Линейные Матричные Неравенства (LMIs) и методы LMI появились в качестве мощных Design Tool в областях в пределах от разработки управления к системе идентификации и проектирования конструкций. Три фактора делают обращение методов LMI:
Множество технических требований проекта и ограничений может быть описано как LMIs.
После того, как сформулированный в терминах LMIs, задача может быть решена точно эффективными выпуклыми алгоритмами оптимизации (см. Решатели LMI).
В то время как большинство проблем с несколькими ограничениями или целями испытывает недостаток в аналитических решениях в терминах матричных уравнений, они часто остаются послушными в среде LMI. Это делает основанный на LMI проект ценной альтернативой классическим “аналитическим” методам.
См. [9] для хорошего введения в концепции LMI. Программное обеспечение Robust Control Toolbox™ спроектировано как легкий и прогрессивный шлюз к новому и быстрорастущему полю LMIs:
Для пользователей, которые иногда должны решать задачи LMI, Редактор LMI и учебное введение в концепции LMI и решатели LMI предусматривают быстрое и легкое решение задач.
Для более опытных пользователей LMI, LMI Lab, предлагает богатую, гибкую, и полностью программируемую среду, чтобы разработать настроенные основанные на LMI инструменты.
Функциональность LMI Robust Control Toolbox служит двум целям:
Обеспечьте современные инструменты для основанного на LMI анализа и проектирования устойчивых систем управления
Предложите гибкую и удобную для пользователя среду, чтобы задать и решить общие задачи LMI (LMI Lab)
Примеры основанных на LMI инструментов анализа и проектирования включают
Функции, чтобы анализировать устойчивую устойчивость и эффективность неопределенных систем различными параметрами (popov, quadstab, quadperf ...)
Функции, чтобы спроектировать устойчивое управление с соединением H2, H ∞, и цели размещения полюса (h2hinfsyn)
Функции для синтезирования устойчивого запланированного на усиление H ∞ контроллеры (hinfgs)
Для пользователей, заинтересованных разработкой их собственных приложений, LMI Lab обеспечивает и полностью программируемую среду общего назначения, чтобы задать и решить фактически любую задачу LMI. Обратите внимание на то, что осциллограф этого средства ни в коем случае не ограничивается ориентированными на управление приложениями.
Примечание
Программное обеспечение Robust Control Toolbox реализует современные решатели LMI внутренней точки. В то время как эти решатели значительно быстрее, чем классические выпуклые алгоритмы оптимизации, необходимо иметь в виду, что сложность расчетов LMI может вырасти быстро с проблемным порядком (количество состояний). Например, количество операций, требуемых решить уравнение Riccati, является o (n3), где n является размерностью состояния, в то время как стоимость решения эквивалентного “LMI” неравенства Riccati является o (n6).
Линейное матричное неравенство (LMI) является любым ограничением формы
| A (x) : = A 0 + x 1A1 + ... + xNAN < 0 | (1) |
где
x = (x1..., xN), вектор из неизвестных скаляров (переменные решения или оптимизации)
A0..., AN дают симметричные матрицы
<0 обозначает “определенное отрицание”, i.e., самое большое собственное значение (x) отрицательно
Обратите внимание на то, что ограничения (x)> 0 и (x) <B (x) являются особыми случаями уравнения 1, поскольку они могут быть переписаны как –A (x) <0 и (x) – B (x) <0, соответственно.
LMI уравнения 1 является выпуклым ограничением на x, поскольку (y) <0 и (z) <0 подразумевают это . В результате
Его набор решения, названный выполнимым набором, является выпуклым подмножеством R N
Нахождение решения x уравнения 1, если таковые имеются, является выпуклой задачей оптимизации.
Выпуклость имеет важное последствие: даже при том, что уравнение 1 не имеет никакого аналитического решения в целом, оно может быть решено численно с гарантиями нахождения решения, когда каждый существует. Обратите внимание на то, что система ограничений LMI может рассматриваться как один LMI с тех пор
эквивалентно
где diag (A1(x)..., AK (x)), обозначает блочно диагональную матрицу с
A1(x)..., AK (x) на его диагонали. Следовательно несколько ограничений LMI могут быть наложены на вектор из переменных решения x, не уничтожая выпуклость.
В большинстве приложений управления LMIs естественно не возникают в канонической форме уравнения 1, а скорее в форме
L (X1..., Xn) <R (X1..., Xn)
где L(.) и R(.) являются аффинными функциями некоторых структурированных матричных переменных X1..., Xn. Простым примером является неравенство Ляпунова
| ATX + XA < 0 | (2) |
где неизвестной X является симметрическая матрица. Определение x1..., xN как независимые скалярные записи X, эта LMI могла быть переписана в форме уравнения 1. Все же это более удобно и эффективно описать его в своем естественном уравнении 2 формы, которое является подходом, проявленным в LMI Lab.