Данные временных рядов

В этом примере моделируются данные временных рядов с использованием следующей формы нелинейного дифференциального уравнения задержки Макки-Гласса (MG).

Смоделировать временные ряды для 1200 выборок с использованием следующей конфигурации.

ts = 1;
numSamples = 1200;
tau = 20;
x = zeros(1,numSamples+tau+1);
x(tau+1) = 1.2;
for t = 1+tau:numSamples+tau
    x_dot = 0.2*x(t-tau)/(1+(x(t-tau))^10)-0.1*x(t);
    x(t+1) = x(t) + ts*x_dot;
end

Постройте график смоделированных временных рядов MG.

figure(1)
plot(x(tau+2:end))
title('Mackey-Glass Chaotic Time Series')
xlabel('Time (sec)')
ylabel('x(t)')

Создание данных обучения и проверки

Предсказание временных рядов использует известные значения временных рядов вплоть до времени t для предсказания будущего значения в момент времени $$t+$$P. Стандартный метод для этого типа прогнозирования заключается в создании отображения из D точек данных выборки, дискретизированных через каждые Δ единиц во времени $$(x(t-\mathrm{}(D-1)\Delta ),...,x($$t-Δ), x (t)) к прогнозируемому $$\mathrm{будущему}$$значению x = (t + P). Для $\mathit{этого}\mathrm{}$примера $\mathit{}\mathrm{}$задайте D = 4 и Δ = P = 1. Следовательно, для каждого t входными и выходными $\mathit{}\mathit{}\mathrm{}\mathit{}\mathrm{}\mathrm{наборами\; обучающих\; данных}\mathrm{являются}[x($t-3), x $\mathit{}\left(\mathit{}\mathrm{t-2}\right)$, x (t-1), x (t)] и x (t + 1) соответственно. Другими словами, используйте четыре последовательных известных значения временных рядов для прогнозирования следующего значения.

Создайте 1000 наборов входных/выходных данных из выборок $\mathit{x}\mathrm{(}100+\mathrm{}$D-1) $\mathit{}в\mathrm{x\; (}1100+$ D-2).

D = 4;
inputData = zeros(1000,D);
outputData = zeros(1000,1);
for t = 100+D-1:1100+D-2
    for i = 1:D
        inputData(t-100-D+2,i) = x(t-D+i);
    end
    outputData(t-100-D+2,:) = x(t+1);
end

Использовать первые 500 наборов данных в качестве обучающих данных (trnX и trnY) и вторые 500 наборов в качестве данных проверки (vldX и vldY).

trnX = inputData(1:500,:);
trnY = outputData(1:500,:);
vldX = inputData(501:end,:);
vldY = outputData(501:end,:);

Построение FIS

В этом примере используется FIS Sugeno типа 2. Поскольку FIS Sugeno имеет меньше настраиваемых параметров, чем FIS Mamdani, система Sugeno обычно сходится быстрее во время оптимизации.

fisin = sugfistype2;

Добавьте три входа, каждый с тремя треугольными функциями членства по умолчанию (MF). Сначала устраните след неопределенности (FOU) для каждого входного MF, установив каждый нижний MF равным его соответствующему верхнему MF. Для этого установите значения шкалы и запаздывания для каждого нижнего MF в 1 и 0соответственно. Устраняя FOU для всех входных функций членства, можно настроить FIS типа 2 так, чтобы он вел себя как FIS типа 1.

numInputs = D;
numInputMFs = 3;
range = [min(x) max(x)];
for i = 1:numInputs
    fisin = addInput(fisin,range,'NumMFs',numInputMFs);
    for j = 1:numInputMFs
        fisin.Inputs(i).MembershipFunctions(j).LowerScale = 1;
        fisin.Inputs(i).MembershipFunctions(j).LowerLag = 0;
    end
end

Для прогнозирования добавьте вывод в FIS. Выходные данные содержат постоянные функции членства по умолчанию. Чтобы обеспечить максимальное разрешение для отображения «вход-выход», установите количество выходных MF, равное количеству входных комбинаций MF.

numOutputMFs = numInputMFs^numInputs;
fisin = addOutput(fisin,range,'NumMFs',numOutputMFs);

Просмотрите структуру FIS. Изначально FIS имеет нулевые правила. Правила системы находятся в процессе настройки.

plotfis(fisin)

Настройка FIS с данными обучения

Для настройки FIS используются следующие три шага.

Первый шаг менее затратен в вычислительном отношении из-за небольшого количества параметров правила, и он быстро сходится к нечеткой базе правил во время обучения. После второго шага система является обученной FIS типа 1. На третьем этапе создается FIS настроенного типа-2.

Изучение правил

Чтобы узнать базу правил, сначала задайте параметры настройки с помощью tunefisOptions объект.

options = tunefisOptions;

Поскольку FIS не содержит каких-либо предварительно настроенных нечетких правил, используйте метод глобальной оптимизации (генетический алгоритм или рой частиц), чтобы узнать правила. Методы глобальной оптимизации работают лучше в больших диапазонах настройки параметров по сравнению с методами локальной оптимизации (поиск шаблона и смоделированный отжиг). Для этого примера настройте FIS с помощью оптимизации роя частиц ('particleswarm').

options.Method = 'particleswarm';

Чтобы узнать новые правила, установите OptimizationType кому 'learning'.

options.OptimizationType = 'learning';

Ограничьте максимальное количество правил количеством входных комбинаций MF. Число настроенных правил может быть меньше этого предела, поскольку процесс настройки удаляет повторяющиеся правила.

options.NumMaxRules = numInputMFs^numInputs;

При наличии программного обеспечения Parallel Computing Toolbox™ можно повысить скорость процесса настройки, задав UseParallel кому true. Если у вас нет программного обеспечения Parallel Computing Toolbox, установите UseParallel кому false.

options.UseParallel = false;

Задать максимальное количество итераций как 10. Увеличение числа итераций может уменьшить ошибку обучения. Однако большее число итераций увеличивает продолжительность процесса настройки и может перестраивать параметры правила на данные обучения.

options.MethodOptions.MaxIterations = 10;

Поскольку оптимизация роя частиц использует случайный поиск, для получения воспроизводимых результатов инициализируйте генератор случайных чисел в его конфигурацию по умолчанию.

rng('default')

Настройка FIS с помощью tunefis функция занимает несколько минут. В этом примере включите настройку с помощью параметра runtunefis кому true. Загрузка предварительно подготовленных результатов без выполнения tunefis, можно установить runtunefis кому false.

runtunefis = false;

Настройка FIS с использованием указанных учебных данных и опций.

if runtunefis
    fisout1 = tunefis(fisin,[],trnX,trnY,options);
else
    tunedfis = load('tunedfischaotictimeseriestype2.mat');
    fisout1 = tunedfis.fisout1;
end

Просмотрите структуру обученной FIS, которая содержит новые усвоенные правила.

plotfis(fisout1)

Проверьте индивидуальные отношения «вход-выход», настроенные на основе изученных правил. Например, на следующем рисунке показана взаимосвязь между вторым входом и выходом.

gensurf(fisout1,gensurfOptions('InputIndex',2))

Оцените настроенный FIS с помощью входных данных проверки. Постройте график фактического сгенерированного результата с ожидаемым результатом проверки и вычислите среднеквадратическую ошибку (RMSE).

plotActualAndExpectedResultsWithRMSE(fisout1,vldX,vldY)

Настройка параметров верхней функции членства

Настройте параметры верхней функции членства. FIS Sugeno типа 2 поддерживает только четкие функции вывода. Поэтому на этом шаге настраиваются входные верхние MF-функции и функции быстрого вывода.

Получение параметров ввода и вывода с помощью getTunableSettings. Поскольку FIS использует треугольные входные MF, можно настроить входные MF с помощью асимметричных значений запаздывания.

[in,out] = getTunableSettings(fisout1,'AsymmetricLag',true);

Деактивизация настройки нижних параметров MF.

for i = 1:length(in)
    for j = 1:length(in(i).MembershipFunctions)
        in(i).MembershipFunctions(j).LowerScale.Free = false;
        in(i).MembershipFunctions(j).LowerLag.Free = false;
    end
end

Чтобы оптимизировать существующие настраиваемые параметры MF при сохранении постоянной базы правил, установите OptimizationType кому 'tuning'.

options.OptimizationType = 'tuning';

Настройте FIS, используя указанные данные настройки и параметры. Загрузка предварительно подготовленных результатов без выполнения tunefis, можно установить runtunefis кому false.

rng('default')
if runtunefis
    fisout2 = tunefis(fisout1,[in;out],trnX,trnY,options);
else
    tunedfis = load('tunedfischaotictimeseriestype2.mat');
    fisout2 = tunedfis.fisout2;
end

Просмотрите структуру обученной FIS, которая теперь содержит настроенные верхние параметры MF.

plotfis(fisout2)

Проанализируйте настроенный FIS с использованием данных проверки, вычислите RMSE и постройте график фактического сгенерированного вывода с ожидаемым выводом проверки.

plotActualAndExpectedResultsWithRMSE(fisout2,vldX,vldY)

Настройка верхних параметров MF повышает производительность FIS. Этот результат эквивалентен настройке FIS типа 1.

Настройка параметров функции нижнего уровня членства

Настройте только входные нижние параметры MF. Для этого установите настраиваемые значения нижнего масштаба и запаздывания и отключите настройку верхних параметров MF.

for i = 1:length(in)
    for j = 1:length(in(i).MembershipFunctions)
        in(i).MembershipFunctions(j).UpperParameters.Free = false;
        in(i).MembershipFunctions(j).LowerScale.Free = true;
        in(i).MembershipFunctions(j).LowerLag.Free = true;
    end
end

Настройте FIS, используя указанные данные настройки и параметры. Загрузка предварительно подготовленных результатов без выполнения tunefis, можно установить runtunefis кому false.

rng('default')
if runtunefis
    fisout3 = tunefis(fisout2,in,trnX,trnY,options);
else
    tunedfis = load('tunedfischaotictimeseriestype2.mat');
    fisout3 = tunedfis.fisout3;
end

Просмотр структуры обученной FIS, которая теперь содержит настроенные нижние параметры MF.

plotfis(fisout3)

Проанализируйте настроенный FIS с использованием данных проверки, вычислите RMSE и постройте график фактического сгенерированного вывода с ожидаемым выводом проверки.

plotActualAndExpectedResultsWithRMSE(fisout3,vldX,vldY)

Настройка как верхнего, так и нижнего значений MF повышает производительность FIS. RMSE улучшается, когда обученная FIS включает в себя как настроенные верхние, так и нижние значения параметров.

Заключение

Type-2 MF обеспечивают дополнительные настраиваемые параметры по сравнению с MF типа 1. Поэтому при наличии адекватных учебных данных FIS настроенного типа-2 может лучше соответствовать учебным данным, чем FIS настроенного типа-1.

В целом можно получить различные результаты настройки, изменив любые из следующих свойств FIS или параметров настройки:

Локальные функции

function [rmse,actY] = calculateRMSE(fis,x,y)

% Specify options for FIS evaluation
evalOptions = evalfisOptions("EmptyOutputFuzzySetMessage","none", ...
        "NoRuleFiredMessage","none","OutOfRangeInputValueMessage","none");

% Evaluate FIS
actY = evalfis(fis,x,evalOptions);

% Calculate RMSE
del = actY - y;
rmse = sqrt(mean(del.^2));

end

function plotActualAndExpectedResultsWithRMSE(fis,vldX,vldY)
[rmse,actY] = calculateRMSE(fis,vldX,vldY);

figure
plot([actY vldY])
axis([0 length(vldY) min(vldY)-0.01 max(vldY)+0.13])
xlabel('sample index')
ylabel('signal value')
title(['RMSE = ' num2str(rmse)])
legend(["Actual output" "Expected output"],'Location',"northeast")
end