T Распределение студента

Обзор

Распределение t Студента является семейством кривых с одним параметром. Это распределение обычно используется, чтобы протестировать гипотезу относительно среднего значения населения, когда стандартное отклонение населения неизвестно.

Statistics and Machine Learning Toolbox™ предлагает несколько способов работать с распределением t Студента.

Используйте специфичные для распределения функции (tcdf, tinv, tpdf, trnd, tstat) с заданными параметрами распределения. Специфичные для распределения функции могут принять параметры распределений t нескольких Студента.
Используйте типовые функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с заданным именем распределения ('T') и параметры.

Параметры

Распределение t Студента использует следующий параметр.

Параметр	Описание	Поддержка
ню (ν)	Степени свободы	ν = 1, 2, 3,...

Функция плотности вероятности

PDF распределения t Студента

$y = f (x | ν) = \frac{Γ (\frac{ν + 1}{2})}{Γ (\frac{ν}{2})} \frac{1}{\sqrt{ν π}} \frac{1}{{(1 + \frac{x^{2}}{ν})}^{\frac{ν + 1}{2}}},$

где ν является степенями свободы и Γ (·) Гамма функция. Результатом y является вероятность наблюдения особого значения x от распределения t Студента со степенями свободы ν.

Для примера смотрите, Вычисляют и t Распределение Студента Графика PDF.

Кумулятивная функция распределения

cdf распределения t Студента

$p = F (x | ν) = \int_{- \infty}^{x} \frac{Γ (\frac{ν + 1}{2})}{Γ (\frac{ν}{2})} \frac{1}{\sqrt{ν π}} \frac{1}{{(1 + \frac{t^{2}}{ν})}^{\frac{ν + 1}{2}}} d t,$

где ν является степенями свободы и Γ (·) Гамма функция. p результата является вероятностью, что одно наблюдение от распределения t со степенями свободы ν падает в интервале [– ∞, x].

Для примера смотрите, Вычисляют и t Распределение Студента Графика cdf.

Обратная кумулятивная функция распределения

Обратная функция t задана в терминах t Студента cdf как

$x = F^{- 1} (p | ν) = {x : F (x | ν) = p},$

где

$p = F (x | ν) = \int_{- \infty}^{x} \frac{Γ (\frac{ν + 1}{2})}{Γ (\frac{ν}{2})} \frac{1}{\sqrt{ν π}} \frac{1}{{(1 + \frac{t^{2}}{ν})}^{\frac{ν + 1}{2}}} d t,$

ν является степенями свободы и Γ (·) Гамма функция. x результата является решением интегрального уравнения, где вы предоставляете вероятность p.

Для примера смотрите, Вычисляют t Студента icdf.

Описательная статистика

Средним значением распределения t Студента является μ = 0 для степеней свободы ν, больше, чем 1. Если ν равняется 1, то среднее значение не определено.

Отклонение распределения t Студента $\frac{ν}{ν - 2}$ для степеней свободы ν, больше, чем 2. Если ν меньше чем или равен 2, то отклонение не определено.

Примеры

Вычислите и постройте `t` Студента Распределение PDF

Скрипт Open Live Script

Вычислите PDF t распределения Студента со степенями свободы, равными 5, 10, и 50.

x = [-5:.1:5];
y1 = tpdf(x,5);
y2 = tpdf(x,10);
y3 = tpdf(x,50);

Постройте PDF для всех трех вариантов nu на той же оси.

figure;
plot(x,y1,'Color','black','LineStyle','-')
hold on
plot(x,y2,'Color','red','LineStyle','-.')
plot(x,y3,'Color','blue','LineStyle','--')
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')
legend({'nu = 5','nu = 10','nu = 50'})
hold off

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line. These objects represent nu = 5, nu = 10, nu = 50.

Вычислите и постройте `t` Студента Распределение cdf

Скрипт Open Live Script

Вычислите cdf t распределения Студента со степенями свободы, равными 5, 10, и 50.

x = [-5:.1:5];
y1 = tcdf(x,5);
y2 = tcdf(x,10);
y3 = tcdf(x,50);

Постройте cdf для всех трех вариантов nu на той же оси.

figure;
plot(x,y1,'Color','black','LineStyle','-')
hold on
plot(x,y2,'Color','red','LineStyle','-.')
plot(x,y3,'Color','blue','LineStyle','--')
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')
legend({'nu = 5','nu = 10','nu = 50'})
hold off

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line. These objects represent nu = 5, nu = 10, nu = 50.

Вычислите t Студента icdf

Скрипт Open Live Script

Найдите 95-ю процентиль t распределения Студента с 50 степени свободы.

p = .95;   
nu = 50;   
x = tinv(p,nu)

x = 1.6759

Сравните `t` Студента и Нормальное распределение pdfs

Скрипт Open Live Script

T распределение Студента является семейством кривых в зависимости от одного параметра ν (степени свободы). Как степени свободы ν бесконечность подхода, t распределение приближается к стандартному нормальному распределению.

Вычислите pdfs для t распределения Студента параметром nu = 5 и t распределение Студента параметром nu = 15.

x = [-5:0.1:5];
y1 = tpdf(x,5);
y2 = tpdf(x,15);

Вычислите PDF для стандартного нормального распределения.

z = normpdf(x,0,1);

Постройте t Студента pdfs и стандартную нормальную PDF на той же фигуре.

plot(x,y1,'-.',x,y2,'--',x,z,'-')
legend('Student''s t Distribution with \nu=5', ...
    'Student''s t Distribution with \nu=15', ...
    'Standard Normal Distribution','Location','best')
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')
title('Student''s t and Standard Normal pdfs')

$Figure contains an axes. The axes with title Student's t and Standard Normal pdfs contains 3 objects of type line. These objects represent Student's t Distribution with \nu=5, Student's t Distribution with \nu=15, Standard Normal Distribution.$

Стандартная нормальная PDF имеет более короткие хвосты, чем t Студента pdfs.

Связанные распределения

Бета Распределение — бета распределение является непрерывным распределением 2D параметра, которое имеет параметры a (сначала параметр формы) и b (второй параметр формы). Если Y имеет распределение t Студента со степенями свободы ν, то $X = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{Y}{\sqrt{ν + Y^{2}}}$ имеет бета распределение параметрами формы a = ν/2 и b = ν/2. Это отношение является использованными для расчета значениями t cdf, и обратные функции, и сгенерировать t распределили случайные числа.
Распределение Коши — распределение Коши является непрерывным распределением 2D параметра параметрами γ (шкала) и δ (местоположение). Это - особый случай Устойчивого Распределения параметрами формы α = 1 и β = 0. Стандарт распределение Коши (модульная шкала и нуль местоположения) является распределением t Студента со степенями свободы ν, равный 1. Стандарт распределение Коши имеет неопределенное среднее значение и отклонение.
Для примера смотрите, Генерируют Случайные числа Коши Используя t Студента.
Распределение хи-квадрат — распределение хи-квадрат является непрерывным распределением с одним параметром, которое имеет параметр ν (степени свободы). Если Z имеет стандартное нормальное распределение, и χ ² имеет распределение хи-квадрат со степенями свободы ν, то $t = \frac{Z}{\sqrt{χ^{2} / ν}}$ имеет распределение t Студента со степенями свободы ν.
Нецентральное t Распределение — нецентральное распределение t является непрерывным распределением 2D параметра, которое обобщает распределение t Студента и имеет параметры ν (степени свободы) и δ (нецентрированность). Установка δ = 0 выражений распределение t Студента.
Нормальное распределение — нормальное распределение является непрерывным распределением 2D параметра параметрами μ (среднее значение) и σ (стандартное отклонение).
Как степени свободы бесконечность подхода ν, распределение t Студента приближается к стандартному нормальному распределению (нулевое среднее значение и модульное стандартное отклонение).
Для примера смотрите, Сравнивают t Студента и Нормальное распределение pdfs
Если x является случайной выборкой размера n от нормального распределения со средним μ, то статистическая величина $t = \frac{\bar{x} - μ}{s / \sqrt{n}}$ , где $\bar{x}$ демонстрационное среднее значение, и s является демонстрационным стандартным отклонением, имеет распределение t Студента с n — 1 степень свободы.
Для примера смотрите, Вычисляют t Распределение Студента cdf.
t Распределение Шкалы Местоположения — распределение шкалы местоположения t является непрерывным распределением с тремя параметрами параметрами μ (среднее значение), σ (шкала) и ν (форма). Если x имеет распределение шкалы местоположения t параметрами µ, σ и ν, то $\frac{x - μ}{σ}$ имеет распределение t Студента со степенями свободы ν.

Ссылки

[1] Abramowitz, Милтон, и Ирен А. Стегун, руководство редакторов Математических функций: С Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. 9. Дуврская печать.; [Nachdr. der Ausg. von 1972]. Дуврские Книги по Математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Дувр Publ, 2013.

[2] Devroye, Люк. Неоднородная Генерация случайных переменных. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Спрингер Нью-Йорк, 1986. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8

[3] Эванс, Merran, Николас Гастингс и Брайан Пикок. Статистические Распределения. 2-й редактор Нью-Йорк: Дж. Вайли, 1993.

[4] Kreyszig, Эрвин. Вводная математическая статистика: принципы и методы. Нью-Йорк: Вайли, 1970.

Документация