Определение интегральной функции с помощью анонимной функции

Объединяться

где $$C$$ - замкнутый контур, охватывающий простой полюс $${}^{}\mathrm{ez/z}$$ в начале координат.

Определите интеграл с помощью анонимной функции.

fun = @(z) exp(z)./z;

Интеграция без использования ППМ

Можно вычислить контурные интегралы комплексных функций с помощью параметризации. В общем случае контур задается, а затем дифференцируется и используется для параметризации исходного интеграла. В этом случае задайте контур в качестве единичной окружности, но во всех случаях результат не зависит от выбранного контура.

g = @(theta) cos(theta) + 1i*sin(theta);
gprime = @(theta) -sin(theta) + 1i*cos(theta);
q1 = integral(@(t) fun(g(t)).*gprime(t),0,2*pi)

q1 = -0.0000 + 6.2832i

Этот способ параметризации, хотя и надежный, может быть трудным и трудоемким, поскольку производная должна быть вычислена до выполнения интегрирования. Даже для простых функций необходимо написать несколько строк кода, чтобы получить правильный результат. Поскольку результат одинаков с любым замкнутым контуром, который охватывает полюс (в данном случае начало координат), вместо этого можно использовать 'Waypoints' вариант integral для построения квадратной или треугольной траектории, охватывающей полюс.

Интеграция по контуру, не охватывающему полюса

Если какой-либо предел интегрирования или элемент вектора ППМ сложен, то integral выполняет интегрирование по последовательности прямолинейных траекторий в комплексной плоскости. Естественное направление вокруг контура против часовой стрелки; задание контура по часовой стрелке сродни умножению на -1. Задайте контур таким образом, чтобы он охватывал одну функциональную сингулярность. Если задать контур, не охватывающий полюса, то теорема Коши об интеграле гарантирует, что значение интеграла с замкнутым контуром равно нулю.

Чтобы увидеть это, интегрируйте fun вокруг квадратного контура в стороне от начала координат. Используйте равные пределы интегрирования для формирования замкнутого контура.

C = [2+i 2+2i 1+2i];
q = integral(fun,1+i,1+i,'Waypoints',C)

q = -3.3307e-16 + 6.6613e-16i

Результат находится в порядке eps и фактически ноль.

Интеграция по контуру с полюсом в интерьере

Задайте квадратный контур, полностью охватывающий полюс в начале координат, а затем выполните интеграцию.

C = [1+i -1+i -1-i 1-i];
q2 = integral(fun,1,1,'Waypoints',C)

q2 = -0.0000 + 6.2832i

Этот результат согласуется с q1 рассчитано выше, но использует гораздо более простой код.

Точный ответ на эту проблему - $$\mathrm{}\mathrm{2āi}$$.

2*pi*i

ans = 0.0000 + 6.2832i