DDE с постоянными задержками

Открыть сценарий в реальном времени

В этом примере показано, как использовать dde23 для решения системы DDE (дифференциальных уравнений задержки) с постоянными задержками.

Система уравнений

$\begin{array}{l} {_{y1}}^{}' (t)_{} = y1 \\ {(_{}}^{} t-1) {y2}_{}' (t) =_{} y1 (t-1 \\ {)_{}}^{+} y2 (_{} t-0,2 \end{array}$ ) y3 ′ (t) = y2 (t).

Функция истории для $t≤0$ является постоянной, $_{y1} (t)_{=} y2 (_{t}) =$ y3 (t) = 1.

Временные задержки в уравнениях присутствуют только в $y$ выражениях, а сами задержки являются константами, поэтому уравнения образуют систему уравнений постоянных задержек.

Чтобы решить эту систему уравнений в MATLAB, необходимо кодировать уравнения, задержки и историю, прежде чем вызывать решатель дифференциальных уравнений задержки dde23, которая предназначена для систем с постоянными задержками. Требуемые функции можно либо включить в качестве локальных функций в конце файла (как здесь сделано), либо сохранить их как отдельные именованные файлы в каталоге по пути MATLAB.

Задержки кода

Сначала создайте вектор для определения задержек в системе уравнений. Эта система имеет две различные задержки:

Задержка 1 в первом компоненте $_{y1} (t-1$ ).
Задержка 0,2 во втором компоненте $_{y2} (t-0,2$ ).

dde23 принимает векторный аргумент для задержек, где каждый элемент является постоянной задержкой для одного компонента.

lags = [1 0.2];

Кодовое уравнение

Теперь создайте функцию для кодирования уравнений. Эта функция должна иметь подпись dydt = ddefun(t,y,Z), где:

t - время (независимая переменная).
y - решение (зависимая переменная).
Z(:,j) аппроксимирует задержку $y (_{} t-$ $_{}$ lags(j).

Эти входные данные автоматически передаются функции решателем, но имена переменных определяют способ кодирования уравнений. В этом случае:

Z(:,1) $\to {y1}_{} (t-1)$
Z(:,2) $\to {y2}_{} (t-0,2)$

function dydt = ddefun(t,y,Z)
  ylag1 = Z(:,1);
  ylag2 = Z(:,2);

  dydt = [ylag1(1); 
          ylag1(1)+ylag2(2); 
          y(2)];
end

Примечание.В конце примера все функции включаются как локальные.

Журнал кодовых решений

Затем создайте функцию для определения истории решения. История решения - это решение для $_{t≤t0 времени}$ .

function s = history(t)
  s = ones(3,1);
end

Уравнение решения

Наконец, определите интервал интеграции $[_{t0} {tf}_{]}$ и решите DDE с помощью dde23 решатель.

tspan = [0 5];
sol = dde23(@ddefun, lags, @history, tspan);

Решение для построения графика

Структура решения sol имеет поля sol.x и sol.y которые содержат внутренние временные шаги, предпринятые решателем, и соответствующие решения в это время. (Если решение необходимо в определенных точках, можно использовать deval для оценки решения в конкретных точках.)

Постройте график трех компонентов решения в зависимости от времени.

plot(sol.x,sol.y,'-o')
xlabel('Time t');
ylabel('Solution y');
legend('y_1','y_2','y_3','Location','NorthWest');

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line. These objects represent y_1, y_2, y_3.

Локальные функции

Здесь перечислены локальные вспомогательные функции, которые решатель DDE dde23 вызывает для вычисления решения. Кроме того, эти функции можно сохранить в виде собственных файлов в каталоге по пути MATLAB.

function dydt = ddefun(t,y,Z) % equation being solved
  ylag1 = Z(:,1);
  ylag2 = Z(:,2);

  dydt = [ylag1(1); 
          ylag1(1)+ylag2(2); 
          y(2)];
end
%-------------------------------------------
function s = history(t) % history function for t <= 0
  s = ones(3,1);
end
%-------------------------------------------

См. также

dde23 | ddensd | ddesd | deval

Документация