Эллиптические функции Якоби
Найти эллиптические функции Якоби для U = 0.5 и M = 0.25.
[s,c,d] = ellipj(0.5,0.25)
s = 0.4751
c = 0.8799
d = 0.9714
Постройте график эллиптических функций Якоби для -5≤U≤5 и M = 0.7.
M = 0.7; U = -5:0.01:5; [S,C,D] = ellipj(U,M); plot(U,S,U,C,U,D); legend('SN','CN','DN','Location','best') grid on title('Jacobi Elliptic Functions sn,cn,dn')
Создайте график поверхности эллиптической функции Якоби для допустимого диапазона M и -5≤U≤5.
[M,U] = meshgrid(0:0.1:1,-5:0.1:5); S = ellipj(U,M); surf(U,M,S) xlabel('U') ylabel('M') zlabel('sn') title('Surface Plot of Jacobi Elliptic Function sn')
Значение по умолчанию tol является eps. Найти время выполнения со значением по умолчанию для произвольного M использование tic и toc. Увеличение tol в 1000 раз и найдите время выполнения. Сравните время выполнения.
tic ellipj(0.253,0.937)
ans = 0.2479
toc
Elapsed time is 0.375388 seconds.
tic ellipj(0.253,0.937,eps*1000)
ans = 0.2479
toc
Elapsed time is 0.025766 seconds.
ellipj работает значительно быстрее, когда допуск значительно повышен.
ellipj вычисляет эллиптические функции Якоби методом арифметико-геометрического среднего [1]. Начинается с триплета чисел
c0 = m.
ellipj вычисляет последовательные итерации с использованием
12ci = 12 (ai − 1 − bi − 1).
Затем вычисляет амплитуды в радианах с помощью
(ϕn),
быть осторожным, чтобы правильно развернуть фазы. Эллиптические функции Якобиана тогда просто
=1−m⋅sn (u) 2.
[1] Абрамовиц, М. и И. А. Стегун, Справочник математических функций, Dover Publications, 1965, 17.6.