В этой панели инструментов определение B-сплайна с узлами tj, ..., tj + k задается как
tj + k] (x−⋅) + k − 1.
Это только одна из нескольких приемлемых нормализаций B-сплайна. Он выбран так, чтобы
tk≤x≤tn+1.
Но вместо того, чтобы пытаться понять вышеприведенную формулу для B-сплайна, посмотрите справочные страницы для GUI bspligui для некоторых основных свойств B-сплайна и используйте этот графический интерфейс, чтобы получить некоторый опыт работы с этой интригующей функцией. Его наиболее важным свойством для целей данного набора инструментов является также причина, по которой буква B имеет свое название:
Каждое пространство (одномерных) кусочно-многочленов данного порядка имеет базис, состоящий из B-сплайнов (отсюда «B» в B-сплайне).
Поскольку Bj, k является ненулевым только на интервале (tj.. tj + k), линейная система для B-сплайновых коэффициентов сплайна, которые должны быть определены, путем интерполяции или аппроксимации наименьших квадратов, или даже в качестве приближенного решения некоторого дифференциального уравнения, является ограниченной, что делает решение этой линейной системы особенно простым. Например, чтобы построить сплайн s приказа k с последовательностью t1 t2 узла ··· ≤ tn+k так, чтобы s (xi) =yi для i=1..., n, использовали линейную систему
= 1: n
для неизвестных коэффициентов B-сплайна aj, в которых каждое уравнение имеет максимум k ненулевых записей.
Кроме того, многие теоретические факты, касающиеся сплайнов, наиболее легко заявляются и/или доказываются с точки зрения B-сплайнов. Например, можно сопоставить произвольные данные на сайтах однозначно сплайном порядка k с узловой последовательностью (t1,..., tn + k) тогда и только тогда, когда Bj, k (xj) ≠0 для всех j (условия Шёнберга-Уитни). Вычисления с B-сплайнами облегчаются стабильными соотношениями повторения
xtj + k − tj + 1Bj + 1, k − 1 (x)
которые также помогают в преобразовании из B-формы в ppform. Двухфункциональный
предоставляет полезное выражение для j-го коэффициента B-сплайна s в терминах его значения и производных в произвольном участке, между tj и tj + k, и с (tj + 1-t)··· (tj + k-1-t )/( k-1)! Он может быть использован для того, чтобы показать, что aj (s) тесно связан с s на интервале [tj.. tj + k], и кажется наиболее эффективным средством для преобразования из ppform в B-форму.
Вышеуказанный конструктивный подход не единственный путь к сплайнам. В вариационном подходе сплайн получают как наилучший интерполятор, например, как функцию с наименьшей m-й производной среди всех тех, которые согласуются с заданными значениями функции в определенных местах. Как выясняется, среди множества доступных таких сплайнов много применения нашли только те, которые являются кусочно-многочленами или, возможно, кусочно-экспоненциальными. Особый практический интерес представляет сглаживающий сплайн s = sp, который для заданных данных (xi, yi) с x∊[a.. b], всех i и заданных соответствующих положительных весов wi и для заданного параметра сглаживания p минимизирует
∫ab'Dmf (t) | 2dt
по всем функциям f с m производными. Оказывается, сглаживающий сплайн s представляет собой сплайн порядка 2m с разрывом на каждом участке данных. Параметр сглаживания, p, выбирается искусно, чтобы найти правильный баланс между желанием измерения ошибки
) | 2
небольшие и желающие измерения шероховатости
| 2dt
небольшие. Надежда на то, что s содержит как можно больше информации и как можно меньше предполагаемого шума в данных. Один подход к этому (используется в spaps) делает F (Dmf) как можно меньшим при условии, что E (f) не будет больше предписанного допуска. По вычислительным причинамspaps использует (эквивалентный) параметр сглаживания, ((эквивалентный) параметр сглаживания Кроме того, иногда полезно использовать более гибкую меру шероховатости.
t) | 2dt
с λ подходящей функцией положительного веса.