Используйте legendre функция, чтобы работать с вектором и затем исследовать формат выхода.

Вычислите значения Функции Лежандра второй степени вектора.

deg = 2;
x = 0:0.1:0.2;
P = legendre(deg,x)

P = 3×3

   -0.5000   -0.4850   -0.4400
         0   -0.2985   -0.5879
    3.0000    2.9700    2.8800

Формат выхода таков что:

Уравнение для связанной Функции Лежандра второй степени ${\mathit{P}}_2^{\mathit{m}}$

Поэтому значение ${\mathit{P}}_2^0\left(0\right)$

Этот результат соглашается с P(1,1) = -0.5000.

Вычислите связанные значения Функции Лежандра с несколькими нормализацией.

Вычислите ненормированные значения Функции Лежандра первой степени ${\mathit{P}}_1^{\mathit{m}}$. Первая строка значений соответствует $\mathit{m}=0$, и вторая строка к $\mathit{m}=1$.

x = 0:0.2:1;
n = 1;
P_unnorm = legendre(n,x)

P_unnorm = 2×6

         0    0.2000    0.4000    0.6000    0.8000    1.0000
   -1.0000   -0.9798   -0.9165   -0.8000   -0.6000         0

Затем вычислите полунормированные значения функции Шмидта. По сравнению с ненормированными значениями форма Шмидта отличается когда $\mathit{m}>0$ масштабированием

Для первой строки эти две нормализации является тем же самым с тех пор $\mathit{m}=0$. Для второй строки масштабирующееся постоянное умножение каждого значения-1.

P_sch = legendre(n,x,'sch')

P_sch = 2×6

         0    0.2000    0.4000    0.6000    0.8000    1.0000
    1.0000    0.9798    0.9165    0.8000    0.6000         0

C1 = (-1) * sqrt(2*factorial(0)/factorial(2))

C1 = -1

Наконец, вычислите полностью нормированные значения функции. По сравнению с ненормированными значениями полностью нормированная форма отличается масштабным коэффициентом

Этот масштабный коэффициент запрашивает все значения $\mathit{m}$, таким образом, первые и вторые строки имеют различные масштабные коэффициенты.

P_norm = legendre(n,x,'norm')

P_norm = 2×6

         0    0.2449    0.4899    0.7348    0.9798    1.2247
    0.8660    0.8485    0.7937    0.6928    0.5196         0

Cm0 = sqrt((3/2))

Cm0 = 1.2247

Cm1 = (-1) * sqrt((3/2)/2)

Cm1 = -0.8660

Сферические гармоники возникают в решении уравнения Лапласа и используются, чтобы представлять функции, определяемые на поверхности сферы. Используйте legendre вычислить и визуализировать сферическую гармонику для ${\mathit{Y}}_3^2$.

Уравнение для сферических гармоник включает термин для Функции Лежандра, а также комплексную экпоненту:

Во-первых, создайте сетку значений, чтобы представлять все комбинации $0\le \theta \le \pi$ (угол дополнения широты) и $0\le \varphi \le 2\pi$ (азимутальный угол). Здесь, дополнение широты $$\theta$$ диапазоны от 0 в Северном полюсе, к $$\pi /2$$ на экватор, и к $$\pi$$ в Южном полюсе.

dx = pi/60;
col = 0:dx:pi;
az = 0:dx:2*pi;
[phi,theta] = meshgrid(az,col);

Вычислить ${\mathit{P}}_{\mathit{l}}^{\mathit{m}}\left(\cos \theta \right)$ на сетке для $\mathit{l}=3$.

l = 3;
Plm = legendre(l,cos(theta));

Начиная с legendre вычисляет ответ для всех значений $\mathit{m}$, Plm содержит некоторые дополнительные значения функции. Извлеките значения для $\mathit{m}=2$ и отбросьте остальных. Используйте reshape функционируйте, чтобы ориентировать результаты как матрицу с тем же размером как phi и theta.

m = 2;
if l ~= 0
    Plm = reshape(Plm(m+1,:,:),size(phi));
end

Вычислите сферические гармонические значения для ${\mathit{Y}}_3^2$.

a = (2*l+1)*factorial(l-m);
b = 4*pi*factorial(l+m);
C = sqrt(a/b);
Ylm = C .*Plm .*exp(1i*m*phi);

Преобразуйте сферические координаты в Декартовы координаты. Здесь, $$\pi /2-\theta$$ становится углом широты, который располагается от $$\pi /2$$ в Северном полюсе, к 0 на экватор, и к $$-\pi /2$$ в Южном полюсе. Постройте сферическую гармонику для ${\mathit{Y}}_3^2$ использование и положительные и отрицательные действительные значения.

[Xm,Ym,Zm] = sph2cart(phi, pi/2-theta, abs(real(Ylm)));
surf(Xm,Ym,Zm)
title('$Y_3^2$ spherical harmonic','interpreter','latex')