Найдите производную функции sin(x^2).

syms f(x)
f(x) = sin(x^2);
Df = diff(f,x)

Df(x) = $$2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\cos \left(x^2\right)$$

Найдите значение производной в x = 2Конвертируйте полученное значение в числовое двойной точности.

Df2 = Df(2)

Df2 = $$4\hspace{0.17em}\cos \left(4\right)$$

double(Df2)

ans = -2.6146

Найдите первую производную этого выражения.

syms x t
Df = diff(sin(x*t^2))

Df = $$t^2\hspace{0.17em}\cos \left(t^2\hspace{0.17em}x\right)$$

Поскольку вы не задавали переменную дифференцирования, diff использует переменную по умолчанию, заданную symvar. Для этого выражения переменной по умолчанию является x.

var = symvar(sin(x*t^2),1)

var = $$x$$

Теперь найдите производную этого выражения относительно переменной t.

Df = diff(sin(x*t^2),t)

Df = $$2\hspace{0.17em}t\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\cos \left(t^2\hspace{0.17em}x\right)$$

Найдите 4-е, 5-е, и 6-е производные $$t^6$$.

syms t
D4 = diff(t^6,4)

D4 = $$360\hspace{0.17em}{t}^2$$

D5 = diff(t^6,5)

D5 = $$720\hspace{0.17em}t$$

D6 = diff(t^6,6)

D6 = $$720$$

Найдите вторую производную этого выражения относительно переменной y.

syms x y
Df = diff(x*cos(x*y), y, 2)

Df = $$-x^3\hspace{0.17em}\cos \left(x\hspace{0.17em}y\right)$$

Вычислите вторую производную выражения x*y. Если вы не задаете переменную дифференцирования, diff использует переменную, определенную symvar. Для этого выражения, symvar(x*y,1) возвращает x. Поэтому diff вычисляет вторую производную x*y относительно x.

syms x y
Df = diff(x*y,2)

Df = $$0$$

Если вы используете, вложил diff вызовы и не задают переменную дифференцирования, diff определяет переменную дифференцирования для каждого вызова. Например, дифференцируйте выражение x*y путем вызова diff функционируйте дважды.

Df = diff(diff(x*y))

Df = $$1$$

В первом вызове, diff дифференцирует x*y относительно x, и возвращает y. Во втором вызове, diff дифференцирует y относительно y, и возвращает 1.

Таким образом, diff(x*y,2) эквивалентно diff(x*y,x,x), и diff(diff(x*y)) эквивалентно diff(x*y,x,y).

Дифференцируйте это выражение относительно переменных x и y.

syms x y
Df = diff(x*sin(x*y),x,y)

Df = $$2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\cos \left(x\hspace{0.17em}y\right)-x^2\hspace{0.17em}y\hspace{0.17em}\sin \left(x\hspace{0.17em}y\right)$$

Также можно вычислить смешанные производные высшего порядка путем обеспечения всех переменных дифференцирования.

syms x y
Df = diff(x*sin(x*y),x,x,x,y)

Df = $$x^2\hspace{0.17em}{y}^3\hspace{0.17em}\sin \left(x\hspace{0.17em}y\right)-6\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}{y}^2\hspace{0.17em}\cos \left(x\hspace{0.17em}y\right)-6\hspace{0.17em}y\hspace{0.17em}\sin \left(x\hspace{0.17em}y\right)$$

Найдите производную функции $$y=f(x{)}^2\frac{df}{dx}$$ относительно $$f(x)$$.

syms f(x) y
y = f(x)^2*diff(f(x),x);
Dy = diff(y,f(x))

Dy = 
$$2\hspace{0.17em}f\left(x\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }f\left(x\right)$$

Найдите 2-ю производную функции $$y=f(x{)}^2\frac{df}{dx}$$ относительно $$f(x)$$.

Dy2 = diff(y,f(x),2)

Dy2 = 
$$2\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }f\left(x\right)$$

Найдите смешанную производную функции $$y=f(x{)}^2\frac{df}{dx}$$ относительно $$f(x)$$ и $$\frac{df}{dx}$$.

Dy3 = diff(y,f(x),diff(f(x)))

Dy3 = $$2\hspace{0.17em}f\left(x\right)$$

Найдите уравнение Euler–Lagrange, которое описывает движение массово-пружинной системы. Задайте кинетическую и потенциальную энергию системы.

syms x(t) m k
T = m/2*diff(x(t),t)^2;
V = k/2*x(t)^2;

Задайте функцию Лагранжа.

L = T - V

L = 
$$\frac{m\hspace{0.17em}{\left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }x\left(t\right)\right)}^2}{2}-\frac{k\hspace{0.17em}{x\left(t\right)}^2}{2}$$

Уравнением Euler–Lagrange дают

Оцените термин $$\partial L/\partial \underset{}{\overset{\dot{}}{x}}$$.

D1 = diff(L,diff(x(t),t))

D1 = 
$$m\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }x\left(t\right)$$

Оцените второй срок $$\partial L/\partial x$$.

D2 = diff(L,x)

D2(t) = $$-k\hspace{0.17em}x\left(t\right)$$

Найдите уравнение Euler–Lagrange движения массово-пружинной системы.

diff(D1,t) - D2 == 0

ans(t) = 
$$m\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }x\left(t\right)+k\hspace{0.17em}x\left(t\right)=0$$

Начиная с R2021a

Чтобы оценить производные относительно векторов, можно использовать переменные символьной матрицы. Например, найдите производные $$\partial \alpha /\partial x$$ и $$\partial \alpha /\partial y$$ для выражения $$\alpha =y^{T}Ax$$, где $$y$$ вектор 3 на 1, $$A$$ матрица 3 на 4, и $$x$$ 4 1 вектор.

Создайте три переменные x символьной матрицыY, и A, из соответствующих размеров, и используют их, чтобы задать alpha.

syms x [4 1] matrix
syms y [3 1] matrix
syms A [3 4] matrix
alpha = y.'*A*x

alpha = $$y^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A\hspace{0.17em}x$$

Найдите производную alpha относительно векторов $$x$$ и $$y$$.

Dx = diff(alpha,x)

Dx = $$y^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A$$

Dy = diff(alpha,y)

Dy = $$x^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}{A}^{\mathrm{T}}$$

Начиная с R2021a

Чтобы оценить дифференциал относительно матрицы, можно использовать переменные символьной матрицы. Например, найдите дифференциал $$\partial Y/\partial A$$ для выражения $$Y=X^{T}AX$$, где $$X$$ вектор 3 на 1, и $$A$$ 3х3 матрица. Здесь, $$Y$$ скаляр, который является функцией вектора $$X$$ и матрица $$A$$.

Создайте две переменные символьной матрицы, чтобы представлять $$X$$ и $$A$$Define $$Y$$.

syms X [3 1] matrix
syms A [3 3] matrix
Y = X.'*A*X

Y = $$X^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A\hspace{0.17em}X$$

Найдите дифференциал $$Y$$ относительно матрицы $$A$$.

D = diff(Y,A)

D = $$X^{\mathrm{T}}\otimes X$$

Результатом является продукт тензора Кронекера между $$X^T$$ и $$X$$, который является 3х3 матрицей.

size(D)

ans = 1×2

     3     3