Дифференциальные уравнения задержки (DDE) - обычные дифференциальные уравнения, которые связывают решение в текущее время с решением в прошлые времена. Эта задержка может быть постоянной, зависящей от времени, зависящей от состояния или производной. Для начала интеграции, как правило, необходимо предоставить историю решения, чтобы решение было доступно решателю в течение времени до начальной точки интеграции.
Система дифференциальных уравнений с постоянными задержками имеет вид:
Здесь t - независимая переменная, y - вектор-столбец зависимых переменных, и y ′ представляет первую производную y относительно t. Задержки,
dde23 функция решает DDE с постоянными задержками с историей y (t) = S (t) для t < t0.
Растворы DDE, как правило, непрерывны, но они имеют неоднородности в своих производных. dde23 функция отслеживает разрывы в производных низкого порядка. Он интегрирует дифференциальные уравнения с той же явной парой Рунге-Кутты (2,3) и интерполятором, который используется ode23. Формулы Рунге-Кутты неявны для размеров шагов, превышающих задержки. Когда y (t) является достаточно гладким, чтобы оправдать шаги этого большого, неявные формулы оцениваются итерацией предиктор-корректор.
Постоянные временные задержки являются частным случаем более общей формы DDE:
, y (dyp)).
Зависящие от времени и состояния DDE включают задержки dy1,..., dyk, которые могут зависеть как от времени t, так и от состояния y. Задержки dyj (t, y) должны удовлетворять dyj (t, y) ≤ t на интервале [t0, tf] с t0 < tf.
ddesd функция находит решение y (t) для зависящих от времени и состояний DDE с историей y (t) = S (t) для t < t0. ddesd функция интегрируется с классическим четырёхступенчатым, четвёртого порядка явным методом Рунге - Кутты, и она управляет размером остатка естественного интерполятора. Итерация используется для выполнения шагов, превышающих задержки.
Дифференциальные уравнения задержки нейтрального типа включают задержки в y ′ а также y:
..., y ′ (dypq)).
Задержки в решении должны удовлетворять dyi (t, y) ≤ t. Задержки в первой производной должны удовлетворять dypj (t, y) < t, так что y ′ не появляется на обеих сторонах уравнения.
ddensd функция решает DDE нейтрального типа, аппроксимируя их DDE вида, заданного для зависящих от времени и состояний задержек:
, y (dyp)).
Для получения дополнительной информации см. раздел Shampine [1].
Используйте deval функция и выходные данные любого из решателей DDE для оценки решения в определенных точках в интервале интегрирования. Например, y = deval(sol, 0.5*(sol.x(1) + sol.x(end))) оценивает решение в середине интервала интегрирования.
При решении DDE аппроксимация решения выполняется на интервале [t0, tf] с t0 < tf. DDE показывают, как y ′ (t) зависит от значений решения (и, возможно, его производной) в моменты времени до t. Например, с постоянными задержками y ′ (t0) зависит от y (t0 - Из-за этого решение на [t0, tk] зависит от значений, которые оно имеет при t ≤ t0. Необходимо определить эти значения с помощью функции истории, y (t) = S (t) для t < t0.
Если проблема имеет разрывы, рекомендуется передать их решателю с помощью структуры опций. Для этого используйте ddeset для создания функции options структура, содержащая разрывы в проблеме.
Существует три свойства в options структура, которую можно использовать для указания разрывов; InitialY, Jumps, и Events. Выбранное свойство зависит от расположения и характера разрывов.
Характер нарушения непрерывности | Собственность | Комментарии |
|---|---|---|
При начальном значении t = t0 |
| Как правило, начальное значение y (t0) является значением S (t0), возвращаемым функцией предыстории, что означает, что решение является непрерывным в начальной точке. Если это не так, введите другое начальное значение с помощью |
В истории, т.е. решение при t < t0, или в уравнении коэффициентов для t > t0 |
| Укажите известные местоположения t разрывов в векторе в качестве значения |
Зависимые от состояния |
|
|
Как правило, первая производная раствора имеет скачок в начальной точке. Это происходит потому, что первая производная функции истории, S (t), обычно не удовлетворяет DDE в этот момент. Разрыв в любой производной от y (t) распространяется в будущее при расстояниях, равных Если задержки не постоянны, распространение разрывов является более сложным. Для нейтральных DDE форм в постоянной задержке DDE и зависимых от времени и состояния DDE разрыв появляется в следующей производной более высокого порядка каждый раз при ее распространении. В этом смысле решение становится более плавным по мере интеграции. Решения нейтральных ДДЭ вида, приведенного в ДДЭ нейтрального типа, качественно отличаются. Неоднородность в растворе не распространяется на производную более высокого порядка. В частности, типичный скачок в y ′ (t) на t0 распространяется как скачки в y ′ (t) на протяжении [t0, tf].
Несколько доступных файлов примеров служат отличными отправными точками для большинства распространенных проблем DDE. Чтобы легко исследовать и запускать примеры, просто используйте приложение «Примеры дифференциальных уравнений».
odeexamples
edit exampleFileName.mexampleFileName
Эта таблица содержит список доступных файлов примеров DDE, а также решателей и используемых ими опций.
Пример файла | Используемый решатель | Параметры указаны | Описание | Пример ссылки |
|---|---|---|---|---|
|
| — | DDE с постоянной историей | |
|
|
| DDE с разрывом в работе | |
|
| — | DDE с задержками, зависящими от состояния | |
|
| — | Нейтральный DDE с двумя задержками | |
|
| — | Нейтральный ДДЭ с начальным значением |
[1] Шампин, Л.Ф. «Диссипативные приближения к нейтральным DDE». Прикладная математика и вычисления, том 203, 2008, стр. 641-648.
dde23 | ddensd | ddesd | ddeset