Фон

В этом примере рассматривается система управления Active Mass Driver (AMD) для виброизоляции в трехэтажной экспериментальной структуре. Данная настройка используется для оценки методов управления проектированием для повышения безопасности строительных конструкций во время землетрясений. Конструкция состоит из трех этажей с активным массоводом на верхнем этаже, который используется для ослабления наземных возмущений. Это приложение заимствовано из «Проблемы эталонного теста в структурном управлении: Часть I - Активная система массового драйвера», B.F. Spencer Jr., S.J. Дайк и Х.С. Деоскар, сейсмостойкая и структурная динамика, 27 (11), 1998, стр. 1127-1139.

Рис. 1: Активная система управления массовыми драйверами

Завод P - модель с 28 состояниями со следующими переменными состояний:

Входы - это ускорение земли xag (в г) и управляющий сигнал u. Мы используем 1 г = 981 см/с ^ 2.

load ThreeStoryData
size(P)

State-space model with 20 outputs, 2 inputs, and 28 states.

Модель ускорения землетрясения

Ускорение землетрясения моделируется как процесс белого шума, отфильтрованного через фильтр Канаи-Тажими.

zg = 0.3;
wg = 37.3; 
S0 = 0.03*zg/(pi*wg*(4*zg^2+1));
Numerator = sqrt(S0)*[2*zg*wg wg^2];
Denominator = [1 2*zg*wg wg^2];

F = sqrt(2*pi)*tf(Numerator,Denominator);
F.InputName = 'n';   % white noise input

bodemag(F)
grid
title('Kanai-Tajimi filter')

Характеристики разомкнутого контура

Влияние землетрясения на неконтролируемую конструкцию может быть смоделировано введением белого шума n в комбинацию завод-фильтр. Также можно использовать covar для непосредственного вычисления стандартных отклонений полученных межэтажных дрейфов и ускорений.

% Add Kanai-Tajimi filter to the plant
PF = P*append(F,1); 

% Standard deviations of open-loop drifts
CV = covar(PF('d','n'),1);
d0 = sqrt(diag(CV));

% Standard deviations of open-loop acceleration 
CV = covar(PF('xa','n'),1);
xa0 = sqrt(diag(CV));

% Plot open-loop RMS values 
clf
bar([d0; xa0])
title('Drifts and accelerations for uncontrolled structure')
ylabel('Standard deviations')
set(gca,'XTickLabel',{'d(1)','d(2)','d(3)','xa(1)','xa(2)','xa(3)'})

Структура управления и проектные требования

Структура управления изображена на фиг.2.

Рис. 2: Структура управления

Контроллер $$C$$ использует измерения yxa и yxam из xa и xam для формирования управляющего сигнала u. Физически, управление u - электрический ток, приводящий в действие гидравлический привод, который перемещает массы AMD. Проектные требования включают в себя:

Все проектные требования оцениваются по стандартным отклонениям соответствующих сигналов. Использовать TuningGoal.Variance выразить эти требования и масштабировать каждую переменную по ее стандартному отклонению с разомкнутым контуром для поиска равномерного относительного улучшения во всех переменных.

% Soft requirements on drifts and accelerations 
Soft = [...
   TuningGoal.Variance('n','d(1)',d0(1)) ; ...
   TuningGoal.Variance('n','d(2)',d0(2)) ; ...
   TuningGoal.Variance('n','d(3)',d0(3)) ; ...
   TuningGoal.Variance('n','xa(1)',xa0(1)) ; ...
   TuningGoal.Variance('n','xa(2)',xa0(2)) ; ...
   TuningGoal.Variance('n','xa(3)',xa0(3))];

% Hard requirements on control effort
Hard = [...
   TuningGoal.Variance('n','xm',3) ; ...
   TuningGoal.Variance('n','xam',2) ; ...
   TuningGoal.Variance('n','u',1)];

Настройка контроллера

systune позволяет настраивать практически любую структуру контроллера в соответствии с этими требованиями. Сложность контроллера можно регулировать методом проб и ошибок, начиная с достаточно высокого порядка для измерения пределов производительности, а затем уменьшая порядок до тех пор, пока не будет наблюдаться заметное ухудшение производительности. Для этого примера начните с контроллера 5-го порядка без условия прохождения.

C = tunableSS('C',5,1,4);
C.D.Value = 0;
C.D.Free = false;   % Fix feedthrough to zero

Создание настраиваемой модели T0 системы с замкнутым контуром по рисунку 2 и настроить параметры контроллера на systune.

% Build tunable closed-loop model 
T0 = lft(PF,C); 

% Tune controller parameters
[T,fSoft,gHard]  = systune(T0,Soft,Hard);

Final: Soft = 0.601, Hard = 0.99981, Iterations = 210

Резюме показывает, что мы достигли общего снижения на 40% стандартных отклонений (Soft = 0.6) при выполнении всех жестких ограничений (Hard < 1).

Проверка

Вычислите стандартные отклонения дрейфов и ускорений для контролируемой структуры и сравните с неконтролируемыми результатами. Система управления AMD обеспечивает значительное снижение как дрейфа, так и ускорения.

% Standard deviations of closed-loop drifts
CV = covar(T('d','n'),1);
d = sqrt(diag(CV));

% Standard deviations of closed-loop acceleration 
CV = covar(T('xa','n'),1);
xa = sqrt(diag(CV));

% Compare open- and closed-loop values
clf
bar([d0 d; xa0 xa])
title('Drifts and accelerations')
ylabel('Standard deviations')
set(gca,'XTickLabel',{'d(1)','d(2)','d(3)','xa(1)','xa(2)','xa(3)'})
legend('Uncontrolled','Controlled','location','NorthWest')

Смоделировать реакцию 3-этажной конструкции на сейсмоподобное возбуждение как в разомкнутом, так и в замкнутом контуре. Ускорение землетрясения моделируется как процесс белого шума, окрашенный фильтром Канай-Тажими.

% Sampled white noise process
rng('default')
dt = 1e-3; 
t = 0:dt:500;
n = randn(1,length(t))/sqrt(dt); % white noise signal

% Open-loop simulation
ysimOL = lsim(PF(:,1), n , t); 

% Closed-loop simulation 
ysimCL = lsim(T, n , t); 

% Drifts
clf
subplot(3,1,1) 
plot(t,ysimOL(:,13),'b',t,ysimCL(:,13),'r')
grid
title('Inter-story drift d(1) (blue=open loop, red=closed loop)')
ylabel('cm')
subplot(3,1,2)
plot(t,ysimOL(:,14),'b',t,ysimCL(:,14),'r')
grid 
title('Inter-story drift d(2)')
ylabel('cm')
subplot(3,1,3)
plot(t,ysimOL(:,15),'b',t,ysimCL(:,15),'r')
grid 
title('Inter-story drift d(3)')
ylabel('cm')

Ускорение

clf
subplot(3,1,1)
plot(t,ysimOL(:,9),'b',t,ysimCL(:,9),'r')
grid
title('Acceleration of 1st floor xa(1) (blue=open loop, red=closed loop)')
ylabel('g')
subplot(3,1,2)
plot(t,ysimOL(:,10),'b',t,ysimCL(:,10),'r')
grid
title('Acceleration of 2nd floor xa(2)')
ylabel('g')
subplot(3,1,3)
plot(t,ysimOL(:,11),'b',t,ysimCL(:,11),'r')
grid
title('Acceleration of 3rd floor xa(3)')
ylabel('g')

Управляющие переменные

clf
subplot(3,1,1)
plot(t,ysimCL(:,4),'r')
grid 
title('AMD position xm')
ylabel('cm') 
subplot(3,1,2)
plot(t,ysimCL(:,12),'r')
grid 
title('AMD acceleration xam')
ylabel('g') 
subplot(3,1,3)
plot(t,ysimCL(:,16),'r')
grid 
title('Control signal u')

Постройте график среднеквадратичного (среднеквадратичного) моделируемых сигналов как для контролируемых, так и для неконтролируемых сценариев. Предполагая эргодичность, производительность RMS может быть оценена по одному достаточно длинному моделированию процесса и совпадает со стандартными отклонениями, вычисленными ранее. Действительно, график среднеквадратичного отклонения близко соответствует графику стандартного отклонения, полученному ранее.

clf
bar([std(ysimOL(:,13:15)) std(ysimOL(:,9:11)) ; ...
   std(ysimCL(:,13:15)) std(ysimCL(:,9:11))]')
title('Drifts and accelerations')
ylabel('Simulated RMS values')
set(gca,'XTickLabel',{'d(1)','d(2)','d(3)','xa(1)','xa(2)','xa(3)'})
legend('Uncontrolled','Controlled','location','NorthWest')

В целом, контроллер обеспечивает значительное снижение вибрации земли как с точки зрения дрейфа, так и с точки зрения ускорения для всех этажей при одновременном выполнении жестких ограничений на управляющее усилие и перемещение массы.