Метод вычислителя моментов для металлоконструкций

Метод вычисления моментов для металлических антенн.

Первым шагом в вычислительном решении электромагнитных задач является дискретизация уравнений Максвелла. Процесс приводит к такой матрично-векторной системе:

$V =$ ZI

V - Вектор приложенного напряжения. Этот сигнал может представлять собой напряжение или мощность, подаваемые на антенну, или падающий на антенну падающий сигнал.
I - вектор тока, представляющий ток на поверхности антенны.
Z - матрица взаимодействия или матрица импеданса, которая соотносит V с I.

Антенна Toolbox™ использует метод моментов (MoM) для вычисления матрицы взаимодействия и решения системных уравнений.

Состав протокола совещания

Состав MoM разделен на три части.

Дискретизация металлов

Дискретизация дает возможность композиции от непрерывного домена к дискретному домену. Этот шаг называется наложением сетки в антенной литературе. В составе MoM металлическая поверхность антенны разделена на треугольники.

Базовые функции

Чтобы рассчитать поверхностные токи в структуре антенны, сначала необходимо определить базовые функции. В Antenna Toolbox используются базовые функции Rao-Wilton-Glisson (RWG) [2]. Стрелки показывают направление текущего потока.

Базисная функция включает пару смежных (не обязательно компланарных) треугольников и напоминает небольшой пространственный диполь с линейным распределением тока. Каждый треугольник связан с положительным или отрицательным зарядом.

Для любых двух сегментов треугольника, $_{tn}^{}$ + и $_{}^{tn}$ −, имеющих ${области}_{}^{}$ An + $_{и}^{}$ An −, и разделяющих общее $_{}$ ребро ln, базисной функцией является

$\begin{array}{l} {\overset{}{}}_{f→n} \overset{}{(} r\to) \begin{matrix} \frac{_{}}{_{}^{}} {\overset{}{}}_{}^{} & \overset{}{} ={ln2An+ρ\ton+S,r\to \in_{}^{} \\ \frac{_{}}{_{}^{}} {\overset{}{}}_{}^{} & \overset{}{} tn+ln2An-ρ\ton-S,r\to \in_{}^{} \end{matrix} tn \end{array}$ −

${\overset{}{}}_{}^{} \overset{}{} {\overset{}{}}_{}^{ρ\ton+=r\to-r\ton+}$ - Вектор, выводимый из свободной вершины треугольника $_{tn}^{}$ + в точку наблюдения $\overset{}{}$ r→
${\overset{}{}}_{}^{} {\overset{}{}}_{}^{} \overset{ρ\ton-=r\ton+-r\to}{}$ - Вектор, выводимый из точки наблюдения в свободную вершину треугольника $_{tn}^{}$ −

${\overset{}{}}_{∇⋅f→n} \overset{}{(} r\to) \begin{matrix} \frac{_{}}{_{}^{}} & \overset{}{} ={lnAn+,r\to \in_{}^{} \\ \frac{_{}}{_{}^{}} & \overset{}{} tn+-lnAn-,r\to \in_{}^{} \end{matrix}$ tn −

Базисная функция равна нулю за пределами двух смежных треугольников $_{tn}^{}$ + и $_{}^{tn}$ −. Базисная функция вектора RWG является линейной и не имеет потока (нормальной составляющей) через ее границу.

Матрица взаимодействия

Матрица взаимодействия представляет собой комплексную плотную симметричную матрицу. Это квадратная матрица N-на-N, где N - количество базисных функций, то есть количество внутренних рёбер в структуре. Показана типичная матрица взаимодействия для структуры с 256 базисными функциями:

Чтобы заполнить матрицу взаимодействия, вычислите функцию Грина свободного пространства между всеми базисными функциями на поверхности антенны. Конечными матричными уравнениями взаимодействия являются:

$_{Zmn} = \frac{}{} \underset{}{(jωμ4π)} \underset{}{} {\overset{}{}}_{} \overset{}{∫S∫Sf→m} (r {\overset{)}{\to}}_{.} \overset{}{^{f\tom}} (r \overset{}{{′→}^{)}} \overset{ГДР}{}'\to \frac{}{доктор →−} \underset{}{} \underset{}{} (j4πωε) {\overset{}{}}_{} \intS\intS (\nabla {\overset{}{}}_{} .f\tom) \overset{}{(^{\nabla}} \overset{.f\tom}{}$ ) ГДР ′→ доктор →

где

$g \overset{}{(} \overset{}{^{}} r\to,r'\to) \frac{= \exp (\overset{}{} \overset{}{^{}}}{\overset{-jk'r\to-r'\to|}{}) \overset{}{^{}}}$ |r→−r′→| - Функция зеленого свободного пространства

Чтобы вычислить матрицу взаимодействия, возбуждайте антенну напряжением 1 В на границе питания. Таким образом, вектор напряжения имеет нулевые значения везде, за исключением края подачи. Решите систему уравнений для вычисления неизвестных токов. После определения неизвестных токов можно вычислить свойства поля и поверхности антенны.

Соседний регион

Из графика матрицы взаимодействия видно, что матрица является диагонально доминирующей. По мере удаления от диагонали величина членов уменьшается. Это поведение совпадает с поведением функции Грина. Функция Грина уменьшается по мере увеличения расстояния между r и r '. Поэтому важно точно вычислить область по диагонали и близко к диагонали.

Эта область на диагонали и вокруг нее называется соседней областью. Соседняя область определяется в пределах сферы радиуса R, где R представляет собой размер треугольника. Размер треугольника - максимальное расстояние от центра треугольника до любой из его вершин. По умолчанию R в два раза превышает размер треугольника. Для лучшей точности для вычисления интегралов используется схема интегрирования более высокого порядка.

Извлечение сингулярности

По диагонали r и r 'равны и определяет функцию Грина становится сингулярной. Для удаления сингулярности на этих условиях производится извлечение.

$\begin{array}{l} \underset{_{}}{} \underset{_{∫tp∫tq}}{} {\overset{}{(}}_{} {\overset{}{}}^{}_{} ρ\toi.ρ\to'j) \overset{}{г} (\overset{}{^{}} r→,r′→) \underset{_{}}{} \underset{_{}}{} \frac{{\overset{}{}}_{ds'ds=∫tp∫tq} {\overset{}{(}}^{}_{}}{\overset{}{} ρ\toi.ρ\to'j \overset{}{)^{}}} \underset{_{}}{} \underset{_{}}{} \frac{|r\to-r'\to|ds'ds+\inttp\inttq (\overset{exp}{} \overset{}{(^{}} {\overset{}{}}_{−jk'r→−r′→|}) {\bar{}}^{}_{1})}{\overset{}{(} \overset{}{^{}}} ρ→i.ρ→′j) \\ \underset{_{}}{} \underset{_{}}{} \overset{}{} \overset{}{^{}} |r→−r′→|ds'ds∫tp∫tqg (\underset{_{}}{} \underset{_{r→,r′→}}{} \frac{)}{\overset{}{} \overset{}{^{}}} \underset{_{}}{} \underset{_{}}{} \frac{\overset{}{} \overset{}{^{ds'ds=\inttp\inttq1|r\to-r'\to|ds'ds+\inttp\inttq}} (exp}{(\overset{}{} \overset{}{^{}}} −jk'r→−r′→|) \end{array}$ − 1) |r→−r′→|ds'ds

Два интеграла в правой части уравнений, называемые потенциальными или статическими интегралами, находят с помощью аналитических результатов [3].

Конечные массивы

Формулировка MoM для конечных решеток такая же, как для одного антенного элемента. Основное отличие - количество возбуждений (кормов). Для конечных массивов вектор напряжения теперь является матрицей напряжения. Количество столбцов равно количеству элементов в массиве.

Например, матрица вектора напряжения для 2x2 решетка прямоугольной коммутационной антенны имеет четыре столбца, так как каждая антенна может возбуждаться отдельно.

Бесконечный массив

Чтобы смоделировать бесконечный массив, измените MoM, чтобы учесть бесконечное поведение. Для этого следует заменить функции Грина со свободным пространством периодическими функциями Грина. Периодическая функция Грина является бесконечным двойным суммированием.

Функция Грина	Функция периодического зеленого
$\begin{array}{l} \frac{^{}}{} \\ \overset{}{} {\overset{}{}}^{} g=e-jkRRR=\|r\to-r\to'\| \end{array}$	$\begin{array}{l} _{gperiodic} = \sum_{m}^{}_{}^{}^{_{}} \frac{^{_{}}}{_{}} \\ _{=− n =− ejϕmne−jkRmnRmnRmn} = \sqrt{{(^{x-x}_{}'-xm}^{)} {2 + (^{} {y−y}_{}}^{}'-yn {) 2 +^{} (}^{}} \\ _{z−z'}) 2ϕmn =_{−k} (_{} xmsinθcosφ + \\ _{} ynsinθsinφ) xm_{} =m⋅dx,_{}_{} \end{array}$ yn=n⋅dy

Функция Грина

Функция периодического зеленого

$\begin{array}{l} \frac{^{}}{} \\ \overset{}{} {\overset{}{}}^{} g=e-jkRRR=|r\to-r\to'| \end{array}$

$\begin{array}{l} _{gperiodic} = \sum_{m}^{}_{}^{}^{_{}} \frac{^{_{}}}{_{}} \\ _{=− n =− ejϕmne−jkRmnRmnRmn} = \sqrt{{(^{x-x}_{}'-xm}^{)} {2 + (^{} {y−y}_{}}^{}'-yn {) 2 +^{} (}^{}} \\ _{z−z'}) 2ϕmn =_{−k} (_{} xmsinθcosφ + \\ _{} ynsinθsinφ) xm_{} =m⋅dx,_{}_{} \end{array}$ yn=n⋅dy

dx и dy - размеры нулевой плоскости, определяющие размеры x и y единичной ячейки. λ и Λ - углы сканирования.

Сравнивая две функции Грина, можно наблюдать дополнительный экспоненциальный член, который добавляется к бесконечной сумме. Для сканирования бесконечного массива используется _{файл Фmn}. Функция периодического Грина также учитывает эффект взаимной связи.

Дополнительные сведения см. в разделе Бесконечные массивы.

Ссылки

[1] Харрингтон, Р. Ф. Полевые вычисления методом момента. Нью-Йорк: Макмиллан, 1968.

[2] Рао, С. М., Д. Р. Уилтон и А. В. Глиссон. «Электромагнитное рассеяние по поверхностям произвольной формы». IEEE. Пер. антенны и распространение, т. AP-30, № 3, май 1982, стр. 409-418.

[3] Уилтон, Д. Р., С. М. Рао, А. В. Глиссон, Д. Х. Шобер, О. М. Аль-Бундак. и К. М. Батлер. «Потенциальные интегралы для равномерного и линейного распределения источников на полигональных и многогранных доменах». IEEE. Передние антенны и распространение. Т. AP-30, № 3, 1984 мая, с. 276-281.

[4] Баланис, К. А. Теория антенн. Анализ и проектирование. 3-й ред. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, 2005.

Связанные темы

Бесконечные массивы

Документация