Как программное обеспечение вычисляет нелинейные выходные данные модели ARX

В этом разделе описывается, как программное обеспечение оценивает выходные данные устройств оценки нелинейности и использует эти выходные данные для вычисления отклика нелинейной модели ARX.

Оценка нелинейности

Для оценки прогнозируемого выхода нелинейности для определенного значения регрессора x необходимо сначала извлечь нелинейность F и регрессоры из модели:

F = m.Nonlinearity;
x = getreg(m,'all',data) % computes regressors

Оценка F (x):

y = evaluate(F,x)

где x - вектор строки значений-регрессоров.

Можно также оценить прогнозируемые выходные значения в несколько моментов времени, вычисляя F для нескольких векторов-регрессоров одновременно:

y = evaluate(F,[x1;x2;x3])

Моделирование и прогнозирование сигмоидной сети

Этот пример показывает, как программное обеспечение вычисляет моделируемый и прогнозируемый выходной сигнал нелинейной модели ARX в результате оценки выходного сигнала его оценщика нелинейности для заданных значений регрессора.

Оценка и изучение нелинейной модели ARX

Оценка нелинейной модели ARX с нелинейностью сигмоидной сети.

load twotankdata
estData = iddata(y,u,0.2,'Tstart',0);
M = nlarx(estData,[1 1 0],'sig');

Проверьте свойства модели и результат оценки.

present(M)

Nonlinear ARX model with 1 output and 1 input       
  Inputs: u1                                        
  Outputs: y1                                       
                                                    
Regressors:                                         
  Linear regressors in variables y1, u1             
                                                    
Output function: Sigmoid Network with 10 units      
                                                    
Sample time: 0.2 seconds                            
                                                    
Status:                                             
Estimated using NLARX on time domain data "estData".
Fit to estimation data: 96.31% (prediction focus)   
FPE: 4.804e-05, MSE: 4.666e-05

Эта команда предоставляет информацию о входных и выходных переменных, регрессорах и оценщике нелинейности.

Проверьте устройство оценки нелинейности.

NL = M.Nonlinearity; % equivalent to M.nl 
class(NL)   % nonlinearity class

ans = 
'sigmoidnet'

display(NL) % equivalent to NL

NL = 
Sigmoid Network
Inputs: y1(t-1), u1(t)
Output: y1

 Nonlinear Function: Sigmoid network with 10 units.
 Linear Function: initialized to [-0.161 -0.105]
 Output Offset: initialized to 0.271

           Input: [1x1 idpack.Channel]
          Output: [1x1 idpack.Channel]
       LinearFcn: [1x1 nlident.internal.UseProjectedLinearFcn]
    NonlinearFcn: [1x1 nlident.internal.RidgenetFcn]
          Offset: [1x1 nlident.internal.ChooseableOffset]

Проверьте значения параметров сигмоидной сети.

NL.Parameters;

Прогнозирование выходных данных

Выходные данные модели:

y1 (t) = f (y1 (t-1), u1 (t))

где f - функция сигмоидной сети. Регрессоры модели y1 (t-1) и u1 (t) являются входами в блок оценки нелинейности. Время t - дискретная переменная, представляющая kT, гдеk = 0, 1, ... , и T - интервал выборки. В этом примере: T=0.2 второй.

Уравнение прогнозирования выходного сигнала:

yp (t) = f (y1_meas (t-1), u1 _ meas (t))

где yp (t) - прогнозируемое значение отклика в момент времени t. y1_meas (t-1) и u1_meas (t) - измеренные выходные и входные значения в моменты времени t-1 и t соответственно.

Вычисление прогнозируемого ответа включает в себя:

Вычисление значений регрессора из данных ввода-вывода.
Оценка нелинейности для заданных значений регрессора.

Для вычисления прогнозируемого значения отклика с использованием исходных условий и токового ввода:

Оценка модели на основе данных и получение нелинейных параметров.

load twotankdata
estData = iddata(y,u,0.2,'Tstart',0);
M = nlarx(estData,[1 1 0],'sig');
NL = M.Nonlinearity;

Укажите нулевые начальные состояния.

x0 = 0;

Модель имеет одно состояние, поскольку существует только один задержанный срок y1(t-1). Число состояний равно sum(getDelayInfo(M)).

Вычислите прогнозируемый выходной сигнал в момент времени t = 0.

RegValue = [0,estData.u(1)]; % input to nonlinear function f
yp_0 = evaluate(NL,RegValue);

RegValue - вектор регрессоров при t=0 . Прогнозируемый выход - yp (t = 0) = f (y1_meas (t = -1), u1 _ meas (t = 0)). В терминах переменных MATLAB этот вывод равенf(0,estData.u(1)), где

y1_meas (t = 0) - измеренное выходное значение приt=0, которая должна estData.y(1).
u1_meas (t = 1) - вторая выборка входных данныхestData.u(2).

Выполнение прогнозирования на один шаг вперед для всех значений времени, для которых доступны данные.

RegMat = getreg(M,[],estData,x0);
yp = evaluate(NL,RegMat.Variables);

Этот код получает матрицу регрессоров RegMat для всех выборок времени с использованием getreg. RegMat имеет столько строк, сколько есть отсчетов времени, и столько столбцов, сколько есть регрессоров в модели - два, в этом примере.

Эти шаги эквивалентны прогнозируемому ответу, вычисленному за один шаг с использованием прогнозирования:

yp_direct = predict(M,estData,1,'InitialState',x0);
% compare
t = estData.SamplingInstants;
plot(t,yp, t,yp_direct.OutputData,'.')

Figure contains an axes. The axes contains 2 objects of type line.

Моделирование выходных данных

Выходные данные модели:

y1 (t) = f (y1 (t-1), u1 (t))

где f - функция сигмоидной сети. Регрессоры модели y1 (t-1) и u1 (t) являются входами в блок оценки нелинейности. Время t - это дискретная переменная, представляющая kT, где k = 0, 1,.. и T - интервал выборки. В этом примере Т = 0,2 секунды.

Моделируемый выходной сигнал:

ys (t) = f (ys (t-1), u1 _ meas (t))

где ys (t) - смоделированное значение отклика в момент времени t. Уравнение моделирования совпадает с уравнением прогнозирования, за исключением того, что предыдущее выходное значениеys(t-1) результаты моделирования на предыдущем шаге времени, а не измеренное выходное значение.

Вычисление моделируемого ответа включает в себя:

Вычисление значений регрессора из данных ввода-вывода с использованием смоделированных выходных значений.
Оценка нелинейности для заданных значений регрессора.

Для вычисления моделируемого значения отклика с использованием исходных условий и токового ввода:

Оценка модели на основе данных и получение нелинейных параметров.

load twotankdata
estData = iddata(y,u,0.2,'Tstart',0);
M = nlarx(estData,[1 1 0],'sig');
NL = M.Nonlinearity;

Укажите нулевые начальные состояния.

x0 = 0;

Модель имеет одно состояние, поскольку существует только один задержанный член y1 (t-1). Число состояний равно sum(getDelayInfo(M)).

Вычислите смоделированный выходной сигнал в момент времени t = 0, ys (t = 0).

RegValue = [0,estData.u(1)];
ys_0 = evaluate(NL,RegValue);

RegValue - вектор регрессоров при t = 0. ys (t = 0) = f (y1 (t = -1), u1 _ meas (t = 0)). В терминах переменных MATLAB этот вывод равенf(0,estData.u(1)), где

y1 (t = -1) - начальное состояниеx0 (=0).
u1_meas (t = 0) - значение входного значения при t = 0, которое является первой выборкой входных данныхestData.u(1).

Вычислите смоделированный выходной сигнал в момент времени t = 1, ys (t = 1).

RegValue = [ys_0,estData.u(2)];
ys_1 = evaluate(NL,RegValue);

Смоделированный выход ys (t = 1) = f (ys (t = 0), u1 _ meas (t = 1)). В терминах переменных MATLAB этот вывод равенf(ys_0,estData.u(2)), где

ys (t = 0) - смоделированное значение выходного сигнала при t = 0.
u1_meas (t = 1) - вторая выборка входных данных estData.u (2).

Вычислите смоделированный выходной сигнал в момент времени t = 2.

RegValue = [ys_1,estData.u(3)];
ys_2 = evaluate(NL,RegValue);

В отличие от прогноза выходных данных, нельзя использовать getreg для вычисления значений регрессора для всех значений времени. Необходимо вычислять значения регрессоров в каждой выборке времени отдельно, поскольку выходные выборки, необходимые для формирования вектора регрессора, доступны итеративно, по одной выборке за раз.

Эти шаги эквивалентны смоделированному ответу, вычисленному за один шаг с использованием sim(idnlarx):

ys = sim(M,estData,x0);

Оценка нелинейности

В этих примерах выполняется низкоуровневое вычисление нелинейного отклика для sigmoidnet функция сети:

$\begin{array}{l} F (x) = (x-r)_{} PL + a1f (_{(}_{x-r}) \\ {Qb1}_{} + c1) + . ._{.} +_{} anf \end{array}$ ((x-r) Qbn + cn) + d

где f - сигмоидная функция, заданная следующим уравнением:

$f (z) \frac{}{=^{}}$ 1e-z + 1

В F(x), вход в сигмоидальную функцию x-r. x является значением регрессора и r - среднее значение регрессора, вычисленное из данных оценки. $_{an}$ , ${nn}_{}$ и ${cn}_{}$ - сетевые параметры, хранящиеся в свойстве модели M.nl.par, где M является idnlarx объект.

Вычислите выходное значение в момент времени t = 1, когда значения регрессора равныx=[estData.y(1),estData.u(2)]:

Оценка модели на основе выборочных данных.

load twotankdata
estData = iddata(y,u,0.2,'Tstart',0);
M = nlarx(estData,[1 1 0],'sig');
NL = M.Nonlinearity;

Назначение значений параметрам в выражении для F(x).

x = [estData.y(1),estData.u(2)]; % regressor values at t=1
r = NL.Parameters.RegressorMean;
P = NL.Parameters.LinearSubspace;
L = NL.Parameters.LinearCoef;
d = NL.Parameters.OutputOffset;
Q = NL.Parameters.NonLinearSubspace;
aVec = NL.Parameters.OutputCoef;   % [a_1; a_2; ...]
cVec = NL.Parameters.Translation;  % [c_1; c_2; ...]
bMat = NL.Parameters.Dilation;     % [b_1; b_2; ...]

Вычислите линейную часть отклика (плюс смещение).

yLinear = (x-r)*P*L+d;

Вычислите нелинейную часть ответа.

f = @(z)1/(exp(-z)+1); % anonymous function for sigmoid unit
yNonlinear = 0;
for k = 1:length(aVec)
    fInput = (x-r)*Q* bMat(:,k)+cVec(k);
    yNonlinear = yNonlinear+aVec(k)*f(fInput);
end

Вычислить общий отклик y = F(x) = yLinear + yNonlinear.

y = yLinear + yNonlinear;

y равно evaluate(NL,x).

См. также

evaluate

Документация