В выходе p-by-k factorLoading, каждый столбец является основным компонентом. Актив возвращается, вектор в каждый такт анализируется к этим k мерным пространствам, где k <<p. Выход factorRetn trainingNum-by-k размерность.

Оцените, что факторная ковариационная матрица с фактором возвращается.

covarFactor = cov(factorRetn);

Можно восстановить p актив, возвращается для каждого наблюдения с помощью каждого k-фактора, возвращается следующим ${\mathit{r}}_{\mathit{a}}={\mu }_{\mathit{a}}+\mathit{F}{\mathit{r}}_{\mathit{f}}+{\epsilon }_{\mathit{a}}$.

Восстановите общие 1 200 наблюдений для набора обучающих данных.

reconReturn = factorRetn*factorLoading' + mu;
unexplainedRetn = stockReturns{training,:} - reconReturn;

Существует необъясненный актив, возвращается ${\epsilon }_{\mathit{a}}$ потому что остающиеся (p - k) основные компоненты пропущены. Можно приписать необъясненный актив, возвращается к специфичным для актива рискам, представленным как D.

unexplainedCovar = diag(cov(unexplainedRetn));
D = diag(unexplainedCovar);

Можно использовать основанную на проблеме среду определения от Optimization Toolbox™, чтобы создать переменные, цель и ограничения для проблемы: $\max {\mu }_{\mathit{a}}^{\mathit{T}}{\mathit{w}}_{\mathit{a}},\mathit{s}.\mathit{t}.$ ${\mathit{F}}^{\mathit{T}}{\mathit{w}}_{\mathit{a}}={\mathit{w}}_{\mathit{f}}$, ${\mathit{w}}_{\mathit{f}}^{\mathit{T}}{\Sigma }_{\mathit{f}}{\mathit{w}}_{\mathit{f}}+{\mathit{w}}_{\mathit{a}}^{\mathit{T}}\mathit{D}{\mathit{w}}_{\mathit{a}}\le {\mathit{t}}_{\mathrm{risk}}$,${\mathit{e}}^{\mathit{T}}{\mathit{w}}_{\mathit{a}}=1,0\le \mathit{w}\le 1$. Основанная на проблеме среда определения позволяет вам задать переменные и описать цель и ограничения символически. Можно добавить другие ограничения или использовать различную цель на основе определенной проблемы. Для получения дополнительной информации смотрите, Сначала Выбирают Problem-Based or Solver-Based Approach.

targetRisk = 0.007;  % Standard deviation of portfolio return
tRisk = targetRisk*targetRisk;  % Variance of portfolio return
meanStockRetn = mean(stockReturns{training,:});

optimProb = optimproblem('Description','Portfolio with factor covariance matrix','ObjectiveSense','max');
wgtAsset = optimvar('asset_weight', p, 1, 'Type', 'continuous', 'LowerBound', 0, 'UpperBound', 1);
wgtFactor = optimvar('factor_weight', k, 1, 'Type', 'continuous');

optimProb.Objective = sum(meanStockRetn'.*wgtAsset);

optimProb.Constraints.asset_factor_weight = factorLoading'*wgtAsset - wgtFactor == 0;
optimProb.Constraints.risk = wgtFactor'*covarFactor*wgtFactor + wgtAsset'*D*wgtAsset <= tRisk;
optimProb.Constraints.budget = sum(wgtAsset) == 1;

x0.asset_weight = ones(p, 1)/p;
x0.factor_weight = zeros(k, 1);
opt = optimoptions("fmincon", "Algorithm","sqp", "Display", "off", ...
    'ConstraintTolerance', 1.0e-8, 'OptimalityTolerance', 1.0e-8, 'StepTolerance', 1.0e-8);
x = solve(optimProb,x0, "Options",opt);
assetWgt1 = x.asset_weight;

В этом примере вы максимизируете портфель, возвращаются для целевого риска. Это - проблема нелинейного программирования с квадратичным ограничением, и вы используете fmincon решать эту задачу.

Проверяйте на распределение активов, которое составляет более чем 5%, чтобы определить, какие активы имеют большие инвестиционные веса.

percentage = 0.05;
AssetName = stockReturns.Properties.VariableNames(assetWgt1>=percentage)';
Weight = assetWgt1(assetWgt1>=percentage);
T1 = table(AssetName, Weight)

T1=7×2 table
     AssetName      Weight 
    ___________    ________

    {'Asset9' }    0.080054
    {'Asset32'}     0.22355
    {'Asset47'}     0.11369
    {'Asset57'}    0.088321
    {'Asset61'}    0.068845
    {'Asset75'}    0.063648
    {'Asset94'}     0.22163

Оптимизируйте распределение активов Используя Portfolio Класс с факторной информацией

Если у вас уже есть факторная нагрузка и факторная ковариационная матрица от некоторого другого анализа или стороннего провайдера, можно использовать эту информацию, чтобы вычислить ковариационную матрицу актива и затем непосредственно запустить оптимизацию среднего отклонения с помощью Portfolio класс. Вспомните, что портфельный риск $\mathrm{Var}\left({\mathit{R}}_{\mathit{p}}\right)=\mathrm{Var}\left({\left({\mu }_{\mathit{a}}+\mathit{F}{\mathit{r}}_{\mathit{f}}+{\epsilon }_{\mathit{a}}\right)}^{\mathit{T}}{\mathit{w}}_{\mathit{a}}\right)={\mathit{w}}_{\mathit{a}}^{\mathit{T}}\left(\mathit{F}{\Sigma }_{\mathit{f}}{\mathit{F}}^{\mathit{T}}+\mathit{D}\right){\mathit{w}}_{\mathit{a}}$ , таким образом, можно получить ковариацию актива, возвращается ${\Sigma }_{\mathit{a}}=\mathit{F}{\Sigma }_{\mathit{f}}{\mathit{F}}^{\mathit{T}}+\mathit{D}$.

Используйте estimateFrontierByRisk в Portfolio класс, чтобы решить задачу оптимизации: $\max {\mu }_{\mathit{a}}^{\mathit{T}}{\mathit{w}}_{\mathit{a}},\mathit{s}.\mathit{t}.$ ${{\mathit{w}}_{\mathit{a}}^{\mathit{T}}\Sigma }_{\mathit{a}}{\mathit{w}}_{\mathit{a}}\le {\mathit{t}}_{\mathrm{risk}}$,$0\le {\mathit{w}}_{\mathit{a}}\le 1,{\mathit{e}}^{\mathit{T}}{\mathit{w}}_{\mathit{a}}=1$. Portfolio поддержки класса имеют множество встроенных ограничений, которые вы можете использовать, чтобы описать вашу проблему портфеля и оценить риск и возвращаете на границе эффективности. Для получения дополнительной информации смотрите Набор Портфеля для Оптимизации Используя Объект Портфеля.

covarAsset = factorLoading*covarFactor*factorLoading'+D;
port = Portfolio("AssetMean", meanStockRetn, 'AssetCovar', covarAsset, 'LowerBound', 0, 'UpperBound', 1, ...
    'Budget', 1);
assetWgt2 = estimateFrontierByRisk(port, targetRisk);

AssetName = stockReturns.Properties.VariableNames(assetWgt2>=percentage)';
Weight = assetWgt2(assetWgt2>=percentage);
T2 = table(AssetName, Weight)

T2=7×2 table
     AssetName      Weight 
    ___________    ________

    {'Asset9' }    0.080061
    {'Asset32'}     0.22355
    {'Asset47'}     0.11369
    {'Asset57'}    0.088314
    {'Asset61'}    0.068847
    {'Asset75'}    0.063644
    {'Asset94'}     0.22163

Результаты оптимизации портфеля

Таблицы T1 и T2 покажите идентичное выделение для распределения активов, которое составляет более чем 5%. Поэтому в этом примере, оба подхода к оптимизации портфеля с факторной моделью получают веса актива, которые идентичны.

Визуализируйте эффективность оптимизированного выделения за период тестирования.

retn = stockReturns{test, :}*assetWgt1;
plot(ret2tick(retn, 'method', 'simple')*100); hold off;
xlabel('Timestep');
ylabel('Value');
title('Portfolio Equity Curve');

Этот пример демонстрирует, как вывести статистические факторы из актива, возвращает использование PCA, и затем используйте эти факторы, чтобы выполнить основанную на факторе оптимизацию портфеля. Этот пример также показывает, как использовать эти статистические факторы с Portfolio класс. На практике можно адаптировать этот пример, чтобы включить некоторые измеримые рыночные факторы, такие как промышленные факторы, или ETF возвращается из различных секторов, чтобы описать случайность на рынке [1]. Можно задать пользовательские ограничения на веса факторов или активов с высокой гибкостью с помощью основанной на проблеме среды определения от Optimization Toolbox™. В качестве альтернативы можно работать непосредственно с Portfolio класс, чтобы запустить оптимизацию портфеля с различными встроенными ограничениями.

Ссылка