Типичная задача оптимизации

В этом примере показано, как решить ограниченную нелинейную задачу оптимизации с помощью подхода, основанного на проблеме. Пример демонстрирует типичный поток операций: создайте целевую функцию, создайте ограничения, решите задачу и исследуйте результаты.

Примечание:

Если ваша целевая функция или нелинейные ограничения не состоят из элементарных функций, необходимо преобразовать нелинейные функции в выражения оптимизации с помощью fcn2optimexpr. Смотрите последнюю часть этого примера, Альтернативной Формулировки Используя fcn2optimexpr, или Преобразуйте Нелинейную Функцию в Выражение Оптимизации.

Для основанного на решателе подхода к этой проблеме смотрите, Решают Ограниченную Нелинейную задачу, Основанную на решателе.

Формулировка проблемы: функция Розенброка

Рассмотрите задачу минимизации функции Розенброка

по единичному диску, означая диск радиуса 1 с центром в начале координат. Другими словами, найти $$x$$ это минимизирует функцию $$f(x)$$ на множестве $$x_1^2+x_2^2\le 1$$. Этой проблемой является минимизация нелинейного функционального предмета к нелинейному ограничению.

Функция Розенброка является стандартной тестовой функцией в оптимизации. Это имеет уникальное минимальное значение 0 достигнутых в точке [1,1]. Нахождение минимума является проблемой для некоторых алгоритмов, потому что функция имеет неглубокий минимум в очень кривом овраге. Решением для этой проблемы не является в точке [1,1] потому что та точка не удовлетворяет ограничению.

Этот рисунок показывает два представления функции Розенброка на единичном диске. Вертикальная ось имеет логарифмическое масштабирование; другими словами, график показывает $$\log (1+f(x))$$. Линии контура лежат ниже графика поверхности.

rosenbrock = @(x)100*(x(:,2) - x(:,1).^2).^2 + (1 - x(:,1)).^2; % Vectorized function

figure1 = figure('Position',[1 200 600 300]);
colormap('gray');
axis square;
R = 0:.002:1;
TH = 2*pi*(0:.002:1); 
X = R'*cos(TH);
Y = R'*sin(TH); 
Z = log(1 + rosenbrock([X(:),Y(:)]));
Z = reshape(Z,size(X));

% Create subplot
subplot1 = subplot(1,2,1,'Parent',figure1);
view([124 34]);
grid('on');
hold on;

% Create surface
surf(X,Y,Z,'Parent',subplot1,'LineStyle','none');

% Create contour
contour(X,Y,Z,'Parent',subplot1);

% Create subplot
subplot2 = subplot(1,2,2,'Parent',figure1);
view([234 34]);
grid('on');
hold on

% Create surface
surf(X,Y,Z,'Parent',subplot2,'LineStyle','none');

% Create contour
contour(X,Y,Z,'Parent',subplot2);

% Create textarrow
annotation(figure1,'textarrow',[0.4 0.31],...
    [0.055 0.16],...
    'String',{'Minimum at (0.7864,0.6177)'});

% Create arrow
annotation(figure1,'arrow',[0.59 0.62],...
    [0.065 0.34]);

title("Rosenbrock's Function: Two Views")

hold off

rosenbrock указатель на функцию вычисляет функцию Розенброка в любом количестве 2D точек целиком. Эта Векторизация ускоряет графический вывод функции и может быть полезна в других контекстах для ускорения оценки функции в нескольких точках.

Функция $$f(x)$$ называется целевой функцией. Целевая функция является функцией, которую вы хотите минимизировать. Неравенство $$x_1^2+x_2^2\le 1$$ называется ограничением. Ограничения ограничивают набор $$x$$ по которому решатель ищет минимум. У вас может быть любое количество ограничений, которые являются неравенствами или уравнениями.

Опишите задачу Используя переменные оптимизации

Подход, основанный на проблеме к оптимизации использует переменные оптимизации, чтобы задать цель и ограничения. Существует два подхода для создания выражений с помощью этих переменных:

Для этой проблемы и целевая функция и нелинейное ограничение являются полиномами, таким образом, можно записать выражения непосредственно в терминах переменных оптимизации. Создайте 2D переменную оптимизации под названием 'x'.

x = optimvar('x',1,2);

Создайте целевую функцию как полином от переменной оптимизации.

obj = 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2;

Создайте задачу оптимизации под названием prob наличие obj как целевая функция.

prob = optimproblem('Objective',obj);

Создайте нелинейное ограничение как полином в переменной оптимизации.

nlcons = x(1)^2 + x(2)^2 <= 1;

Включайте нелинейное ограничение в проблему.

prob.Constraints.circlecons = nlcons;

Рассмотрите проблему.

show(prob)

  OptimizationProblem : 

	Solve for:
       x

	minimize :
       ((100 .* (x(2) - x(1).^2).^2) + (1 - x(1)).^2)


	subject to circlecons:
       (x(1).^2 + x(2).^2) <= 1
     

Решите задачу

Чтобы решить задачу оптимизации, вызовите solve. Для проблемы нужна начальная точка, которая является структурой, дающей начальное значение переменной оптимизации. Создайте начальную структуру точки x0 наличие $$x$$- значение [0 0].

x0.x = [0 0];
[sol,fval,exitflag,output] = solve(prob,x0)

Solving problem using fmincon.

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

sol = struct with fields:
    x: [0.7864 0.6177]

fval = 0.0457

exitflag = 
    OptimalSolution

output = struct with fields:
              iterations: 24
               funcCount: 34
         constrviolation: 0
                stepsize: 6.9161e-06
               algorithm: 'interior-point'
           firstorderopt: 2.1625e-08
            cgiterations: 4
                 message: '...'
            bestfeasible: [1x1 struct]
     objectivederivative: "reverse-AD"
    constraintderivative: "closed-form"
                  solver: 'fmincon'

Исследуйте решение

Решение показывает exitflag = OptimalSolution. Этот выходной флаг указывает, что решение является локальным оптимумом. Для получения информации о попытке найти лучшее решение, смотрите, Когда Решатель Успешно выполнится.

Выходное сообщение указывает, что решение удовлетворяет ограничениям. Можно проверить, что решение действительно является допустимым, несколькими способами.

infeas = output.constrviolation

infeas = 0

Недопустимость 0 указывает, что решение допустимо.

infeas = infeasibility(nlcons,sol)

infeas = 0

Снова, недопустимость 0 указывает, что решение допустимо.

nx = norm(sol.x)

nx = 1.0000

output структура дает больше информации о процессе решения, таком как количество итераций (24), решатель (fmincon), и количество вычислений функции (84). Для получения дополнительной информации об этих статистических данных смотрите Допуски и Критерий остановки.

Альтернативная формулировка Используя fcn2optimexpr

Для более сложных выражений запишите файлы функции для цели или ограничительных функций, и преобразуйте их в выражения оптимизации с помощью fcn2optimexpr. Например, базис нелинейной ограничительной функции находится в disk.m файл:

type disk

function radsqr = disk(x) 

radsqr = x(1)^2 + x(2)^2;

Преобразуйте этот файл функции в выражение оптимизации.

radsqexpr = fcn2optimexpr(@disk,x);

Кроме того, можно также преобразовать rosenbrock указатель на функцию, который был задан в начале стандартной программы графического вывода в выражение оптимизации.

rosenexpr = fcn2optimexpr(rosenbrock,x);

Создайте задачу оптимизации с помощью этих конвертированных выражений оптимизации.

convprob = optimproblem('Objective',rosenexpr,'Constraints',radsqexpr <= 1);

Просмотрите новую проблему.

show(convprob)

  OptimizationProblem : 

	Solve for:
       x

	minimize :
       anonymousFunction2(x)

       where:

         anonymousFunction2 = @(x)100*(x(:,2)-x(:,1).^2).^2+(1-x(:,1)).^2;


	subject to :
       disk(x) <= 1
     

Решите новую задачу. Решение является по существу тем же самым как прежде.

[sol,fval,exitflag,output] = solve(convprob,x0)

Solving problem using fmincon.

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

sol = struct with fields:
    x: [0.7864 0.6177]

fval = 0.0457

exitflag = 
    OptimalSolution

output = struct with fields:
              iterations: 24
               funcCount: 84
         constrviolation: 0
                stepsize: 6.9162e-06
               algorithm: 'interior-point'
           firstorderopt: 2.4373e-08
            cgiterations: 4
                 message: '...'
            bestfeasible: [1x1 struct]
     objectivederivative: "finite-differences"
    constraintderivative: "finite-differences"
                  solver: 'fmincon'

Для списка поддерживаемых функций смотрите Поддерживаемые Операции на Переменных и выражениях Оптимизации.