Многомерные сплайны могут быть получены из одномерных сплайнов конструкцией тензорного изделия. Например, трехмерный сплайн в B-форме задается как
m (z) au, v, w
с Bu, k, Bv, l, Bw, m одномерными B-сплайнами. Соответственно, этот сплайн имеет порядок k в x, порядок l в y и порядок m в z. Аналогично, ppform сплайна тензора-произведения задается последовательностями разрывов в каждой из переменных и, для каждого заданного таким образом гиперконтанга, массивом коэффициентов. Кроме того, как и в одномерном случае, коэффициенты могут быть векторами, обычно 2-векторами или 3-векторами, что позволяет представлять, например, определенные поверхности в ℜ3.
Очень разным двумерным сплайном является тонколистовой сплайн. Это функция формы
+ x (2) an − 1 + an
с (x) = | x | 2log 'x | 2 базисной функцией сплайна тонкой пластины, и | x | обозначающей евклидову длину вектора x. Здесь для удобства обозначают независимую переменную по x, но x теперь является вектором, две компоненты которого, x (1) и x (2), играют роль двух независимых переменных, ранее обозначенных x и y. Соответственно, участки cj являются точками ℜ2.
Шлицы тонких пластин возникают как двумерные сглаживающие шлицы, что означает, что шлиц тонких пластин сводит к минимуму
| 2 + | D2D2f | 2 |)
В данном случае yi являются значениями данных, заданными в узлах данных ci, p - параметр сглаживания, а Djf обозначает частную производную f относительно x (j). Интеграл принимает весь ℜ2. Верхний предел суммирования, n-3, отражает тот факт, что 3 степени свободы тонколистового сплайна связаны с его полиномиальной частью.
Тонколистовые сплайны - функции в стформе, означающие, что вплоть до определённых многочленовых членов они являются взвешенной суммой произвольных или рассеянных переводов (· -c) «(» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» Эта так называемая базисная функция для тонколистового сплайна является особой в том, что она радиально симметрична, что означает, что (x) зависит только от евклидовой длины, | x |, x. По этой причине, тонколистовые сплайны также известны как RBF или радиальные базисные функции. Дополнительные сведения см. в разделе Построение и работа со сплайнами stform.
Рациональный сплайн - это любая функция вида r (x) = s (x )/w (x), с как s, так и w сплайнами и, в частности, w скалярно-значимым сплайном, в то время как s часто является векторно-значимым.
Рациональные сплайны привлекательны тем, что можно описать различные основные геометрические формы, такие как конические сечения, точно как диапазон рационального сплайна. Например, окружность может быть описана квадратичным рациональным сплайном с двумя частями.
В этой панели инструментов существует дополнительное требование, чтобы и s, и w были одного и того же вида и даже одного и того же порядка, и с одной и той же последовательностью узлов или разрывов. Это позволяет сохранить рациональный сплайн r в качестве обычного сплайна R, значение которого при x является вектором [s (x); w (x)]. В зависимости от того, находятся ли два сплайна В-форме или ppform, такое представление называется здесь rBform или rpform такого рационального сплайна.
Легко получить r из R. Например, если v является значением R при x, то v(1:end-1)/v(end) является значением r в x. В качестве другого примера рассмотрим получение производных r из производных R. Потому что s = wr, правило Лейбница говорит нам, что
− jr
где Dms - m-я производная s.
Следовательно, если v(:,j) содержит Dj-1R (x), j = 1...m + 1, затем
− 1, j + 1) )/v (конец, 1))
обеспечивает значение DmR (x).